Mostra la font per a Notació de Coxeter

En [[geometria]], la '''notació de Coxeter''' (o '''símbol de Coxeter''') és un sistema de classificació de [[Grup de simetria|grups de simetria]], que descriu els [[angle]]s entre les reflexions fonamentals d'un [[grup de Coxeter]] en una notació entre [[claudàtor]]s que expressa l'estructura d'un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]], amb modificadors per indicar determinats subgrups. La notació rep el nom de [[Donald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], i ha estat definida de forma més comprensible per [[Norman Johnson]].

{| class=wikitable align=center width=360
|+ Dominis fonamentals de grups de punts 3D reflexius
|- align=center
!{{CDD|node}}, [ ]=[1]<br />C<sub>1v</sub>
!{{CDD|node|2|node}}, [2]<br />C<sub>2v</sub>
!{{CDD|node|3|node}}, [3]<br />C<sub>3v</sub>
!{{CDD|node|4|node}}, [4]<br />C<sub>4v</sub>
!{{CDD|node|5|node}}, [5]<br />C<sub>5v</sub>
!{{CDD|node|6|node}}, [6]<br />C<sub>6v</sub>
|- align=center
|[[Fitxer:Spherical digonal hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 2
|[[Fitxer:Spherical square hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 4
|[[Fitxer:Spherical hexagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 6
|[[Fitxer:Spherical octagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 8
|[[Fitxer:Spherical decagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 10
|[[Fitxer:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Ordre 12
|- align=center
!{{CDD|node|2|node}}<br />[2]=[2,1]<br />D<sub>1h</sub>
!{{CDD|node|2|node|2|node}}<br />[2,2]<br />D<sub>2h</sub>
!{{CDD|node|2|node|3|node}}<br />[2,3]<br />D<sub>3h</sub>
!{{CDD|node|2|node|4|node}}<br />[2,4]<br />D<sub>4h</sub>
!{{CDD|node|2|node|5|node}}<br />[2,5]<br />D<sub>5h</sub>
!{{CDD|node|2|node|6|node}}<br />[2,6]<br />D<sub>6h</sub>
|- align=center
|[[Fitxer:Spherical digonal bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 4
|[[Fitxer:Spherical square bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 8
|[[Fitxer:Spherical hexagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 12
|[[Fitxer:Spherical octagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 16
|[[Fitxer:Spherical decagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 20
|[[Fitxer:Spherical dodecagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Ordre 24
|- 
!colspan=2|{{CDD|node|3|node|3|node}}, [3,3], [[simetria tetraedral|T<sub>d</sub>]]
!colspan=2|{{CDD|node|4|node|3|node}}, [4,3], [[simetria octaedral|O<sub>h</sub>]]
!colspan=2|{{CDD|node|5|node|3|node}}, [5,3], [[simetria icosaedral|I<sub>h</sub>]]
|- align=center
|colspan=2|[[Fitxer:Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png|120px]]<br />Ordre 24
|colspan=2|[[Fitxer:Spherical_disdyakis_dodecahedron-3and1-color.png|120px]]<br />Ordre 48
|colspan=2|[[Fitxer:Spherical compound of five octahedra.png|120px]]<br />Ordre 120
|-
|colspan=6|La notació de coxeter expressa els [[grup de Coxeter|grups de Coxeter]] com una llista d'ordres de branques d'un [[diagrama de Coxeter]], com els [[grups polièdrics]], {{CDD|node|p|node|q|node}} = [p,q]. Els [[Simetria dièdrica en tres dimensions|grups dièdrics]], {{CDD|node|2|node|n|node}}, poden expressar-se un producte [ ]×[n] o en un sol símbol amb un explícit ordre 2 de branques, [2,n]
|}

== Grups reflexius ==
{{VT|Grup puntual de simetria}}

Per als [[Grup de Coxeter|grups de Coxeter]], definits per [[Reflexió|reflexions]] pures, hi ha una correspondència directa entre la notació entre claudàtors i el [[diagrama de Coxeter-Dynkin]]. Els nombres de l'anotació entre claudàtors representen els ordres de reflexió dels [[mirall]]s a les branques del diagrama de Coxeter. Utilitza la mateixa simplificació, suprimint els «2» entre miralls [[ortogonal]]s.

La notació de Coxeter se simplifica amb exponents per representar el nombre de branques d'una fila per a un diagrama lineal. Així, el grup ''A''<sub>''n''</sub> es representa amb [3<sup>''n''-1</sup>], a l'implicar ''n'' nodes connectats amb ''n-1'' branques d'ordre 3. Per exemple, ''A''₂ = [3,3] = [3²] o [3<sup>1,1</sup>] representa els diagrames {{CDD|node|3|node|3|node}} o {{CDD|node|split1|nodes}}.

Inicialment, Coxeter representava esquemes bifurcadors amb posicionament vertical dels números, però després ho va abreujar amb una [[Potenciació|notació exponencial]], com [...,3<sup>p,q</sup>] o [3<sup>p,q,r</sup>], començant per [3<sup>1,1,1</sup>] o [3,3<sup>1,1</sup>] = {{CDD|node|splitsplit1|branch3|node}} o {{CDD|node|3|node|split1|nodes}} com a D₄. Coxeter va tractar als zeros com a casos especials per adaptar-se a la família ''A''<sub>''n''</sub>, com ''A''₃ = [3,3,3,3] = [3<sup>4,0,0</sup>] = [3<sup>4,0</sup>] = [3<sup>3,1</sup>] = [3<sup>2,2</sup>], per a {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}} = {{CDD|node|split1|nodes|3a|nodea|3a|nodea}} = {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}.

Els grups de Coxeter formats per esquemes cíclics estan representats entre [[parèntesi]]s dins dels claudàtors, com [(p,q,r)] = {{CDD|pqr}} per al [[grup triangular]] (p q r). Si els ordres de la branca són iguals, es poden agrupar com a exponent a la longitud del cicle entre claudàtors, com [(3,3,3,3)] = [3<sup>[4]</sup>], per a representar el diagrama de Coxeter {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}} o {{CDD|branch|3ab|branch}}. {{CDD|node|3|node|split1|branch}}, que també es pot representar [3,(3,3,3)] o [3,3<sup>[3]</sup>].

També es poden expressar, amb molta cura, esquemes de bucles més complicats. El [[Diagrama de Coxeter-Dynkin#Grups hiperbòlics paracompactes (Grups Koszul símplex)|grup de Coxeter paracompacte]] {{CDD|node|split1|branch|split2|node}} pot ser representat per la notació de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], amb parèntesis anidats / superposats, mostrant dos bucles [(3,3,3)] adjacents, i també es representa de manera més compacta com [3<sup>[ ]×[ ]</sup>], que representa la [[Rombe|simetria ròmbica]] en el diagrama de Coxeter. El diagrama gràfic complet del paracompacte {{CDD|tet}} o {{CDD|branch|splitcross|branch}}, es representa com [3<sup>[3,3]</sup>] amb el superíndex [3,3] com la simetria del seu diagrama de coxeter del [[tetraedre regular]].

El diagrama de Coxeter sol deixar les ramificacions d'ordre 2 no-tancades, però la notació entre claudàtors inclou un '''2''' explícit per connectar els subgrafs. Així, el diagrama de Coxeter {{CDD|node|3|node|2|node|3|node}} = ''A''₂×''A''₂ = 2''A''₂ també es por representar com [3]×[3] = [3]² = [3,2,3]. De vegades es poden incloure dues branques explícites amb una etiqueta 2 o bé amb una línia amb un buit: {{CDD|node|3|node|2x|node|3|node}} o {{CDD|node|3|node|3|2|3|node|3|node}}, com a presentació idèntica com [3,2,3].

{|align=center
|- valign=top
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Grups finits
|-
! Rang||Símbol del<br />grup
! Notació entre<br />claudàtors
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />Coxeter]]
|-
| 2 || ''A''₂
|| [3] || {{CDD|node|3|node}}
|-
| 2 || ''B''₂
|| [4] || {{CDD|node|4|node}}
|-
| 2|| ''H''₂
|| [5] || {{CDD|node|5|node}}
|-
| 2 || ''G''₂
|| [6] || {{CDD|node|6|node}}
|-
| 2 || ''I''₂(''p'') 
|| [p] || {{CDD|node|p|node}}
|-
| 3 || [[Simetria icosaedral|I<sub>h</sub>]], ''H''₃
|| [5,3] || {{CDD|node|5|node|3|node}}
|-
| 3 || [[Simetria tetraedral|T<sub>d</sub>]], ''A''₃
|| [3,3] || {{CDD|node|3|node|3|node}}
|-
| 3 || [[Simetria octaedral|O<sub>h</sub>]], ''B''₃
|| [4,3]|| {{CDD|node|4|node|3|node}}
|-
| 4 || ''A''₄
|| [3,3,3] || {{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
| 4 || ''B''₄
|| [4,3,3] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
| 4 || ''D''₄
|| [3<sup>1,1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|3|node}}
|-
| 4 || [[F4 (matemàtiques)|''F''₄]]
|| [3,4,3] ||{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|-
| 4 || ''H''₄
|| [5,3,3] || {{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''A''<sub>''n''</sub>
|| [3<sup>''n''-1</sup>] || {{CDD|node|3|node|3}}..{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''B''<sub>''n''</sub>
|| [4,3<sup>''n''-2</sup>] || {{CDD|node|4|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''D''<sub>''n''</sub>
|| [3<sup>n-3,1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| 6 || [[E6 (matemàtiques)|''E''₆]]
|| [3<sup>2,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| 7 || [[E7 (matemàtiques)|''E''₇]]
|| [3<sup>3,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| 8 || [[E8 (matemàtiques)|''E''₈]]
|| [3<sup>4,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Grups afins
|-
! Símbol del<br />grup
! Notació entre<br />claudàtors
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />Coxeter]]
|-
| <math>{\tilde{I}}_1, {\tilde{A}}_1</math>
|| [∞] || {{CDD|node|infin|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_2</math>
|| [3<sup>[3]</sup>] || {{CDD|node|split1|branch}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_2</math>
|| [4,4] || {{CDD|node|4|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{G}}_2</math>
|| [6,3] || {{CDD|node|6|node|3|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_3</math>
|| [3<sup>[4]</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_3</math>
|| [4,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_3</math>
|| [4,3,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_4</math>
|| [3<sup>[5]</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|3ab|branch}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_4</math>
|| [4,3,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_4</math>
|| [4,3,3,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{D}}_4</math>
|| [ 3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{F}}_4</math>
|| [3,4,3,3] || {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_n</math>
|| [3<sup>[n+1]</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}<br />o<br />{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_n</math>
|| [4,3<sup>n-3</sup>,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_n</math>
|| [4,3<sup>n-2</sup>,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{D}}_n</math>
|| [ 3<sup>1,1</sup>,3<sup>n-4</sup>,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_6</math>
|| [3<sup>2,2,2</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branchbranch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_7</math>
|| [3<sup>3,3,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_8=E_9</math>
|| [3<sup>5,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Grups hiperbòlics
|-
! Símbol del<br />grup
! Notació entre<br />claudàtors
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />Coxeter]]
|-
| || [p,q]<br />amb 2(p+q)<pq || {{CDD|node|p|node|q|node}}
|-
| || [(p,q,r)]<br />amb <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1</math> || {{CDD|pqr}}
|-
| <math>{\overline{BH}}_3</math>||[4,3,5] || {{CDD|node|4|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{K}}_3</math>||[5,3,5] || {{CDD|node|5|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{J}}_3, \tilde{H}_3</math>||[3,5,3] || {{CDD|node|3|node|5|node|3|node}}
|-
| <math>{\overline{DH}}_3</math>||[5,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|5|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\widehat{AB}}_3</math> || [(3,3,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch}}
|-
| <math>{\widehat{AH}}_3</math> || [(3,3,3,5)] || {{CDD|label5|branch|3ab|branch}}
|-
| <math>{\widehat{BB}}_3</math> || [(3,4,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label4}}
|-
| <math>{\widehat{BH}}_3</math> || [(3,4,3,5)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}}
|-
| <math>{\widehat{HH}}_3</math> ||[(3,5,3,5)] || {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
| <math>{\overline{H}}_4, \tilde{H}_4, H_5</math> || [3,3,3,5] || {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{BH}}_4</math> || [4,3,3,5] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{K}}_4</math> || [5,3,3,5] || {{CDD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{DH}}_4</math> || [5,3,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\widehat{AF}}_4</math> || [(3,3,3,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}
|}

Per als grups afins i hiperbòlics, el subíndex és inferior al nombre de nodes en cada cas, ja que cadascun d'aquests grups es va obtenir afegint un node al diagrama d'un grup finit.

== Subgrups ==
La notació de Coxeter representa la simetria rotacional / translacional afegint un operador superíndex '''<sup>+</sup>''' fora dels claudàtors, [X]<sup>+</sup> que redueix l'ordre del grup [X] a la meitat, per tant un subgrup d'índex 2. Aquest operador implica que s'hagi d'aplicar un nombre parell d'operadors, substituint les reflexions per rotacions (o traduccions). Quan s'aplica a un [[grup de Coxeter]] es denomina «subgrup directe» perquè el que queda només són isometries directes sense simetria reflexiva.

Els operadors '''<sup>+</sup>''' també es poden aplicar dins dels claudàtors, com [X,Y<sup>+</sup>] o [X,(Y,Z)<sup>+</sup>], i crea «subgrups semidirectes» que poden incloure generadors reflexius i no-reflexius. Els subgrups semidirectes només poden aplicar-se als subgrups del grup de Coxeter que tenen ordres parells de branques adjacents a ell. Els elements entre parèntesis dins d'un grup de Coxeter poden donar-se a un operador de superíndex '''<sup>+</sup>''', tenint com a efecte dividir les branques ordenades adjacents a mig ordre, per tant sol aplicar-se només amb números parells. Per exemple, [4,3<sup>+</sup>] i [4,(3,3)<sup>+</sup>] ({{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}).

Si s'aplica amb una branca senar contigua, no crea un subgrup d'índex 2, sinó que crea dominis fonamentals solapats, com [5,1<sup>+</sup>] = [5/2], que pot definir polígons doblement embolicats com un [[Pentacle|pentagrama]], {5/2}, i [5,3<sup>+</sup>], que es relacionen amb el [[triangle de Schwarz]] [5/2,3], [[Densitat (politop)|densitat]] 2.
{| class=wikitable align=center
|+ Exemples en grups de rang 2
!colspan=2|Grup||Ordre||Generadors||colspan=2|Subgrup||Ordre||Generadors||Notes
|-
||[''p'']||{{CDD|node_n0|p|node_n1}}||2''p''||{0,1}||[''p'']<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{01}||rowspan=2|Subgrup directe
|-
||[2''p''<sup>+</sup>] = [2''p'']<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h2}}||2''p''||{01}||[2''p''<sup>+</sup>]<sup>+</sup> = [2''p'']<sup>+2</sup> = [''p'']<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{0101}
|-
|rowspan=3|[2''p'']
|rowspan=3|{{CDD|node_n0|2x|p|node_n1}}
|rowspan=3|4''p''
|rowspan=3|{0,1}||[1<sup>+</sup>,2''p''] = [''p'']||{{CDD|node_h0|2x|p|node}} = {{CDD|node_h2|2x|p|node}} = {{CDD|node|p|node}}||rowspan=2|2''p''||{101,1}||rowspan=2|Subgrups semidirectes
|-
||[2''p'',1<sup>+</sup>] = [''p'']||{{CDD|node|2x|p|node_h0}} = {{CDD|node|2x|p|node_h2}} = {{CDD|node|p|node}}||{0,010}
|-
||[1<sup>+</sup>,2''p'',1<sup>+</sup>] = [2''p'']<sup>+2</sup> = [''p'']<sup>+</sup>||{{CDD|node_h0|2x|p|node_h0}} = {{CDD|node_h2|2|2x|p|2|node_h2}} = {{CDD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{0101}||Quart de subgrup
|}

Es poden veure grups sense elements '''<sup>+</sup>''' veïns en nodes anellats en el diagrama de Coxeter-Dynkin per a [[Politop uniforme|politops uniformes]] i [[Grup del paper pintat|grups del paper pintat]] relacionats amb «nodes forats» al voltant dels elements '''<sup>+</sup>''', cercles buits amb els nodes alternats eliminats. Així doncs, el [[cub xato]] {{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}} té simetria [4,3]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}), el [[Icosaedre regular|tetraedre xato]] {{CDD|node|4|node_h|3|node_h}} té simetria [4,3<sup>+</sup>] ({{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2}}), i un [[Tetràedre|demicub]] h{4,3} = {3,3} ({{CDD|node_h|4|node|3|node}} o {{CDD|nodes_10ru|split2|node}} = {{CDD|node_1|3|node|3|node}}) té simetria [1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3] ({{CDD|node_h2|4|node|3|node}} o {{CDD|node_h0|4|node|3|node}} = {{CDD|nodes|split2|node}} = {{CDD|node|3|node|3|node}}).

''Nota:'' La [[simetria tetraedral|simetria piritèdrica]] {{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2}} es pot escriure com {{CDD|node|4|2|node_h2|3|node_h2}}, separant el graf amb buits per a la claredat, amb els generadors {0,1,2} del grup de Coxeter {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}} produint generadors piritèdrics {0,12}, un reflex i una rotació de 3-plecs. I la simetria tetraedral quiral es pot escriure com {{CDD|node_h0|4|node_h2|3|node_h2}} o {{CDD|node_h2|2|4|node_h2|3|node_h2}}, [1<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>] = [3,3]<sup>+</sup>, amb generadors {12,0120}.

=== Subgrups reduïts a la meitat i grups ampliats ===
[[Norman Johnson]] estén l'operador '''<sup>+</sup>''' per a que sigui un marcador de posició 1<sup>+</sup> nodes, que elimina els miralls, doblant la mida del domini fonamental i retallant l'ordre del grup a la meitat.<ref name="subgroups2">Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 255, halving subgroups</ref> En general, aquesta operació només s'aplica a miralls individuals delimitats per branques d'ordre parell. L{{'}}'''1''' representa un mirall, de manera que [2p] es pot veure com [2p,<span style="color:#00ff00;">1</span>], [<span style="color:red;">1</span>,2p], o [<span style="color:red;">1</span>,2p,<span style="color:#00ff00;">1</span>], com un diagrama {{CDD|node|2x|p|node}} o {{CDD|node_c1|2x|p|node_c3}}, amb 2 miralls relacionats per un [[Angle díedre|angle diedre]] d'ordre 2p. L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar nodes de connexió, que es poden veure en els diagrames de Coxeter: {{CDD|node_h0|2x|p|node_c3}} = {{CDD|labelp|branch_c3}}, o en la notació entre claudàtors: [1<sup>+</sup>,2p, <span style="color:#00ff00;">1</span>] = [<span style="color:#00ff00;">1</span>,p,<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [p].

{| class=wikitable align=center
|+Exemple d'operacions
de reducció a la meitat
|-
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 4.png|120px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 half1.png|120px]]
|- align=center
|{{CDD|node_c1|4|node_c3}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [4]
|{{CDD|node_h0|4|node_c3}} = {{CDD|node_c3|2x|node_c3}} = {{CDD|node_c3|2|node_c3}}<br />[1<sup>+</sup>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>]=[2]=[ ]×[ ]
|-
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 half2.png|120px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 4 half.png|120px]]
|- align=center
|{{CDD|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|node_c1|2x|node_c1}} = {{CDD|node_c1|2|node_c1}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,1<sup>+</sup>]=[2]=[ ]×[ ]
|colspan=2|{{CDD|node_h0|4|node_h0}} = {{CDD|node_h0|4|node_h2}} = {{CDD|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] = [2]<sup>+</sup>
|}

Cadascun d'aquests miralls es pot eliminar de manera que h[2p] = [1<sup>+</sup>,2p,1] = [1,2p,1<sup>+</sup>] = [p] és un subgrup reflectant d'índex 2. Això es pot mostrar en un diagrama de Coxeter mitjançant afegint un símbol <sup>+</sup> a sobre del node: {{CDD|node_h0|2x|p|node}} = {{CDD|node|2x|p|node_h0}} = {{CDD|labelp|branch}}.

Si s'eliminen els dos miralls, es genera un quart de subgrup, i l'ordre de la branca es converteix en un punt de gir de la meitat de l'ordre:

:q[2p] = [1<sup>+</sup>,2p,1<sup>+</sup>] = [p]<sup>+</sup>, és un subgrup rotacional d'índex 4. {{CDD|node_h2|2|2x|p|2|node_h2}} = {{CDD|node_h0|2x|p|node_h0}} = {{CDD|node_h0|2x|p|node_h2}} = {{CDD|node_h2|2x|p|node_h0}} = {{CDD|labelp|branch_h2h2}}.

Per exemple, (amb p=2): [4,1<sup>+</sup>] = [1<sup>+</sup>,4] = [2] = [ ]×[ ], ordre 4. [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] = [2]<sup>+</sup>, ordre 2.

El contrari a la reducció a la mitat és la duplicació,<ref name="subgroups"/> la qual afegeix un mirall, es [[Bisectriu|bisecta]] un domini fonamental i es duplica l'ordre grupal.

: {{Brackets|p}} = [2p]

Les operacions de reducció a la meitat s'apliquen per a grups de rang superior (com la simetria tetraedral, que és un mig grup del grup octaedral: h[4,3] = [1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3], eliminant la meitat dels miralls fins a les 4 branques). L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar tots els nodes de connexió, que es poden veure als diagrames de Coxeter: {{CDD|node_h0|2x|p|node_c1|3|node_c2}} = {{CDD|labelp|branch_c1|split2|node_c2}}, h[2p,3] = [1<sup>+</sup>,2p,3] = [(p,3,3)].

{| class=wikitable align=center
![[Simetria tetraedral]]
![[Simetria octaedral]]
|- align=center
|[[Fitxer:Sphere symmetry group td.png|150px]]<br />T<sub>d</sub>, [3,3] = [1<sup>+</sup>,4,3]<br />{{CDD|node_c1|3|node_c1|3|node_c1}} = {{CDD|nodeab_c1|split2|node_c1}} = {{CDD|node_h0|4|node_c1|3|node_c1}}<br />(Ordre 24)
|[[Fitxer:Sphere symmetry group oh.png|150px]]<br />O<sub>h</sub>, [4,3] = {{Brackets|3,3}}<br />{{CDD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}<br />(Ordre 48)
|}

Si s'indexen nodes, es poden etiquetar mig subgrups amb nous miralls com a compostos. Igual que {{CDD|node_n0|2x|p|node_n1}}, generadors {0,1} té el subgrup {{CDD|node_h0|2x|p|node_n1}} = {{CDD|2_n0|node_n1|3_n0|p|node_n1}}, generadors {1,010}, on s'elimina el mirall 0 i es substitueix per una còpia del mirall 1 reflectit al mirall. També es dòna en {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}, generadors {0,1,2}, té el mig grup {{CDD|node_h0|4|node_n1|3|node_n2}} = {{CDD|node_n1|3|node_n2|3|3_n0|node_n1|2_n0}}, generadors {1,2,010}.

Doblant afegint un mirall també s'aplica en invertir l'operació a la meitat: {{Brackets|3,3}} = [4,3], o de manera més general {{Brackets|(q,q,p)}} = [2p,q].

=== Subgrups radicals ===
[[Norman Johnson]] també va afegir un operador [[asterisc]] o estrella * per a ''«subgrups radicals»'',<ref>Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 259, radical subgroup</ref> que actua de manera similar a l'operador <sup>+</sup>, però elimina la simetria rotacional. L'índex del subgrup radical és l'ordre de l'element eliminat. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrup [3] eliminat és d'ordre 6 de manera que [2,2] és un subgrup d'índex 6 de [4,3].

<gallery mode="packed" heights="300">
Fitxer:43-radial subgroups.png|Un subgrup radical és similar a una alternança, però elimina els generadors de rotació
</gallery>

Els subgrups radicals representen l'operació inversa a una operació de simetria estesa. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2], i a l'inversa [2,2] es poden ampliar com a [3[2,2]<nowiki>]</nowiki> ≅ [4,3]. Els subgrups també es poden expressar com a diagrama de Coxeter: {{CDD|node_c1|4|node|3s|node}} o {{CDD|node_c1|4|node_x|3|node_x}} ≅ {{CDD|nodeab_c1|2|node_c1}}. El node eliminat (mirall) fa que els miralls virtuals del mirall adjacent es converteixin en miralls reals.

Si [4,3] té generadors {0,1,2}, [4,3<sup>+</sup>], índex 2, té generadors {0,12}; [1<sup>+</sup>,4,3] ≅ [3,3], l'índex 2 té generadors {010,1,2}; mentre que el subgrup radical [4,3*] ≅ [2,2], índex 6, té generadors {01210, 2, (012)<sup>3</sup>}; i finalment [1<sup>+</sup>,4,3*], l'índex 12 té generadors {0(12)²0, (012)²01}.

=== Subgrups triònics ===
Un ''subgrup trionic'' són subgrups d'índex 3. Hi ha molts que Johnson defineix com ''subgrup trionic'' amb l'operador ⅄, índex 3. Per als grups coxeter de rang 2, [3], el subgrup trionic, [3<sup>⅄</sup>] és [ ], un únic mirall. I per a [3''p''], el subgrup trionic és [3''p'']<sup>⅄</sup> ≅ [''p'']. Donat el node {{CDD|node_n0|3x|p|node_n1}}, amb generadors {0,1}, té 3 subgrups trionics. Es poden diferenciar posant el símbol ⅄ després del generador de miralls per eliminar-lo, o bé en una branca per a tots dos: [3''p'',1<sup>⅄</sup>] = {{CDD|node_n0|3x|p|node_trionic}} = {{CDD|node_n0|p|3_n1|3_n0|node_n1|2_n0|2_n1}}, {{CDD|node_trionic|3x|p|node_n1}} = {{CDD|2_n0|2_n1|node_n0|3_n1|3_n0|p|node_n1}}, i [3''p''<sup>⅄</sup>] = {{CDD|node_n0|3x|3trionic|p|node_n1}} = {{CDD|2_n0|node_n1|3_n0|p|3_n1|node_n0|2_n1}} amb generadors {0,10101}, {01010,1}, o {101,010}.

Els subgrups trionics de [[simetria tetraèdrica]]: [3,3]<sup>⅄</sup> ≅ [2<sup>+</sup>,4], relacionen la simetria del [[tetràedre|tetràedre regular]] i el [[Disfenoide|disfenoide tetragonal]].

Per als grups de Coxeter de rang 3, [''p'',3], hi ha un subgrup trionic [''p'',3<sup>⅄</sup>] ≅ [''p''/2,''p''], o {{CDD|node_n0|2x|p|node_n1|3trionic|node_n2}} = {{CDD|2_n2|2_n1|node_n0|3_n1|3_n2|p|node_n0|2x|p|node_n1}}. Per exemple, el grup finit [4,3<sup>⅄</sup>] ≅ [2,4], i el grup Euclidià [6,3<sup>⅄</sup>] ≅ [3,6], i el grup hiperbòlic [8,3<sup>⅄</sup>] ≅ [4,8].

<gallery mode="packed" heights="250">
Fitxer:Trionic subgroups hexagonal symmetry.png|Exemple de subgrups triònics rang 2, [6] amb línies de miralls de 3 colors
Fitxer:Trionic Coxeter groups rank 3.png|Grups triònics de rang 3
Fitxer:Trionic subgroups rank 4b.png|Grups triònics de rang 4
</gallery>

Per a una branca adjacent senar, ''p'', no és reduirà l'ordre de grup, sinó que es crearan dominis fonamentals superposats. L'ordre de grup es manté igual, mentre que la [[Densitat (polítop)|densitat]] augmenta. Per exemple, la [[simetria icosaèdrica]], [5,3], del poliedre regular [[icosaedre]] es converteix en [5/2,5], la simetria de dos políedres d'estrelles regulars. També relaciona els mosaics hiperbòlics {p,3} i mosaics hiperbòlics estrella {p/2,p}.

Per a rang 4, [''q'',2''p'',3<sup>⅄</sup>] = [2''p'',((p,q,q))], {{CDD|node|q|node|2x|p|node|3trionic|node}} = {{CDD|labelq|branch|split2-pq|node|2x|p|node}}.

Per exemple, [3,4,3<sup>⅄</sup>] = [4,3,3], o {{CDD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3trionic|node_n3}} = {{CDD|2_n3|2_n2|node_n1|3_n2|3_n3|3|node_n0|3|node_n1|4|node_n2}}, generadors {0,1,2,3} en [3,4,3] amb el subgrup triònic [4,3,3] generadors {0,1,2,32123}. Per a grups hiperbòlics, [3,6,3<sup>⅄</sup>] = [6,3<sup>[3]</sup>], i [4,4,3<sup>⅄</sup>] = [4,4,4].

<gallery mode="packed" heights="250">
Fitxer:432 trionic subgroups.png|Exemple de subgrup triònic en simetria octaedral: [4,3<sup>⅄</sup>] = [2,4]
Fitxer:Trionic subgroups hexagonal.png|Exemple de subgrup triònic en simetria hexagonal [6,3] mapejat cap a una simetria [6,3] més gran
Fitxer:Hyperbolic 832 trionic subgroup 842.png|Exemple de subgrup triònic en simetria octagonal [8,3] mapejat cap a una simetria [4,8] més gran
</gallery>

==== Subgrups triònics de simetria tetraedral ====
Johnson va identificar dos ''subgrups trionics'' de [3,3]:<ref>Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 258, trionic subgroups.</ref>

* Primer, un subgrup d'índex 3, [3,3]<sup>⅄</sup> ≅ [2<sup>+</sup>,4], amb [3,3] ({{CDD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}} = {{CDD|node|split1|nodes}} = {{CDD|node|split1|branch|label2}}) generadors {0,1,2}. També es pot escriure com [(3,3,2<sup>⅄</sup>)] ({{CDD|node|split1|2|branch_h2h2|label2}}) com a recordatori dels seus generadors {02,1}. Aquesta reducció de simetria és la relació entre el [[tetraedre]] i el [[disfenoide|disfenoide tetragonal]], representant un estirament d'un tetràedre perpendicular a dues [[Aresta (geometria)|arestes]] oposades.
* En segon lloc, identifica un subgrup d'índex 6 relacionat [3,3]<sup>Δ</sup> o [(3,3,2<sup>⅄</sup>)]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|split1|2|branch_h2h2|label2}}), índex 3 de [3,3]<sup>+</sup> ≅ [2,2]<sup>+</sup>, amb generadors {02,1021}, de [3,3] i els seus generadors {0,1,2}. Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

<gallery mode="packed" heights="250">
Fitxer:Trionic_subgroups_of_tetrahedral_symmetry_stereographic_projection.png|[3,3]<sup>⅄</sup> ≅ [2<sup>+</sup>,4] com un dels tres conjunts de 2 miralls ortogonals en [[projecció estereogràfica]]. El vermell, el verd i el blau representen 3 jocs de miralls, i les línies grises s'extreuen els miralls, realitzant dues rotacions (diamants morats)
Fitxer:33-trionic subgroups.png|Relacions triòniques de [3,3]
Fitxer:334 trionic subgroups2.png|Relacions de subgrups triònics de [3,3,4]
</gallery>

Per exemple, [(3,3)<sup>+</sup>,4], [(3,3)<sup>⅄</sup>,4], i [(3,3)<sup>Δ</sup>,4] són subgrups [3,3,4], índex 2, 3 i 6 respectivament. Els generadors de [(3,3)<sup>⅄</sup>,4] ≅ {{Brackets|4,2,4}} ≅ [8,2<sup>+</sup>,8], ordre 128, són {02,1,3} de [3,3,4] generadors {0,1,2,3}. I [(3,3)<sup>Δ</sup>,4] ≅ {{Brackets|4,2<sup>+</sup>,4}}, ordre 64, són generadors {02,1021,3}. També [3<sup>⅄</sup>,4,3<sup>⅄</sup>] ≅ [(3,3)<sup>⅄</sup>,4].

Els també relacionats [3<sup>1,1,1</sup>] = [3,3,4,1<sup>+</sup>] són subgrups triònics: [3<sup>1,1,1</sup>]<sup>⅄</sup> = [(3,3)<sup>⅄</sup>,4,1<sup>+</sup>], ordre 64, i 1=[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>Δ</sup> = [(3,3)<sup>Δ</sup>,4,1<sup>+</sup>] ≅ [[4,2<sup>+</sup>,4]]<sup>+</sup>, ordre 32.

=== Inversió central ===
Una [[simetria central|inversió central]], d'ordre 2, és operativament diferent per dimensió. El grup <sup>''n''</sup> = [2<sup>''n''-1</sup>] representa ''n'' miralls ortogonals en un espai n-dimensional, o un [[varietat lineal|n-pla]] d'un subespai d'un espai dimensional superior. Els miralls del grup [2<sup>''n''-1</sup>] són numerats {{math|0 ... n-1}}. L'ordre dels miralls no importa en cas d'inversió. La matriu d'una inversió central és {{math|-I}}, la [[matriu identitat]] amb -1 a la diagonal.

A partir d'aquesta base, la inversió central té un generador com a producte de tots els miralls ortogonals. En la notació de Coxeter aquest grup d'inversió s'expressa afegint una alternança <sup>+</sup> a cada 2 branques. La simetria d'alternança està marcada als nodes del diagrama de Coxeter com a nodes oberts.

Un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] es pot marcar amb dues branques explícites que defineixen una seqüència lineal de miralls, nodes oberts i nodes doble obert compartits per mostrar l'encadenament dels generadors de reflexió.

Per exemple, [2<sup>+</sup>,2] i [2,2<sup>+</sup>] són subgrups d'índex 2 de [2,2], {{CDD|node|2|node|2|node}}, i són representats com {{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node}} (o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2|2|node}}) i {{CDD|node|2|node_h2|2x|node_h2}} (o {{CDD|node|2|node_h2|3|2|3|node_h2}}) amb generadors {01,2} i {0,12} respectivament. El seu subgrup comú d'índex 4 és [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], i és representat com {{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} (o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h4|3|2|3|node_h2}}), amb el {{CDD|node_h4}} doble obert marcant un node compartit en les dues alternances i un únic generador per [[Rotació impròpia|rotoreflexió]] {012}.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
! Dimensió
! Notació de Coxeter
! Ordre
! Diagrama de Coxeter
! Operació
! Generador
|-
|2||[2]<sup>+</sup>||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}||180° [[rotació (matemàtiques)|rotació]], C₂||{01}
|-
|3||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[rotació impròpia|rotoreflexió]], C<sub>i</sub> o S₂||{012}
|-
|4||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[Rotacions en l'espai euclidià 4-dimensional|doble rotació]] ||{0123}
|-
|5||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||doble reflexió rotativa||{01234}
|-
|6||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple rotació||{012345}
|-
|7||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple reflexió rotativa||{0123456}
|}

=== Rotacions i reflexos rotatius ===
Les [[Rotació (matemàtiques)|rotacions]] i els [[Rotació impròpia|reflexos rotatius]] estan construïts per un producte d'un sol generador de tots els reflexos d'un grup prismàtic, [2''p'']×[2''q'']× ... on [[Màxim comú divisor|mcd]] (''p'',''q'')=1, són isomorfs al [[grup cíclic]] abstracte Z<sub>n</sub>, d'ordre ''n''=2''pq''.

Les rotacions dobles en [[Quarta dimensió|4 dimensions]], [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>] (amb [[Màxim comú divisor|mcd]] (''p'',''q'')=1), que inclouen un grup central, i són expressades per Conway com ±[C<sub>''p''</sub>×C<sub>''q''</sub>],<ref>Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II</ref> ordre ''2pq''. A partir del diagrama de Coxeter {{CDD|node_n0|2x|p|node_n1|2|node_n2|2x|q|node_n3}}, els generadors {0,1,2,3}, el generador únic de [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>], {{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}} és {0123}. El semigrup [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, o graf cíclic,[(2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)], {{CDD|3|node_h4|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x}}, és expressat per Conway com [C<sub>''p''</sub>×C<sub>''q''</sub>], ordre ''pq'', amb generador {01230123}.

Si hi ha un factor comú ''f'', la doble rotació es pot escriure com {{frac|1|''f''}} [2''pf''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''qf''<sup>+</sup>] (amb [[Màxim comú divisor|mcd]] (''p'',''q'')=1), generador {0123}, ordre 2''pqf''. Per exemple, ''p''=''q''=1, ''f''=2, {{frac|1|2}}[4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] és d'ordre 4. I {{frac|1|''f''}} [2''pf''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''qf''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, generador {01230123}, és d'ordre ''pqf''. Per exemple, {{frac|1|2}}[4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup> és d'ordre 2, una [[Simetria central|inversió central]].
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+Exemples
! Dimensió
! Notació de Coxeter
! Ordre
! Diagrama de Coxeter
! Operació
! Generador
!colspan=2| Subgrup directe
|-
!2
||[2''p'']<sup>+</sup>||rowspan=6|2''p''||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h2}}||[[Rotació (matemàtiques)|Rotació]] ||{01}||[2''p'']<sup>+2</sup>||rowspan=6|Rotació simple:<BR>[2''p'']<sup>+2</sup> = [''p'']<sup>+</sup><BR>ordre ''p''
|-
!3
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2}}||[[rotació impròpia|rotoreflexió]] ||{012}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!4
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[Rotacions en l'espai euclidià 4-dimensional|doble rotació]] ||{0123}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!5
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||doble reflexió rotativa||{01234}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple rotació||{012345}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple reflexió rotativa||{0123456}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!4
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]
|rowspan=4|2''pq''
||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}}||doble rotació||{0123}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|rowspan=4|Doble rotació:<BR>[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup><BR>ordre ''pq''<BR>mcd(''p'',''q'')=1
|-
!5
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h2}}||doble reflexió rotativa||{01234}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple rotació||{012345}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||triple reflexió rotativa||{0123456}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]
|rowspan=2|2''pqr''||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|r|node_h2}}||triple rotació||{012345}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|rowspan=2|Triple rotació:<BR>[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]<sup>+</sup><BR>ordre ''pqr''<BR>mcd(''p'',''q'',''r'')=1
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|r|node_h4|2x|node_h2}}||triple reflexió rotativa||{0123456}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|}

=== Subgrups comutadors ===
Els grups simples amb només elements de branques d'ordre imparell tenen només un subgrup de rotació / translació d'ordre 2, que també és el ''[[subgrup commutador]]'', per exemple [[3,3]]<sup>+</sup>, [3,5]<sup>+</sup>, [3,3,3]<sup>+</sup>, [3,3,5]<sup>+</sup>. Per a altres grups de Coxeter amb branques d'ordre parell, el subgrup commutator té l'índex 2<sup>''c''</sup>, on ''c'' és el nombre de subgrafes desconnectats quan s'eliminen totes les branques d'ordre parell.<ref>Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126</ref> Per exemple, [4,4] té tres nodes independents al diagrama de Coxeter quan s'eliminen els «4», de manera que el seu subgrup de commutador és l'índex 2<sup>3</sup>, i pot tenir diferents representacions, totes amb tres operadors '''<sup>+</sup>''': [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>], [1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, o [(4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]. Es pot fer servir una notació general amb +''c'' com a exponent de grup, com [4,4]<sup>+3</sup>.

=== Exemples de subgrups ===
==== Exemples de subgrups de rang 2 ====
Els grups de [[simetria diedral]] amb ordres parells tenen diversos subgrups. Aquest exemple mostra dos miralls generadors de [4] en vermell i verd, i mira a tots els subgrups per la meitat, la reducció de rang i els seus subgrups directes. El grup [4], {{CDD|node_n0|4|node_n1}} té dos generadors de miralls 0 i 1. Cadascun genera dos miralls virtuals 101 i 010 per reflexió entre els altres.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400
!colspan=12| Subgrups de [4]
|-
![[Índex d'un subgrup|Índex]]
!1
!colspan=2|2 (meitat)
!colspan=2|4 (reducció de rang)
|-
!Diagrama 
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 4.png|120px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 half1.png|120px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 half2.png|120px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 quarter1.png|120px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 quarter2.png|120px]]
|- align=center
!Coxeter<br />{{CDD|node_n0|4|node_n1}}
|{{CDD|node_c1|4|node_c3}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [4]
|{{CDD|node_h0|4|node_c3}} = {{CDD|node_c3|2x|node_c3}} = {{CDD|node_c3|2|node_c3}}<br />[1<sup>+</sup>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [1<sup>+</sup>,4] = [2]
|{{CDD|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|node_c1|2x|node_c1}} = {{CDD|node_c1|2|node_c1}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,1<sup>+</sup>] = [4,1<sup>+</sup>] = [2]
|{{CDD|node_c1}}<br />[<span style="color:red;">1</span>] = [ ]
|{{CDD|node_c3}}<br />[<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [ ]
|- align=center
!Generadors
|{0,1}
|{101,1}
|{0,010}
|{0}
|{1}
|- align=center
!colspan=6|Subgrups directes
|- align=center
!Índex
!2
!colspan=2|4
!colspan=2|8
|- align=center
!Diagrama
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 4.png|120px]]
|colspan=2|[[Fitxer:Cyclic symmetry 4 half.png|120px]]
|colspan=2|[[Fitxer:Dihedral symmetry 4 eighth.png|120px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}<br />[4]<sup>+</sup>
|colspan=2|{{CDD|node_h0|4|node_h0}} = {{CDD|node_h0|4|node_h2}} = {{CDD|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[4]<sup>+2</sup> = [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] = [2]<sup>+</sup>
|colspan=2|{{CDD|node_h2}}<br />[ ]<sup>+</sup>
|- align=center
!Generadors
|{01}
|colspan=2|{(01)²}
|colspan=2|{0²} = {1²} = {(01)<sup>4</sup>} = { }
|}

==== Exemples de subgrups de rang 3 euclidians ====
El grup [4,4] compta amb 15 petits índex de subgrups. Aquesta taula els mostra tots, amb un domini fonamental groc per a grups reflectants purs i alternant dominis blancs i blaus que es combinen per fer dominis rotatius. Les línies de mirall cian, vermell i verd corresponen als nodes de colors del diagrama de Coxeter. Els generadors de subgrups es poden expressar com a productes dels tres miralls originals del domini fonamental, {0,1,2}, que corresponen als 3 nodes del diagrama de Coxeter, {{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}. Un producte de dues línies de reflexió que s'entrecreuen fa una rotació, com {012}, {12} o {02}. Eliminar un mirall provoca dues còpies de miralls veïns, a través del mirall eliminat, com {010} i {212}. Dues rotacions en sèrie tallen l'ordre de rotació a la meitat, com {0101} o {(01)²}, {1212} o {(02)²}. Un producte dels tres miralls crea una [[reflexió lliscada|transreflexió]], com {012} o {120}.

{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400 style="text-align:center;"
!colspan=12| Subgrups d'índex petit de [4,4]
|-
! [[Índex d'un subgrup|Índex]]
! 1
! colspan=3|2
! colspan=2|4
|-
!Diagrama
|[[Fitxer:442 symmetry 000.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry a00.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry 00a.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry 0a0.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry a0b.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry xxx.png|100px]]
|-
!Coxeter<br />{{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}
|[<span style="color:#00afaf;">1</span>,4,<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00bf00;">1</span>] = [4,4]<br />{{CDD|node_c5|4|node_c1|4|node_c3}}
|[1<sup>+</sup>,4,4]<br />{{CDD|node_h0|4|node_c1|4|node_c3}} = {{CDD|nodeab_c1|split2-44|node_c3}}
|[4,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c5|4|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|node_c5|split1-44|nodeab_c1}}
|[4,1<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_c5|4|node_h0|4|node_c3}} = {{CDD|nodeab_c5|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|[1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_h0|4|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|nodeab_c1|2a2b-cross|nodeab_c1}}
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}
|-
!Generadors
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:#00afaf;">101</span>,<span style="color:#00bf00;">121</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>,<span style="color:red;">20102</span>}
|{(01)²,(12)²,<span style="color:#7f3f3f;">012</span>,<span style="color:#3f7f3f;">120</span>}
|- align=center
![[Notació Orbifold|Orbifold]]
|colspan=3|*442
|colspan=2|*2222
|22×
|-
!colspan=7|Subgrups semidirectes
|-
! Índex
! 
! colspan=3|2
! colspan=2|4
|-
!Diagrama
|rowspan=4|
|[[Fitxer:442 symmetry 0aa.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry aa0.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry a0a.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry 0ab.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry ab0.png|100px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c5|4|node_h2|4|node_h2}}
|[4<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node_c3}}
|[(4,4,2<sup>+</sup>)]<br />{{CDD|node_c1|split1-44|branch_h2h2|label2}} = {{CDD|nodeab_c1|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c5|4|node_h0|4|node_h0}} = {{CDD|node_c5|split1-44|branch_h2h2|label2}} = {{CDD|nodeab_c5|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_h0|4|node_h0|4|node_c3}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|split2-44|node_c3}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|-
!Generadors
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,12}
|{01,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{02,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:#00afaf;">101</span>,(12)²}
|{(01)²,<span style="color:#00bf00;">121</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|-
!Orbifold
|colspan=2|4*2
|colspan=3|2*22
|-
!colspan=7|Subgrups directes
|-
!Index
!2
!colspan=3|4
!colspan=2|8
|-
!Diagrama
|[[Fitxer:442 symmetry aaa.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry abb.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry aab.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry aba.png|100px]]
|colspan=2|[[Fitxer:442 symmetry abc.png|100px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}} = {{CDD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[4,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h0|4|node_h2|4|node_h2}} = {{CDD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[4<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[(4,4,2<sup>+</sup>)]<sup>+</sup><br />{{CDD|labelh|node|split1-44|branch_h2h2|label2}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[4,4]<sup>+3</sup> = [(4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)] = [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] = [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h4b|split1-44|branch_h4h4|label2}} = {{CDD|node_h2|4|node_h0|4|node_h0}} = {{CDD|node_h0|4|node_h0|4|node_h2}} = {{CDD|node_h0|4|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|-
!Generadors
|{01,12}
|{(01)²,12}
|{01,(12)²}
|{02,(01)²,(12)²}
|colspan=2|{(01)²,(12)²,2(01)²2}
|-
!Orbifold
|colspan=3|442
|colspan=3|2222
|-
!colspan=7|Subgrups radicals
|-
!Índex
!
!colspan=2|8
!colspan=3|16
|-
!Diagrama
|rowspan=3|
|[[Fitxer:442 symmetry 0dd.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry dd0.png|100px]]
|[[Fitxer:442 symmetry add.png|100px]]
|colspan=2|[[Fitxer:442 symmetry dda.png|200px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4*]<br />{{CDD|node_c5|4|node_g|4sg|node_g}} = {{CDD|nodeab_c5|2a2b-cross|nodeab_c5}}
|[4*,4]<br />{{CDD|node_g|4sg|node_g|4|node_c3}} = {{CDD|nodeab_c3|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|[4,4*]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|4|node_g|4sg|node_g}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[4*,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_g|4sg|node_g|4|node_h2}} = {{CDD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|-
!Orbifold
|colspan=2|*2222
|colspan=3|2222
|}

==== Exemples de grups hiperbòlics ====
El mateix conjunt de 15 petits subgrups existeix en tots els grups de triangles amb elements d'ordre parell, com [6,4] en el pla hiperbòlic:
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400
!colspan=12| Subgrups d'índex petit de [6,4]
|- align=center
![[Índex subgrup|Índex]]
!1
!colspan=3|2
!colspan=4|4
|- align=center
!Diagrama
|[[Fitxer:642 symmetry 000.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry a00.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry 00a.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry 0a0.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry a0b.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry xxx.png|100px]]
|- align=center
!Coxeter<br />{{CDD|node_n0|6|node_n1|4|node_n2}}
|[<span style="color:#00ff00;">1</span>,6,<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:blue;">1</span>] = [6,4]<br />{{CDD|node_c3|6|node_c1|4|node_c2}}
|[1<sup>+</sup>,6,4]<br />{{CDD|node_h0|6|node_c1|4|node_c2}} = {{CDD|branch_c1|split2-44|node_c2}}
|[6,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c3|6|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|node_c3|split1-66|nodeab_c1}}
|[6,1<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_c3|6|node_h0|4|node_c2}} = {{CDD|branch_c3|2a2b-cross|nodeab_c2}}
|[1<sup>+</sup>,6,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_h0|6|node_c1|4|node_h0}} = {{CDD|branch_c1|2a2b-cross|branch_c1}}
|[6<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_h2|6|node_h4|4|node_h2}}
|- align=center
!Generadors
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:#00ff00;">101</span>,<span style="color:blue;">121</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>,<span style="color:red;">20102</span>}
|{(01)²,(12)²,<span style="color:#ff00ff;">012</span>}
|- align=center
![[Notació Orbifold|Orbifold]]
|*642
|[[443 symmetry|*443]]
|[[662 symmetry|*662]]
|[[3222 symmetry|*3222]]
|[[3232 symmetry|*3232]]
|32<span style="color:#ff00ff;">×</span>
|- align=center
!colspan=7|Subgrups semidirectes
|- align=center
!Diagrama
|
|[[Fitxer:642 symmetry 0aa.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry aa0.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry a0a.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry 0ab.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry ab0.png|100px]]
	
|- align=center
!Coxeter
|
|[6,4<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c3|6|node_h2|4|node_h2}}
|[6<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_h2|6|node_h2|4|node_c2}}
|[(6,4,2<sup>+</sup>)]<br />{{CDD|node_c1|split1-46|branch_h2h2|label2}}
|[6,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_c3|6|node_h0|4|node_h0}} = {{CDD|node_c3|6|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|node_c3|split1-66|branch_h2h2|label2}}<br /> = {{CDD|node_c3|6|node_h0|4|node_h2}} = {{CDD|branch_c3|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[1<sup>+</sup>,6,1<sup>+</sup>,4]<br />{{CDD|node_h0|6|node_h0|4|node_c2}} = {{CDD|node_h0|6|node_h2|4|node_c2}} = {{CDD|branch_h2h2|split2-44|node_c2}}<br /> = {{CDD|node_h2|6|node_h0|4|node_c2}} = {{CDD|branch_h2h2|2a2b-cross|nodeab_c2}}<br />
|- align=center
!Generadors
|
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,12}
|{01,<span style="color:blue;">2</span>}
|{02,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:#00ff00;">101</span>,(12)²}
|{(01)²,<span style="color:blue;">121</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|- align=center
!Orbifold
|
|4*3
|6*2
|2*32
|2*33
|3*22

|-
!colspan=7|Subgrups directes
|- align=center
!Índex
!2
!colspan=3|4
!colspan=4|8
|- align=center
!Diagrama
|[[Fitxer:642 symmetry aaa.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry abb.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry aab.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry aba.png|100px]]
|colspan=2|[[Fitxer:642 symmetry abc.png|100px]]
	
|- align=center
!Coxeter
|[6,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|6|node_h2|4|node_h2}} = {{CDD|node_h2|split1-64|branch_h2h2|label2}}
|[6,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h0|6|node_h2|4|node_h2}} = {{CDD|branch_h2h2|split2-44|node_h2}}
|[6<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|6|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|node_h2|split1-66|branch_h2h2|label2}}
|[(6,4,2<sup>+</sup>)]<sup>+</sup><br />{{CDD|labelh|node|split1-46|branch_h2h2|label2}} = {{CDD|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[6<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup> = [1<sup>+</sup>,6,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{CDD|node_h4b|split1-46|branch_h4h4|label2}} = {{CDD|node_h0|6|node_h0|4|node_h0}}<br /> = {{CDD|node_h0|6|node_h2|4|node_h0}} = {{CDD|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2}}
|- align=center
!Generators
|{01,12}
|{(01)²,12}
|{01,(12)²}
|{02,(01)²,(12)²}
|colspan=2|{(01)²,(12)²,201012}
|- align=center
!Orbifold
|642
|443
|662
|3222
|colspan=2|3232

|- align=center
!colspan=7|Subgrups radicals
|- align=center
!Índex
!
!8
!12
!16
!24
|- align=center
!Diagrama
|
|[[Fitxer:642 symmetry 0zz.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry zz0.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry azz.png|100px]]
|[[Fitxer:642 symmetry zza.png|100px]]
|- align=center
!Coxeter<br />(Orbifold)
|
|[6,4*]<br />{{CDD|node_c3|6|node_g|4sg|node_g}} = {{CDD|branch_c3|3a3b-cross|branch_c3}}<br />(*3333)
|[6*,4]<br />{{CDD|node|6|3s|node|4|node_c2}}<br />(*222222)
|[6,4*]<sup>+</sup><br />{{CDD|node_h2|6|node_g|4sg|node_g}} = {{CDD|branch_h2h2|3a3b-cross|branch_h2h2}}<br />(3333)
|[6*,4]<sup>+</sup><br />{{CDD|node|6|3s|node|4|node_h2}}<br />(222222)

|}

== Simetria ampliada ==
La notació de Coxeter inclou una notació de doble [[claudàtor]] <nowiki>[[X]]</nowiki> per expressar la simetria [[automorfisme|automòrfica]] dins d'un diagrama de Coxeter. Johnson va afegir una opció alternativa, l'angle-claudàtor <[X]> o ⟨[X]⟩, com a opció equivalent al doble claudàtor per a distingir la simetria del diagrama a través dels nodes enfront de les branques. Johnson també va afegir un modificador de simetria de prefix <nowiki>[Y[X]]</nowiki>, on Y pot representar la simetria del diagrama de Coxeter de [X], o bé la simetria del domini fonamental de [X].

{| class=wikitable align=center width=100 
|{{A2 honeycombs}}
|-
|En el [[pla euclidià]], el grup de Coxeter <math>{\tilde{A}}_2</math>, [3<sup>[3]</sup>] es pot estendre de dues maneres al grup de Coxeter <math>{\tilde{G}}_2</math>, [6,3] i relaciona les cel·les uniformes com a diagrames anellats.
|}

Per exemple, en 3D aquests esquemes de geometria equivalents [[rectangle]] i [[rombe|ròmbic]] de <math>{\tilde{A}}_3</math>: {{CDD|branch|3ab|3ab|branch}} i {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}, el primer es va duplicar amb claudàtors, <nowiki>[[</nowiki>3<sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki> o dos cops com a <nowiki>[2[3</nowiki><sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki>, amb simetries superiors [2], ordre 4. Per diferenciar el segon, es fan servir els angles-claudators per a duplicar, ⟨[3 <sup> [4] </sup>]⟩ i dues vegades duplicat per ⟨2 [3 <sup> [4] </sup>]⟩, també amb una simetria [2] diferent, d'ordre 4. Finalment, una simetria completa on els 4 nodes són equivalents es pot representar amb <nowiki>[4[3</nowiki><sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki>, amb l'ordre 8, simetria [4] del [[Quadrat (polígon)|quadrat]]. Però tenint en compte el domini [[Disfenoide|disfenoide tetragonal]] fonamental, la simetria estesa [4] del gràfic quadrat es pot marcar de manera més explícita com [(2<sup>+</sup>,4)[3<sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki> o [2<sup>+</sup>,4[3<sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki>.

Hi ha més simetria a la cíclica <math>{\tilde{A}}_n</math> i a les branque dels diagrames <math>D_3</math>, <math>{\tilde{E}}_6</math>, i <math>{\tilde{D}}_4</math>. <math>{\tilde{A}}_n</math> té ordre de 2''n'' simetria d'un ''n''-gon regular {''n''}, i està representat per [''n''[3<sup>[''n'']</sup><nowiki>]]</nowiki>. <math>D_3</math> i <math>{\tilde{E}}_6</math> estan representats per [3[3<sup>1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,4,3] i [3[3<sup>2,2,2</sup><nowiki>]]</nowiki> respectivament, mentre <math>{\tilde{D}}_4</math> per [(3,3)[3<sup>1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,3,4,3], amb el diagrama que conté la simetria d'ordre 24 del [[tetraedre]], {3,3}. El grup hiperbòlic paracompacte <math>{\bar{L}}_5</math> = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>], {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}, conté la simetria d'un [[5-cell]], {3,3,3}, que es representa per [(3,3,3)[3<sup>1,1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,4,3,3,3].

Un [[asterisc]] superíndex <sup>*</sup> és efectivament una operació inversa, creant ''subgrups radicals'' eliminant la connexió de miralls imparells ordenats.<ref>{{ref-publicació | doi=10.1016/S0024-3795(99)00107-X| article=Quaternionic modular groups| publicació=Linear Algebra and Its Applications| volum=295(1–3)| pàgines=159–189| any=1999| cognom=Johnson| nom=Norman W.| cognom2=Weiss| nom2=Asia Ivić |llengua=anglès}}</ref>

Exemples:
{| class="wikitable collapsible"
!colspan=12|Exemple de grups estesos i subgrups radicals
|- valign=top
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
! Grups estesos
! Subgrups radicals
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrames de Coxeter]]
! Índex
|-
| [3[2,2<nowiki>]]</nowiki> = [4,3] || [4,3*] = [2,2] || {{CDD|node_c1|4|node|3s|node}} = {{CDD||node_c1|2|nodeab_c1}} || 6
|-
| [(3,3)[2,2,2<nowiki>]]</nowiki> = [4,3,3] || [4,(3,3)*] = [2,2,2] || {{CDD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}} = {{CDD|nodeab_c1|2|nodeab_c1}} || 24
|-
| [1[3<sup>1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = {{Brackets|3,3}} = [3,4] || [3,4,1<sup>+</sup>] = [3,3] || {{CDD|node_c1|3|node_c2|4|node_h0}} = {{CDD|node_c1|split1|nodeab_c2}} || 2
|-
| [3[3<sup>1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,4,3] || [3*,4,3] = [3<sup>1,1,1</sup>] || {{CDD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2}} = {{CDD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2}} || 6
|-
| [2[3<sup>1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [4,3,3,4] || [1<sup>+</sup>,4,3,3,4,1<sup>+</sup>] = [3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node_h0|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|4|node_h0}} = {{CDD|nodeab_c1|split2|node_c2|split1|nodeab_c3}} ||4
|-
| [3[3,3<sup>1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,3,4,3] || [3*,4,3,3] = [3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}} = {{CDD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|3|node_c3}} || 6
|-
| [(3,3)[3<sup>1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,4,3,3] || [3,4,(3,3)*] = [3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}} = {{CDD|nodeab_c1|split2|node_c2|split1|nodeab_c1}} || 24
|-
| [2[3,3<sup>1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,(3,4)<sup>1,1</sup>] || [3,(3,4,1<sup>+</sup>)<sup>1,1</sup>] = [3,3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node_c4|3|node_c3|split1|nodeab_c1-2|4a4b|nodes}} = {{CDD|node_c4|branch3_c1|splitsplit2|node_c3|split1|nodeab_c2}} || 4
|-
| [(2,3)[<sup>1,1</sup>3<sup>1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [4,3,3,4,3] || [3*,4,3,3,4,1<sup>+</sup>] = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|4|node_h0}} = {{CDD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c3}} || 12
|-
| [(3,3)[3,3<sup>1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,3,4,3,3] || [3,3,4,(3,3)*] = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node_c3|3|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}} = {{CDD|node_c3|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c1}} || 24
|-
| [(3,3,3)[3<sup>1,1,1,1,1</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,4,3,3,3] || [3,4,(3,3,3)*] = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>] || {{CDD|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3g|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}} = {{CDD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c1}} || 120
|}
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
! Grups estesos
! Subgrups radicals
! Diagrames de Coxeter
! Índex
|-
| [1[3<sup>[3]</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,6] || [3,6,1<sup>+</sup>] = [3<sup>[3]</sup>] || {{CDD|node_c1|3|node_c2|6|node_h0}} = {{CDD|node_c1|split1|branch_c2}} ||2
|-
| [3[3<sup>[3]</sup><nowiki>]]</nowiki> = [6,3] || [6,3*] = [3<sup>[3]</sup>] || {{CDD|node_c1|6|node|3s|node}} = {{CDD|node_c1|split1|branch_c1}} ||6
|-
| [1[3,3<sup>[3]</sup><nowiki>]]</nowiki> = [3,3,6] || [3,3,6,1<sup>+</sup>] = [3,3<sup>[3]</sup>] || {{CDD|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|6|node_h0}} = {{CDD|node_c1|3|node_c2|split1|branch_c3}} ||2
|-
| [(3,3)[3<sup>[3,3]</sup><nowiki>]]</nowiki> = [6,3,3] || [6,(3,3)*] = [3<sup>[3,3]</sup>] || {{CDD|node_c1|6|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}} = {{CDD|node_c1|splitsplit1|branch4_c1|splitsplit2|node_c1}} ||24
|-
| [1[&infin;]²] = [4,4] || [4,1<sup>+</sup>,4] = [&infin;]² = [&infin;]×[&infin;] = [&infin;,2,&infin;] || {{CDD|node_c1|4|node_h0|4|node_c2}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1-2|2|branch_c1-2|labelinfin}} ||2
|-
| [2[&infin;]²] = [4,4] || [1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>] = [(4,4,2*)] = [&infin;]² || {{CDD|node_h0|4|node_c2|4|node_h0}} = {{CDD|labelinfin|branch_c2|2|branch_c2|labelinfin}} ||4
|-
| [4[&infin;]²] = [4,4] || [4,4*] = [&infin;]² || {{CDD|node_c1|4|node_g|4sg|node_g}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1|2|branch_c1|labelinfin}} ||8
|-
| [2[3<sup>[4]</sup><nowiki>]]</nowiki> = [4,3,4] || [1<sup>+</sup>,4,3,4,1<sup>+</sup>] = [(4,3,4,2*)] = [3<sup>[4]</sup>] || {{CDD|node_h0|4|node_c1|3|node_c2|4|node_h0}} = {{CDD|node_c1|split1|nodeab_c2|split2|node_c1}} = {{CDD|nodeab_c1|splitcross|nodeab_c2}} ||4
|-
| [3[&infin;]<sup>3</sup>] = [4,3,4] || [4,3*,4] = [&infin;]<sup>3</sup> = [&infin;,2,&infin;,2,&infin;] || {{CDD|node_c1|4|node|3s|node|4|node_c2}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2}} ||6
|-
| [(3,3)[&infin;]<sup>3</sup>] = [4,3<sup>1,1</sup>] || [4,(3<sup>1,1</sup>)*] = [&infin;]<sup>3</sup> || {{CDD|node_c1|4|node|split1|nodes}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}} ||24
|-
| [(4,3)[&infin;]<sup>3</sup>] = [4,3,4] || [4,(3,4)*] = [&infin;]<sup>3</sup> || {{CDD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|4g|node_g}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}} ||48
|-
| [(3,3)[&infin;]<sup>4</sup>] = [4,3,3,4] || [4,(3,3)*,4] = [&infin;]<sup>4</sup> || {{CDD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g|4|node_c2}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2}} ||24
|-
| [(4,3,3)[&infin;]<sup>4</sup>] = [4,3,3,4] || [4,(3,3,4)*] = [&infin;]<sup>4</sup> || {{CDD|node_c1|4|node_g|3g|node_g|3sg|node_g|4g|node_g}} = {{CDD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}} ||384
|}
|}

Si veiem els generadors, la doble simetria es veu com afegir un nou operador que mapeja posicions simètriques al diagrama de Coxeter, fent que alguns generadors originals siguin redundants. Per als [[grup espacial|grups]] 3D i els grups de punts 4D, Coxeter defineix un subgrup de dos índexs de {{Brackets|X}}, {{Brackets|X|<sup>+</sup>}}, que ell defineix. com a producte dels generadors originals de [X] pel generador duplicat. Sembla semblant a {{Brackets|X}}<sup>+</sup>, que és el subgrup quiral de {{Brackets|X}}. Així, per exemple, els grups espacials 3D {{Brackets|4,3,4}}<sup>+</sup> (I432, 211) i {{Brackets|4,3,4|<sup>+</sup>}} (Pm{{overline|3}}n, 223) són diferents subgrups de {{Brackets|4,3,4}} (Im{{overline|3}}m, 229).

== Càlcul amb matrius de reflexió com a generadors de simetria ==
Un grup Coxeter, representat pel [[diagrama de Coxeter]] {{CDD|node_n0|p|node_n1|q|node_n2}}, es dona la notació Coxeter com [p, q] per a les ordres de la branca. Cada node del diagrama de Coxeter representa un mirall, anomenat per convenció ρ<sub>i</sub> (i la matriu R<sub>i</sub>). Els ''generadors'' d'aquest grup [p, q] són reflexions: ρ<sub>0</sub>, ρ<sub>1</sub>, i ρ₂. La subsimetria rotacional es dona com a productes de les reflexions: Per convenció, σ<sub>0,1</sub> (i la matriu S<sub>0,1</sub>) = ρ<sub>0</sub>ρ<sub>1</sub> representa una rotació de l'angle π/p, i σ<sub>1,2</sub> = ρ<sub>1</sub>ρ₂ és una rotació de l'angle π/q, i σ<sub>0,2</sub> = ρ<sub>0</sub>ρ₂ representa una rotació de l'angle π/2.

[p,q]<sup>+</sup>, {{CDD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|3|q|3_n1|3_n2|node_h2}}, és un subgrup d'índex 2 representat per dos generadors de rotació, cadascun dels productes de dues reflexions: σ<sub>0,1</sub>, σ<sub>1,2</sub> i que representen rotacions dels angles π/''p'', i π/''q'' respectivament.

Amb una branca parella, [''p''<sup>+</sup>,2''q''], {{CDD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|2x|q|node_n2}} o {{CDD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|2|2x|q|node_n2}}, és un altre subgrup de l'índex 2, representat pel generador de rotació σ<sub>0,1</sub> i ρ₂ reflexional.

Amb branques parelles, [2''p''<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>], {{CDD|node_h2|3_n0|3_n1|3_n2|2x|p|node_h4|2x|q|node_h2}}, és un subgrup d'índex 4 amb dos generadors, construït com a producte de les tres matrius de reflexió: Per convenció com a: ψ<sub>0,1,2</sub> and ψ<sub>1,2,0</sub>, que són [[rotació impròpia|rotacions reflexives]], que representen una reflexió i rotació o reflexió.

En el cas de grups de Coxeter afins com {{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}, o {{CDD|node_n0|infin|node_n1}}, un mirall, normalment el darrer, es trasllada des de l'origen. Una [[Translació (geometria)|translació]] d'un generador τ<sub>0,1</sub> (i la matriu T<sub>0,1</sub>) es construeix com el producte de dues (o un nombre parell de) reflexions, inclosa la reflexió afí. Una [[reflexió lliscada|transreflexió]] (reflexió més una translació) pot ser el producte d'un nombre senar de reflexionsφ<sub>0,1,2</sub> (i la matriu V<sub>0,1,2</sub>), com el subgrup d'índex 4 {{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}: [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] = {{CDD|node_h2|3_n0|3_n1|3_n2|4|node_h4|4|node_h2}}.

Un altre generador compost, per convenció com ζ (i matriu Z), representa la [[simetria central|inversió]], mapejant un punt a la seva inversa. Per a [4,3] i [5,3], ζ = (ρ<sub>0</sub>ρ<sub>1</sub>ρ₂)<sup>h/2</sup>, on ''h'' és 6 i 10 respectivament, el [[número de Coxeter]] per a cada família. Per al grup de Coxeter 3D [p,q] ({{CDD|node|p|node|q|node}}), aquest subgrup és una reflexió rotativa [2<sup>+</sup>,h<sup>+</sup>].

Els grups de Coxeter es classifiquen segons el seu rang, sent el nombre de nodes del seu [[diagrama de Coxeter-Dynkin]]. L'estructura dels grups també es dona amb els seus tipus de grups abstractes: En aquest article, els [[grup dièdric|grups dièdrics]] abstractes es representen com ''Dih''<sub>n</sub>, i [[Grup cíclic|grups cíclics]] estan representats per ''Z''<sub>n</sub>, with ''Dih''<sub>1</sub>=''Z''₂.

=== Rang 2 ===
Per exemple, en [[Espai bidimensional|2D]], el grup de Coxeter [p] ({{CDD|node|p|node}}) està representat per dues matrius de reflexió, R<sub>0</sub> i R<sub>1</sub>. La simetria cíclica [p]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|p|node_h2}}) es representa mitjançant la matriu generadora de rotació S<sub>0,1</sub>.

{|
|- valign=top
|
{| class=wikitable
|+ [p], {{CDD|node_n0|p|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexions
!Rotació
|-
!Nom
! R<sub>0</sub><BR>{{CDD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_h2|p|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||''p''
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|
{| class=wikitable
|+ [2], {{CDD|node_n0|2|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexions
!Rotació
|-
!Nom
! R<sub>0</sub><BR>{{CDD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|-
|
{| class=wikitable
|+ [3], {{CDD|node_n0|3|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexions
!Rotació
|-
!Nom
! R<sub>0</sub><BR>{{CDD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||3
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 \\
\sqrt3/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 \\
-\sqrt3/2 & -1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|
{| class=wikitable
|+ [4], {{CDD|node_n0|4|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexions
!Rotació
|-
!Nom
! R<sub>0</sub><BR>{{CDD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><BR>{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||4
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|}

=== Rang 3 ===
Els grups de Coxeter de rang 3 finits són [1,''p''], [2,''p''], [3,3], [3,4], i [3,5].

Per reflectir un punt a través d'un [[pla]] <math>ax + by + cz = 0</math> (que passa per l'origen), es pot utilitzar <math>\mathbf{A} = \mathbf{I}-2\mathbf{NN}^T </math>, on <math>\mathbf{I}</math> és la [[matriu identitat]] 3x3 i <math>\mathbf{N}</math> és el [[vector unitari]] tridimensional per al vector normal del pla. Si la [[norma (matemàtiques)|norma L2]] de <math>a, b,</math> and <math>c</math> és unitat, la [[matriu de transformació]] es pot expressar com:

:<math>\mathbf{A} = \left [\begin{smallmatrix} 1 - 2 a^2 & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b & 1 - 2 b^2 & - 2 b c \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{smallmatrix}\right ]</math>

==== Simetria diedral ====
El grup reflector finit tridimensional reductible té [[simetria diedral]], [''p'',2], ordre 4''p'', {{CDD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2}}. Els generadors de reflexió són les matrius R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=Identitat.

[''p'',2]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|p|node_h2|2x|node_h2}}) està generat per de 2 a 3 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2.</sub>

{| class=wikitable
|+[p,2], {{CDD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2}}
!
! colspan=3 |Reflexions
! colspan=3 |Rotacions
!Rotoreflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|p|node_h}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h|2x|p|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||''p''|| colspan=2 |2||2''p''
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & -\sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

==== Simetria tetraedral ====
[[Fitxer:Sphere symmetry group td.png|miniatura|Línies de reflexió de [3,3] = {{CDD|node_c1|3|node_c1|3|node_c1}}]]
El grup reflector finit tridimensional més simple ireductible és la [[simetria tetraedral]], [3,3], ordre 24, {{CDD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}}. Els generadors de reflexió, d'una construcció D₃=A₃, són les matrius R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=Identitat.

[3,3]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) està generat per de 2 a 3 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, i S<sub>0,2</sub>. Un subgrup triònic, isomórfic a [2<sup>+</sup>,4], ordre 8, és generat per S<sub>0,2</sub> i R<sub>1</sub>.

Una [[rotació impròpia|rotoreflexió]] d'ordre 4 és generat per V<sub>0,1,2</sub>, el producte de les tres reflexions.

{| class=wikitable
|+[3,3], {{CDD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}}
!
! colspan=3 |Reflexions
! colspan=3 |Rotacions
!Rotoreflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Nom
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2|| colspan=2 |3||2||4
|-
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,1,-1)<sub>n</sub>
|(1,-1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,1)<sub>n</sub>
|(1,1,1)<sub>axial</sub>
|(1,1,-1)<sub>axial</sub>
|(1,0,0)<sub>axial</sub>
|
|}

==== Simetria octaedral ====
[[Fitxer:Sphere symmetry group oh.png|miniatura|Línies de reflexió per a [4,3] = {{CDD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}]]
Un altre grup reflector irreductible en tres dimensions és la [[simetria octaedral]], [4,3], ordre 48, {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}. Les matrius dels generadors de reflexió són R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>4</sup>=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=Identitat.

La simetria octaèdrica quiral, [4,3]<sup>+</sup>, ({{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}) es generat per de 2 a 3 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, i S<sub>0,2</sub>. La [[simetria tetraedral|simetria piritoedral]] [4,3 <sup> + </sup>], [4,3]<sup>+</sup>, ({{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}) es genera mitjançant la reflexió R<sub>0</sub> i rotació S<sub>1,2</sub>.

Una [[rotació impròpia|rotoreflexió]] de sis plecs és generada per V<sub>0,1,2</sub>, el producte de les tres reflexions.

{| class=wikitable
|+[4,3], {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}
!
! colspan=3 |Reflexions
! colspan=3 |Rotacions
!Rotoreflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|6|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||4||3||2||6
|- align=center
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,0,1)<sub>n</sub>
|(0,1,-1)<sub>n</sub>
|(1,-1,0)<sub>n</sub>
|(1,0,0)<sub>axial</sub>
|(1,1,1)<sub>axial</sub>
|(1,-1,0)<sub>axial</sub>
|
|}

==== Simetria icosaedral ====
[[Fitxer:Sphere symmetry group ih.png|miniatura|Línies de reflexió de [5,3] = {{CDD|node_c2|5|node_c2|3|node_c2}}]]
Un grup reflexiu finit irreductible tridimensional és la [[simetria icosaèdrica]], [5,3], ordre 120, {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}. Les matrius dels generadors de reflexió són R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)⁵=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=Identitat.

[5,3]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) es genera per de 2 a 3 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, i S<sub>0,2</sub>.

Una [[Rotació impròpia|rotoreflexió]] de deu plecs és generat per V<sub>0,1,2</sub>, el producte de les tres reflexions.

{| class=wikitable
|+[5,3], {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}
!
! colspan=3 |Reflexions
! colspan=3 |Rotacions
!Rotoreflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|5|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|10|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||5||3||2||10
|- align=center
!Matriu
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,0,0)<sub>n</sub>
|<math>(\begin{smallmatrix}\frac {\phi}{2}, \frac {1}{2}, \frac {\phi-1}{2}\end{smallmatrix})</math><sub>n</sub>
|(0,1,0)<sub>n</sub>

|(&phi;,1,0)<sub>axial</sub>
|(1,1,1)<sub>axial</sub>
|(1,0,0)<sub>axial</sub>

|
|}

=== Rang 3 afí ===
Un exemple simple de grup afí és [4,4] ({{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}) (p4m), que es pot donar per tres matrius de reflexió, construïdes com una reflexió a través de l'eix x (y=0), una diagonal (x=y), i la reflexió afí a través de la línia (x=1). [4,4]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}}) (p4) és generat per S<sub>0,1</sub> S<sub>1,2</sub>, i S<sub>0,2</sub>. [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] ({{CDD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}) (pgg) es genera per una rotació de dos plecs S<sub>0,2</sub> i [[Rotació impròpia|transreflexió]] V<sub>0,1,2</sub>. [4<sup>+</sup>,4] ({{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node}}) (p4g) és generat per S<sub>0,1</sub> i R₃. El grup [(4,4,2<sup>+</sup>)] ({{CDD|node|split1-44|branch_h2h2|label2}}) (cmm), està generat per una rotació de dos plecs S<sub>1,3</sub> i reflexió R₂.

{| class=wikitable
|+ [4,4], {{CDD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexions
!colspan=3|Rotacions
!Rotoreflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|colspan=2|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||colspan=2|4||2||&infin;
|- align=center
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

=== Rang 4 ===
==== Simetria hiperoctaedral o hexadecacòrica ====
Un grup reflexiu finit irreductible de [[Quarta dimensió|4 dimensions]] és un [[grup hiperoctaedral]] (o un grup hexadecàric (per a [[16-cell]])), B₄=[4,3,3], ordre 384, {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}. Les matrius dels generadors de reflexió són R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂, R₃. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=R₃²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>4</sup>=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R₂×R₃)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=(R<sub>1</sub>×R₃)²=(R<sub>0</sub>×R₃)²=Identitat.

La simetria hiperoctaedral quiral, [4,3,3]<sup>+</sup>, ({{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) és generada per de 3 a 6 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, S<sub>2,3</sub>, S<sub>0,2</sub>, S<sub>1,3</sub>, i S<sub>0,3</sub>. La [[simetria hiperpiritoedral]] [4,(3,3)<sup>+</sup>], ({{CDD|node_n0|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) és generat per R<sub>0</sub> reflexions i S<sub>1,2</sub> i S<sub>2,3</sub> rotacions.

Una [[Rotacions en l'espai euclidià 4-dimensional|doble rotació]] de vuit plecs és generada per W<sub>0,1,2,3</sub>, el producte de totes les quatre reflexions.

{| class=wikitable
|+[4,3,3], {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
! colspan=4 |Reflexions
! colspan=6 |Rotacions
! colspan=4 |Rotoreflexions
!Doble rotació
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! R₃
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,3</sub>
! V<sub>1,2,3</sub>
! V<sub>0,1,3</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,3</sub>
! W<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_n4}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
| colspan=3 |{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|4|node_h4|3|2|3|node_h2}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h4|6|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|8|node_h4|3|2|3|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||2||4|| colspan=2 |3|| colspan=3 |2|| colspan=2 |4|| colspan=2 |6||8
|- align=center
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,0,0,1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,-1)<sub>n</sub>
|(0,1,-1,0)<sub>n</sub>
|(1,-1,0,0)<sub>n</sub>
|
|
|
|
|}

==== Simetria icositetracòrica ====
Un grup reflexiu finit irreductible en 4 dimensions és el [[grup icositetracòric]] (per a [[24-cell]]), F₄=[3,4,3], ordre 1152, {{CDD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}. Les matrius dels generadors de reflexió són R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂, R₃. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=R₃²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>4</sup>=(R₂×R₃)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=(R<sub>1</sub>×R₃)²=(R<sub>0</sub>×R₃)²=Identitat.

La simetria icositetracòrica quiral, [3,4,3]<sup>+</sup>, ({{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}) és generada per de 3 a 6 rotacions: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, S<sub>2,3</sub>, S<sub>0,2</sub>, S<sub>1,3</sub>, id S<sub>0,3</sub>. El grup jònic disminuït [3,4,3<sup>+</sup>], ({{CDD|node_n0|3|node_n1|4|node_h2|3|node_h2}}) és generat per R<sub>0</sub> reflexions i S<sub>1,2</sub> i S<sub>2,3</sub> rotacions.

Una [[Rotacions en l'espai euclidià 4-dimensional|doble rotació]] de dotze plecs és generada per W<sub>0,1,2,3</sub>, el producte de totes les quatre reflexions.

{| class=wikitable
|+[3,4,3], {{CDD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}
!
! colspan=4 |Reflexions
! colspan=6 |Rotacions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! R₃
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,3</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_n4}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
| colspan=2 |{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
| colspan=3 |{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||2||3||4||3|| colspan=3 |2
|- align=center
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(-1,-1,-1,-1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,-1,0)<sub>n</sub>
|(1,-1,0,0)<sub>n</sub>
|
|
|
|
|}

{| class=wikitable
|+[3,4,3], {{CDD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}
!
! colspan=4 |Rotoreflexions
!Doble rotació
|-
!Nom
! V<sub>1,2,3</sub>
! V<sub>0,1,3</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,3</sub>
! W<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grup
| colspan=4 |{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h4|6|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|12|node_h4|3|2|3|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
!Ordre
| colspan=4 |6||12
|- align=center
!Matriu
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

==== Simetria hipericosaedral ====
La simetria hipericosaedral, [5,3,3], ordre 14400, {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}. Les matrius dels generadors de reflexió són R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R₂, R₃. R<sub>0</sub>²=R<sub>1</sub>²=R₂²=R₃²=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)⁵=(R<sub>1</sub>×R₂)<sup>3</sup>=(R₂×R₃)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R₂)²=(R<sub>0</sub>×R₃)²=(R<sub>1</sub>×R₃)²=Identitat.

[5,3,3]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) és generada per tres rotacions: S<sub>0,1</sub> = R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>, S<sub>1,2</sub> = R<sub>1</sub>×R₂, S<sub>2,3</sub> = R₂×R₃, etc.

{| class=wikitable
|+[5,3,3], {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
! colspan=4 |Reflexions
|-
!Nom
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R₂
! R₃
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_n3}}
|- align=center
!Ordre
|2||2||2||2
|- align=center
!Matriu
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&0\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\0&{\frac {-1}{2}} &{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\0& {\frac {\phi}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi}{2}}& {\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}
\end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,0,0,0)<sub>n</sub>
|<math>(\begin{smallmatrix}\frac {\phi}{2}, \frac {1}{2}, \frac {\phi-1}{2}, 0\end{smallmatrix})</math><sub>n</sub>
|(0,1,0,0)<sub>n</sub>
|<math>(\begin{smallmatrix} 0, \frac {1}{2}, \frac{\phi}{2}, \frac {\phi-1}{2}\end{smallmatrix})</math><sub>n</sub>
|}

== Grups de rang 1 ==
En [[Unidimensional|una dimensió]], el grup bilateral [] representa una [[simetria especular]] única, ''Dih''<sub>1</sub> o ''Z''₂ abstracte, simetria d'ordre 2. Es representa amb el [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] amb un sol node, {{CDD|node}}. El [[Grup trivial|grup d'identitat]] és el subgrup directe [ ]<sup>+</sup>, Z<sub>1</sub>, simetria d'ordre 1. El superíndex simpe '''+''' implica que s'ignorin reflexos de miralls alternatius, deixant el grup d'identitat en aquest cas més senzill. Coxeter va utilitzar un sol node obert per representar una alternança, {{CDD|node_h2}}.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
! Grup
! Notació de Coxeter
! [[Diagrama de Coxeter]]
! Ordre
! Descripció
|-
||C<sub>1</sub>||[ ]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2}}||1||Identitat
|-
||D<sub>1</sub>||[ ]||{{CDD|node}}||2||Grup de reflexió
|}

== Grups de rang 2 ==
[[Fitxer:Regular hexagon symmetries2.png|miniatura|Un [[hexàgon]] regular, amb arestes i vèrtexs marcats, té 8 simetries: [6], [3], [2], [1], [6]<sup>+</sup>, [3]<sup>+</sup>, [2]<sup>+</sup>, [1]<sup>+</sup>, amb [3] i [1] existents en dues formes, segons si els miralls són a les arestes o vèrtexs]]
En [[Espai bidimensional|dues dimensions]], el ''grup [[Rectangle|rectangular]]'' [2], abstracte ''D''<sub>1</sub>² o ''D''₂, també es pot representar com a [[producte directe]] [ ]×[ ], sent el producte de dos grups bilaterals, representa dos miralls [[ortogonal]]s, amb diagrama de Coxeter, {{CDD|node|2|node}} amb [[Ordre (teoria de grups)|ordre]] 4. El '''2''' in [2] prové de la linealització dels subgrafs ortogonals del diagrama de Coxeter {{CDD|node|2x|node}}, com passa amb la branca explícita d'ordre 2. El ''grup ròmbic'' [2]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|2x|node_h2}} o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}), la meitat del grup rectangular, la simetria de [[Simetria central|reflexió puntual]], Z₂, ordre 2.

La notació de Coxeter permet un marcador de lloc '''1''' per a grups de rang inferior, de manera que [1] és el mateix que [ ], i [1+] o [1]<sup>+</sup> és el mateix que [ ]<sup>+</sup> i el [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|diagrama de Coxeter]] {{CDD|node_h2}}.

El ''grup p-gonal complet'' [p], ''[[grup diedral]]'' D<sub>p</sub> abstracte, ([[Grup no-abelià|no-abelià]] per a p> 2), d'[[Ordre (teoria de grups)|ordre]] 2''p'', és generat per dos miralls a angle ''π''/''p'', representat pel [[diagrama de Coxeter]] {{CDD|node|p|node}}. El subgrup ''p-gonal'' [p]<sup>+</sup>, ''[[grup cíclic]]'' ''Z''<sub>''p''</sub>, d'ordre ''p', generat per un angle de gir ''π''/''p''.

La notació de coxeter utilitza un doble claudàtor per representar un doble [[automorfisme]] de simetria afegint un mirall [[Bisectriu|bisectant]] al [[domini fonamental]]. Per exemple, <nowiki>[[p]]</nowiki> afegeix un mirall bisectant a [p] i és isomòrfic a [2p].

En el límit, baixant a la [[Unidimensional|primera dimensió]], s'obté el grup ''[[apeirògon|apeirogonal]] complet'' quan l'angle tendeix a zero, de manera que [∞], abstractament, el [[grup diedral infinit]] D<sub>∞</sub>, representa dos miralls paral·lels i té un [[diagrama de Coxeter]] {{CDD|node|infin|node}}. El ''[[Grup de simetria unidimensional|grup apeirogonal]]'' [∞]<sup>+</sup>, {{CDD|node_h2|infin|node_h2}}, abstractament el [[cíclic grup]] infitit Z<sub>∞</sub>, [[isomorfisme|isomorf]] al ''grup additiu'' dels [[nombre enter|nombres enters]], és generat per una sola translació diferent de zero.

En el [[geometria hiperbòlica|pla hiperbòlic]], hi ha un grup [''iπ/λ''], i un ''subgrup pseudogonal '' [''iπ/λ'']<sup>+</sup>, {{CDD|node_h2|ultra|node_h2}}. Aquests grups existeixen en [[polígons regulars]] de cara infinita, amb una longitud d'aresta λ. Els miralls són tots [[ortogonal]]s a una sola línia.

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Exemple de simetries finites i hiperbòliques de rang 2
|-
!Tipus
!colspan=5|Finita
!Afí
!colspan=5|Hiperbòlica
|- align=center
!Geometria
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 1.png|80px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 2.png|80px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 3.png|80px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains 4.png|80px]]
|...
|[[Fitxer:Dihedral symmetry domains infinity.png|80px]]
|[[Fitxer:Horocycle mirrors.png|80px]]
|[[Fitxer:Dihedral symmetry ultra.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{CDD|node_c1}}<br />[ ]
|{{CDD|node_c1|2x|node_c3}} = {{CDD|node_c1|2|node_c3}}<br />[2]=[ ]×[ ]
|{{CDD|node_c1|3|node_c1}}<br />[3]
|{{CDD|node_c1|4|node_c3}}<br />[4]
|{{CDD|node|p|node}}<br />[p]
|{{CDD|node_c1|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{CDD|node_c2|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{CDD|node_c2|ultra|node_c3}}<br />[i&pi;/&lambda;]
|-
![[Ordre (teoria de grup)|Ordre]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9|Les línies de miralls es pinten per correspondre als nodes del [[diagrama de Coxeter]].<br />Els dominis fonamentals són de color alternat.
|- align=center
!Imatges<br />parelles<br />(directa)
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 1.svg|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 2.svg|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 3.png|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 4.png|80px]]
|rowspan=2|...
|[[Fitxer:Cyclic symmetry infin.png|80px]]
|
|[[Fitxer:Cyclic symmetry ultra.png|80px]]
|- align=center
!Imatges<br />senars<br />(invertida)
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 1b.svg|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 2b.svg|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 3b.png|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry 4b.png|80px]]
|[[Fitxer:Cyclic symmetry infinb.png|80px]]
|
|[[Fitxer:Cyclic symmetry ultrab.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{CDD|node_h2}}<br />[ ]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[2]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}<br />[3]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}<br />[4]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|p|node_h2}}<br />[p]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|infin|node_h2}}<br />[&infin;]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|infin|node_h2}}<br />[&infin;]<sup>+</sup>
|{{CDD|node_h2|ultra|node_h2}}<br />[i&pi;/&lambda;]<sup>+</sup>
|-
!Ordre
!1
!2
!3
!4
!''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9|Els subgrups cíclics representen reflexos alternatius, totes les imatges parelles (directes).
|}

{| class=wikitable
|-
! Grup
! [[Notació de Hermann-Mauguin|Intl.]]
! [[Orbifold]]
! Coxeter
! [[Diagrama de Coxeter]]
! Ordre
! Descripció
|-
!colspan=7|Finit
|- align=center
| Z<sub>''n''</sub>
| ''n''
| n&bull;
| [n]<sup>+</sup>
| {{CDD|node_h2|n|node_h2}}
| ''n''
| Cíclic: rotacions de ''n''-plecs. Grup abstracte Z<sub>''n''</sub>, el grup d'enters sota mòdul addicional ''n''.
|- align=center
| D<sub>''n''</sub>
| ''n''m
| *n&bull;
| [n]
| {{CDD|node|n|node}}
| 2''n''
| Dièdric: cíclic amb reflexos. Grup abstracte Dih<sub>''n''</sub>, el [[grup dièdric]].
|-
!colspan=7|Afí
|- align=center
| Z<sub>∞</sub>
| ∞
| ∞&bull;
| [∞]<sup>+</sup>
| {{CDD|node_h2|infin|node_h2}}
| ∞
| Cíclic: ''[[Grup de simetria unidimensional|Grup apeirogonal]]''. Grup abstracte Z<sub>∞</sub>, el grup d'enters sota addició.
|- align=center
| Dih<sub>∞</sub>
| ∞m
| *∞&bull;
| [∞]
| {{CDD|node|infin|node}}
| ∞
| Dièdric: reflexos paral·lels. [[Grup dièdric infinit]] abstracte Dih<sub>∞</sub>.
|-
!colspan=7|Hiperbòlic
|- align=center
| Z<sub>∞</sub>
| 
| 
| [πi/λ]<sup>+</sup>
| {{CDD|node_h2|ultra|node_h2}}
| ∞
| ''Grup pseudogonal'' 
|- align=center
| Dih<sub>∞</sub>
| 
| 
| [πi/λ]
| {{CDD|node|ultra|node}}
| ∞
| ''Grup pseudogonal complet''
|}

== Grups de rang 3 ==
Els [[Grups puntals en tres dimensions|grups puntals en 3 dimensions]] es poden expressar notació amb claudàtor relacionats amb els grups de Coxeter de rang 3:
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12| Grups finits d'isometries en 3 dimensions<ref name="subgroups">Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 ''Finite groups of isometries in 3-space''</ref>
|-
!colspan=6|Grups de rotacions|| colspan=6 |Grups estesos
|-
!Nom||Claudàtor||[[Notació d'Orbifold|Orb.]] ||[[Notació de Schoenflies|Sch.]] ||Abstracte||Ordre||Nom||Claudàtor||Orb.||Sch.||Abstracte||Ordre
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Identitat|| rowspan=2 bgcolor="#fff0f0" |[ ]<sup>+</sup>||rowspan=2|11||rowspan=2|C<sub>1</sub>||rowspan=2|Z<sub>1</sub>||rowspan=2|1
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Bilateral||BGCOLOR="#f0f0ff"|[1,1] = [ ]||*||D<sub>1</sub>||D<sub>1</sub>||2
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Central||BGCOLOR="#fffff0"|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||×||C<sub>i</sub>||2×Z<sub>1</sub>||2
|-
|rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|Acroròmbic|| rowspan=3 bgcolor="#fff0f0" |[1,2]<sup>+</sup> = [2]<sup>+</sup>||rowspan=3|22 ||rowspan=3|C₂||rowspan=3|Z₂||rowspan=3|2
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Acrorectangular||BGCOLOR="#f0f0ff"|[1,2] = [2]||*22||C<sub>2v</sub>||D₂||4
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Giroròmbic|| bgcolor="#fffff0" |[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||2×||S₄||Z₄||4
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Ortoròmbic|| bgcolor="#f0fff0" |[2,2<sup>+</sup>]||2*||D<sub>1d</sub>||D<sub>1</sub>×Z₂||4
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Pararòmbic|| rowspan=2 bgcolor="#fff0f0" |[2,2]<sup>+</sup>||rowspan=2|222||rowspan=2|D₂||rowspan=2|D₂||rowspan=2|4
|BGCOLOR="#f0fff0"|Girorectangular|| bgcolor="#f0fff0" |[2<sup>+</sup>,4]||2*2||D<sub>2d</sub>||D₄||8
|-
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Ortorectangular|| bgcolor="#f0f0ff" |[2,2]||*222||D<sub>2h</sub>||D<sub>1</sub>×D₂||8

|-
|rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|Acro-''p''-gonal||rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|[1,''p'']<sup>+</sup> = [''p'']<sup>+</sup>||rowspan=3|''pp''||rowspan=3|C<sub>''p''</sub>||rowspan=3|Z<sub>''p''</sub>||rowspan=3|''p''
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Acro-''p''-gonal complet|| bgcolor="#f0f0ff" |[1,''p''] = [''p'']||* ''pp''||C<sub>''p''v</sub>||D<sub>''p''</sub>||2''p''
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Giro-''p''-gonal|| bgcolor="#fffff0" |[2<sup>+</sup>,2''p''<sup>+</sup>]||''p''×||S<sub>2''p''</sub>||Z<sub>2''p''</sub>||2''p''
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Orto-''p''-gonal|| bgcolor="#f0fff0" |[2,''p''<sup>+</sup>]||''p''*||C<sub>''p''h</sub>||D<sub>1</sub>×Z<sub>''p''</sub>||2''p''
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Para-''p''-gonal||rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|[2,p]<sup>+</sup>||rowspan=2|''p''22 ||rowspan=2|D<sub>''p''</sub>||rowspan=2|D<sub>''p''</sub>||rowspan=2|2''p''
|BGCOLOR="#f0fff0"|Giro-''p''-gonal complet|| bgcolor="#f0fff0" |[2<sup>+</sup>,2''p'']||2* ''p''||D<sub>''p''d</sub>||D<sub>2''p''</sub>||4''p''
|-
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Orto-''p''-gonal complet|| bgcolor="#f0f0ff" |[2,''p'']||* ''p''22||D<sub>p''h''</sub> ||D<sub>1</sub>×D<sub>''p''</sub>||4''p''
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Tetraedral|| rowspan=2 bgcolor="#fff0f0" |[3,3]+||rowspan=2|332 ||rowspan=2| T||rowspan=2|A₄||rowspan=2|12
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Tetre|| bgcolor="#f0f0ff" |[3,3]||*332||T<sub>d</sub> ||S₄||24
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Pyritohedral||BGCOLOR="#f0fff0"|[3<sup>+</sup>,4]||3*2||T<sub>h</sub> ||2×A₄||24
|-
|BGCOLOR="#fff0f0"|Octaedral|| bgcolor="#fff0f0" |[3,4]<sup>+</sup>||432||O ||S₄||24
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Full octahedral||BGCOLOR="#f0f0ff"|[3,4]||*432||O<sub>h</sub> ||2×S₄||48
|-
|BGCOLOR="#fff0f0"|Icosaedral|| bgcolor="#fff0f0" |[3,5]<sup>+</sup>||532||I ||A₅||60
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Full icosahedral||BGCOLOR="#f0f0ff"|[3,5]||*532||I<sub>h</sub> ||2×A₅||120
|}

En [[tres dimensions]], el ''grup ortoròmbic complet'' o '' ortorectangular '' [2,2], abstractament ''D''₂×''D''₂, [[Ordre (teoria de grups)|ordre]] 8, representa tres miralls [[ortogonal]]s, (també representats pel [[diagrama de Coxeter]] com a tres punts separats {{CDD|node|2|node|2|node}}). També es pot representar com un [[producte directe]] [ ]×[ ]×[ ], però l'expressió [2,2] permet definir els subgrups:

Primer hi ha un subgrup ''semidirecte'', el grup ''ortorhombic'', [2,2<sup>+</sup>] ({{CDD|node|2|node_h2|2x|node_h2}} o {{CDD|node|2|node_h2|3|2|3|node_h2}}), abstractament ''D''<sub>1</sub>×''Z''₂=''Z''₂×''Z''₂, d'ordre 4. Quan el superíndex '''+''' es dona a l'interior dels claudàtors, significa reflexions generades només es alternen els miralls adjacents (tal com es defineix en el diagrama de Coxeter, {{CDD|node|2|node|2|node}}). En general, els ordres de les branques veïnes amb el node '''+''' han de ser parell. En aquest cas [2,2<sup>+</sup>] i [2<sup>+</sup>,2] representen dos subgrups isomorfs diferents geomètricament.

Els altres subgrups són el ''grup pararòmbic'' [2,2]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}} o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2|3|2|3|node_h2}}), també amb ordre 4, i finalment el ''[[simetria central|grup central]] '' [2<sup>+ </sup>,2<sup >+</sup>] ({{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h4|3|2|3|node_h2}}) d'ordre 2

A continuació hi ha el ''grup orto-p-gonal complet'', [2,p] ({{CDD|node|2|node|p|node}}), abstractament ''D''<sub>1</sub>×''D''<sub>p</sub>=''Z''₂×''D''<sub>p</sub>, d'ordre 4p, que representen dos miralls en un [[angle díedre]] π/''p'', i tots dos són ortogonals per a un tercer mirall. També es representa amb el diagrama de Coxeter com {{CDD|node|p|node|2|node}}.

El subgrup directe es denomina ''grup para-p-gonal'', [2,p]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|2x|node_h2|p|node_h2}} or {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2|p|node_h2}}), abstractament ''D''<sub>p</sub>, d'ordre 2p, i un altre subgrup és [2,p<sup>+</sup>] ({{CDD|node|2|node_h2|p|node_h2}}) abstractament ''D''<sub>1</sub>×''Z''<sub>''p''</sub>, també de l'ordre 2p.

El grup ''giro-p-gonal complet'', [2<sup>+</sup>,2''p''] ({{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|p|node}} o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2|2|p|node}}), abstractament ''D''<sub>2''p''</sub>, d'ordre 4''p''. El grup gyro-''p''- gonal, [2<sup>+</sup>,2p<sup>+</sup>] ({{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|p|node_h2}} o {{CDD|node_h2|3|2|3|node_h4|2x|p|node_h2}}), abstractament ''Z''<sub>2''p''</sub>, d'ordre 2''p'' és un subgrup de [2<sup>+</sup>,2''p''] i [2,2''p''<sup>+</sup>].

Els [[grup polièdric|grups polièdrics]] es basen en la simetria de [[sòlid platònic|sòlids platònics]]: el [[tetraedre]], [[octaedre]], [[cub]], [[icosaedre]] i [[dodecaedre]], amb [[símbol de Schläfli]] {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} i {5,3} respectivament. Els grups de Coxeter són: [3,3] ({{CDD|node|3|node|3|node}}), [3,4] ({{CDD|node|3|node|4|node}}), [3,5] ({{CDD|node|3|node|5|node}}), anomenats [[simetria tetraedral]], [[simetria octaedral]] i [[simetria icosaedral]], amb ordres de 24, 48 i 120.

[[Fitxer:Pyritohedral in icosahedral symmetry.png|miniatura|La [[simetria piritoedral]], [3+,4] és un subgrup d'índex 5 de la [[simetria icosaedral]], <nowiki>[5,3]</nowiki>]]
En totes aquestes simetries, es poden eliminar reflexions alternatives produint la rotació tetaedral [3,3]<sup>+</sup>({{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}), octaedral [3,4]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2}} i icosaedral [3,5]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|5|node_h2}}) grups d'ordre 12, 24 i 60. El grup octaedral també té un subgrup d'índex 2 únic anomenat grup de [[simetria piritoedral]], [3<sup>+</sup>,4] ({{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node}} o {{CDD|node_h2|3|node_h2|2|4|node}}), d'ordre 12, amb una barreja de simetria rotacional i reflexiva. La simetria piritoedral també és un subgrup d'índex 5 de la simetria icosaedral: {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}} --> {{CDD|2_n0|node_n1|3_n0|4|node_h2|3_n1|3_n2|node_h2}}, amb un mirall virtual ''''1''' a través de '''0''', {010} i de rotació de tres plecs {12}.

El grup tetradral, [3,3] ({{CDD|node|3|node|3|node}}), té un doble claudàtor {{Brackets | 3,3}} (que es pot representar amb nodes de colors {{CDD|node_c1|3|node_c2|3|node_c1}}), mapejant els primers i últims miralls els uns als altres, i això produeix el [3,4] ({{CDD|node|3|node|4|node}} o el grup {{CDD|node_c2|3|node_c1|4|node}}). El subgrup [3,4,1<sup>+</sup>] ({{CDD|node|3|node|2|4|2|node_h2}} o {{CDD|node|3|node|4|node_h0}}) és el mateix que [3,3], i [3<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] ({{CDD|node_h2|3|node_h2|2|4|2|node_h2}} o {{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h0}}) és el mateix que [3,3]<sup>+</sup>.

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=2|Exemple d'arbres de subgrups de rang 3 de grups coxeters finits
|-
![[Simetria tetraedral]]
![[Simetria octaedral]]
|- valign=top
|[[Fitxer:Tetrahedral subgroup tree.png|300px]]
|rowspan=3|[[Fitxer:Octahedral symmetry tree conway.png|500px]]
|-
![[Simetria icosaedral]]
|-
|[[Fitxer:Icosahedral subgroup tree.png|300px]]
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan=2|Finit ([[Grup puntual en tres dimensions|grups puntuals en tres dimensions]])
|- valign=top
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
![[Notació de Hermann-Mauguin|Intl]]*
! Geo<br /><ref>''The Crystallographic Space groups in Geometric algebra'', D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) [[PDF]] [http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/CrystalGA.pdf]</ref>
![[Notació d'Orbifold|Orb.]]
![[Notació de Schönflies|Schön.]]
! Struct.
! colspan=2|Coxeter
! Ord.
|-
| 1
| {{overline|1}}
| 1
| C<sub>1</sub>
| Z<sub>1</sub>
| ][ = [ ]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h0}} = {{CDD|node_h2}}
| 1
|-
| {{overline|2}} = m
| 1
| *
| C<sub>s</sub>
| [ ]||{{CDD|node}}
| 2
|- valign=top
| 2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />n
| {{overline|2}}<br />{{overline|3}}<br />{{overline|4}}<br />{{overline|5}}<br />{{overline|6}}<br />{{overline|n}}
| 22<br />33<br />44<br />55<br />66<br />nn
| C₂<br />C₃<br />C₄<br />C₅<br />C₆<br />C<sub>n</sub>
| Z₂<br />Z₃<br />Z₄<br />Z₅<br />Z₆<br />Z<sub>n</sub>
| [1,2]<sup>+</sup><br />[1,3]<sup>+</sup><br />[1,4]<sup>+</sup><br />[1,5]<sup>+</sup><br />[1,6]<sup>+</sup><br />[1,n]<sup>+</sup><br />
| {{CDD|node_h0|2|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h0|2|node_h2|3|node_h2}}<br />{{CDD|node_h0|2|node_h2|4|node_h2}}<br />{{CDD|node_h0|2|node_h2|5|node_h2}}<br />{{CDD|node_h0|2|node_h2|6|node_h2}}<br />{{CDD|node_h0|2|node_h2|n|node_h2}}
| 2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />'''n'''
|- valign=top
| 2mm<br />3m<br />4mm<br />5m<br />6mm<br />''n''mm<br />''n''m
| 2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />n
| *22<br />*33<br />*44<br />*55<br />*66<br />* ''nn''
| C<sub>2v</sub><br />C<sub>3v</sub><br />C<sub>4v</sub><br />C<sub>5v</sub><br />C<sub>6v</sub><br />C<sub>nv</sub>
| D₂<br />D₃<br />D₄<br />D₅<br />D₆<br />D<sub>n</sub>
| [1,2]<br />[1,3]<br />[1,4]<br />[1,5]<br />[1,6]<br />[1,''n'']
| {{CDD|node_h0|2|node|2|node}}<br />{{CDD|node_h0|2|node|3|node}}<br />{{CDD|node_h0|2|node|4|node}}<br />{{CDD|node_h0|2|node|5|node}}<br />{{CDD|node_h0|2|node|6|node}}<br />{{CDD|node_h0|2|node|n|node}}
| 4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
| 2/m<br />3/m<br />4/m<br />5/m<br />6/m<br />''n''/m
| {{overline|2}} 2<br />{{overline|3}} 2<br />{{overline|4}} 2<br />{{overline|5}} 2<br />{{overline|6}} 2<br />{{overline|n}} 2
| 2*<br />3*<br />4*<br />5*<br />6*<br />n*
| C<sub>2h</sub><br />C<sub>3h</sub><br />C<sub>4h</sub><br />C<sub>5h</sub><br />C<sub>6h</sub><br />C<sub>nh</sub>
| D<sub>1</sub>×Z₂<br />D<sub>1</sub>×Z₃<br />D<sub>1</sub>×Z₄<br />D<sub>1</sub>×Z₅<br />D<sub>1</sub>×Z₆<br />D<sub>1</sub>×Z<sub>n</sub>
| [2,2<sup>+</sup>]<br />[2,3<sup>+</sup>]<br />[2,4<sup>+</sup>]<br />[2,5<sup>+</sup>]<br />[2,6<sup>+</sup>]<br />[2,n<sup>+</sup>]
| {{CDD|node|2|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|3|node_h2}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|4|node_h2}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|5|node_h2}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|6|node_h2}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|n|node_h2}}
| 4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
| {{overline|4}}<br />{{overline|3}}<br />{{overline|8}}<br />{{overline|5}}<br />{{overline|12}}<br />{{overline|2n}}<br />{{overline|n}}
| {{overline|2 2}}<br />{{overline|1}}<br />{{overline|4 2}}<br />{{overline|6 2}}<br />{{overline|8 2}}<br />{{overline|10 2}}<br />{{overline|12 2}}<br />{{overline|2n 2}}
| 1&times;<br />2&times;<br />3&times;<br />4&times;<br />5&times;<br />6&times;<br />n&times;
| C<sub>i</sub> = S₂<br />S₄<br />S₆<br />S₈<br />S<sub>10</sub><br />S₁₂<br />S<sub>2n</sub>
| Z₂<br />Z₄<br />Z₆=Z₂×Z₃<br />Z₈<br />Z<sub>10</sub>=Z₂×Z₅<br />Z₁₂<br />Z<sub>2n</sub>
| [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,8<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,10<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,12<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]
| {{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|4|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|8|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|10|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|12|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
| 2<br />4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|}
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
! Intl
! Geo
! Orb.
! Schön.
! Struct.
! colspan=2|Coxeter
! Ord.
|- valign=top
| 222<br />32<br />422<br />52<br />622<br />n22<br />n2
| {{overline|2}} {{overline|2}}<br />{{overline|3}} {{overline|2}}<br />{{overline|4}} {{overline|2}}<br />{{overline|5}} {{overline|2}}<br />{{overline|6}} {{overline|2}}<br />{{overline|n}} {{overline|2}}
| 222<br />223<br />224<br />225<br />226<br />22n
| D₂<br />D₃<br />D₄<br />D₅<br />D₆<br />D<sub>n</sub>
| D₂<br />D₃<br />D₄<br />D₅<br />D₆<br />D<sub>n</sub>
| [2,2]<sup>+</sup><br />[2,3]<sup>+</sup><br />[2,4]<sup>+</sup><br />[2,5]<sup>+</sup><br />[2,6]<sup>+</sup><br />[2,n]<sup>+</sup>
| {{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|5|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|6|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
| 4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
| mmm<br />{{overline|6}}m2<br />4/mmm<br />{{overline|10}}m2<br />6/mmm<br />n/mmm<br />{{overline|2n}}m2
| 2 2<br />3 2<br />4 2<br />5 2<br />6 2<br />n 2
| *222<br />*223<br />*224<br />*225<br />*226<br />*22n
| D<sub>2h</sub><br />D<sub>3h</sub><br />D<sub>4h</sub><br />D<sub>5h</sub><br />D<sub>6h</sub><br />D<sub>nh</sub>
| D<sub>1</sub>×D₂<br />D<sub>1</sub>×D₃<br />D<sub>1</sub>×D₄<br />D<sub>1</sub>×D₅<br />D<sub>1</sub>×D₆<br />D<sub>1</sub>×D<sub>n</sub>
| [2,2]<br />[2,3]<br />[2,4]<br />[2,5]<br />[2,6]<br />[2,n]
| {{CDD|node|2|node|2|node}}<br />{{CDD|node|2|node|3|node}}<br />{{CDD|node|2|node|4|node}}<br />{{CDD|node|2|node|5|node}}<br />{{CDD|node|2|node|6|node}}<br />{{CDD|node|2|node|n|node}}
| 8<br />12<br />16<br />20<br />24<br />'''4n'''
|- valign=top
| {{Overline|4}}2m<br />{{Overline|3}}m<br />{{Overline|8}}2m<br />{{Overline|5}}m<br />{{Overline|12}}2m<br />{{Overline|2n}}2m<br />{{Overline|n}}m
| 4 {{overline|2}}<br />6 {{overline|2}}<br />8 {{overline|2}}<br />10 {{overline|2}}<br />12 {{overline|2}}<br />n {{overline|2}}<br />
| 2*2<br />2*3<br />2*4<br />2*5<br />2*6<br />2*n
| D<sub>2d</sub><br />D<sub>3d</sub><br />D<sub>4d</sub><br />D<sub>5d</sub><br />D<sub>6d</sub><br />D<sub>nd</sub>
| D₂<br />D₃<br />D₄<br />D₅<br />D₆<br />D<sub>n</sub>
| [2<sup>+</sup>,4]<br />[2<sup>+</sup>,6]<br />[2<sup>+</sup>,8]<br />[2<sup>+</sup>,10]<br />[2<sup>+</sup>,12]<br />[2<sup>+</sup>,2n]
| {{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|6|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|8|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|10|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|12|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
| 8<br />12<br />16<br />20<br />24<br />'''4n'''
|-
| 23
| {{overline|3}} {{overline|3}}
| 332
| T
| A₄
| [3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
| 12
|-
| m{{overline|3}}
| 4 {{overline|3}}
| 3*2
| T<sub>h</sub>
| A₄×S₂
| [3<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node}}
| 24
|-
| {{overline|4}}3m
| 3 3
| *332
| T<sub>d</sub>
| S₄
| [3,3]||{{CDD|node|3|node|3|node}}
| 24
|-
| 432
| {{overline|4}} {{overline|3}}
| 432
| O
| S₄
| [3,4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2}}
| 24
|-
| m{{overline|3}}m
| 4 3
| *432
| O<sub>h</sub>
| S₄×S₂
| [3,4]||{{CDD|node|3|node|4|node}}
| 48
|-
| 532
| {{overline|5}} {{overline|3}}
| 532
| I
| A₅
| [3,5]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|5|node_h2}}
| 60
|-
| {{overline|5}}{{overline|3}}m
| 5 3
| *532
| I<sub>h</sub>
| A₄×S₂
| [3,5]||{{CDD|node|3|node|5|node}}
| 120
|}
|}

=== Grups de rang 3 afins ===
Al [[pla euclidià]] hi ha tres grups reflexius fonamentals generats per tres miralls, representats pels [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|diagrames de Coxeter]] {{CDD|node|4|node|4|node}}, {{CDD|node|6|node|3|node}}, i {{CDD|node|split1|branch}} i se'ls dona la notació de Coxeter com [4,4], [6,3], i [(3,3,3)]. Els parèntesis del darrer grup impliquen el cicle del diagrama i també tenen una notació curta [3<sup>[3]</sup>]

{{Brackets|4,4}}, com un doblatge del grup [4,4], produeix la mateixa simetria rotacional π/4 a partir del conjunt original de miralls.

Els subgrups directes de simetria rotacional són: [4,4]<sup>+</sup>, [6,3]<sup>+</sup>, i [(3,3,3)]<sup>+</sup>. [4<sup>+</sup>,4] i [6,3<sup>+</sup>] són subgrups semidirectes.
{|
|- valign=top
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+Semiafí ([[grup de fris|grups de fris]])
![[Unió Internacional de Cristal·lografia|UIC]]
![[Notació d'Orbifold|Orb.]]
! Geo
![[Notació de Schoenflies|Sch.]]
! colspan=2|Coxeter
|- align=center
|p1||∞∞||p{{overline|1}}||C<sub>∞</sub>||[∞] = [∞,1]<sup>+</sup> = [∞<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2}} = {{CDD|node_h2|infin|node_h2|2||node_h0}}
|- align=center
|p1m1||*∞∞||p1||C<sub>∞v</sub>|| [∞] = [∞,1] = [∞,2,1<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node}} = {{CDD|node|infin|node|2|node_h0}}
|- align=center
|p11g||∞×||p.<sub>g</sub>1||S<sub>2∞</sub>||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
|p11m||∞*||p. 1||C<sub>∞h</sub>||[∞<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2|node}}
|- align=center
|p2||22∞||p{{overline|2}}||D<sub>∞</sub>||[∞,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
|p2mg||2*∞||p2<sub>g</sub>||D<sub>∞d</sub>||[∞,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
|p2mm||*22∞||p2||D<sub>∞h</sub>||[∞,2]||{{CDD|node|infin|node|2|node}}
|}
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Afí ([[grup del paper pintat|grups del paper pintat]])
! UIC
! Orb.
! Geo.
! colspan=2|Coxeter
|- align=center
| p2||2222||p{{overline|2}}||[4,1<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup>||{{CDD|labelh|node|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|- align=center
| p2gg||22×||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub>||[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}
|- align=center
| p2mm||*2222||p2||[4,1<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node|4|node_h2|4|node}}<br />{{CDD|node|4|node_h0|4|node}}
|- align=center
| c2mm||2*22||c2||{{Brackets|4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>}}||{{CDD|node_h4b|split1-44|nodes_h2h2}}
|- align=center
|p4||442||p{{overline|4}}||[4,4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}}
|- align=center
|p4gm||4*2||p<sub>g</sub>4||[4<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|4|node_h2|4|node}}
|- align=center
|p4mm||*442||p4||[4,4]||{{CDD|node|4|node|4|node}}
|- align=center
|p3||333||p{{overline|3}}||[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>] = [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h0|6|node_h2|3|node_h2}} = {{CDD|branch_h2h2|split2|node_h2}}
|- align=center
| p3m1||*333||p3||[1<sup>+</sup>,6,3] = [3<sup>[3]</sup>]||{{CDD|node_h0|6|node|3|node}} = {{CDD|branch|split2|node}}
|- align=center
| p31m||3*3||h3||[6,3<sup>+</sup>] = [3[3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>]||{{CDD|node|6|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
| p6||632||p{{overline|6}}||[6,3]<sup>+</sup> = [3[3<sup>[3]</sup><nowiki>]]</nowiki><sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|6|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
| p6mm||*632||p6||[6,3] = [3[3<sup>[3]</sup><nowiki>]]</nowiki> ||{{CDD|node|6|node|3|node}}
|}
|}

Donats en la notació de Coxeter ([[notació d'Orbifold]]), alguns subgrups afins d'índex baix són:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
! Grup<br />reflexiu
! Subgrup<br />reflexiu
! Subgrup<br />mixt
! Subgrup<br />rotacional
![[Rotació impròpia]] /<br />translació
![[Subgrup commutador|Subgrup<br />commutador]]
|-
| [4,4], (*442)
| [1<sup>+</sup>,4,4], (*442)<br />[4,1<sup>+</sup>,4], (*2222)<br />[1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>], (*2222)
| [4<sup>+</sup>,4], (4*2)<br /> [(4,4,2<sup>+</sup>)], (2*22)<br /> [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4], (2*22)
| [4,4]<sup>+</sup>, (442)<br />[1<sup>+</sup>,4,4<sup>+</sup>], (442)<br />[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>4,1<sup>+</sup>], (2222)
| [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>], (22×)
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, (2222)
|-
| [6,3], (*632)
| [1<sup>+</sup>,6,3] = [3<sup>[3]</sup>], (*333)
| [3<sup>+</sup>,6], (3*3)
| [6,3]<sup>+</sup>, (632)<br />[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>], (333)
|
|[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>], (333)
|}

== Grups de rang 4 ==
<gallery mode="packed" heights="300">
Fitxer:Polychoral group tree.png|Relacions de subgrups
</gallery>

=== Grups puntuals ===
Els grups de rang 4 definits en grups puntuals de [[Quarta dimensió|quatre dimensions]] són:
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400
!colspan=12| Grups finits
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"

|
{| class=wikitable
|+ [ ]: {{CDD|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[1]<sup>+</sup>||1.1
|-
|[1] = [ ]||2.1
|}
{| class=wikitable
|+ [2]: {{CDD|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[1<sup>+</sup>,2]<sup>+</sup>||1.1
|-
|[2]<sup>+</sup>||2.1
|-
|[2]||4.1
|}
{| class=wikitable
|+ [2,2]: {{CDD|node|2|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup><BR>= [(2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||1.1
|-
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2.1
|-
|[2,2]<sup>+</sup>||4.1
|-
|[2<sup>+</sup>,2]||4.1
|-
|[2,2]||8.1
|}
{| class=wikitable
|+ [2,2,2]: {{CDD|node|2|node|2|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[(2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]<BR>= [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>||1.1
|-
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2.1
|-
|[2<sup>+</sup>,2,2<sup>+</sup>]||4.1
|-
|[(2,2)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||4
|-
|[<nowiki/>[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<nowiki/>] ||4
|-
|[2,2,2]<sup>+</sup>||8
|-
|[2<sup>+</sup>,2,2]||8.1
|-
|[(2,2)<sup>+</sup>,2]||8
|-
|[<nowiki/>[2<sup>+</sup>,2,2<sup>+</sup><nowiki>]]</nowiki> ||8.1
|-
|[2,2,2]||16.1
|-
|[<nowiki/>[2,2,2<nowiki>]]</nowiki><sup>+</sup>||16
|-
|[<nowiki/>[2,2<sup>+</sup>,2<nowiki>]]</nowiki> ||16
|-
|[<nowiki/>[2,2,2<nowiki>]]</nowiki> ||32
|}
|
{| class=wikitable
|+ [''p'']: {{CDD|node|p|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[''p'']<sup>+</sup>||''p''
|-
|[''p'']||''2p''
|}
{| class=wikitable
|+ [p,2]: {{CDD|node|p|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[''p'',2]<sup>+</sup>||2''p''
|-
|[''p'',2]||4''p''
|}
{| class=wikitable
|+ [2p,2<sup>+</sup>]: {{CDD|node|2x|p|node|2x|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[2''p'',2<sup>+</sup>]||4''p''
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2''p''
|}
{| class=wikitable
|+ [''p'',2,2]: {{CDD|node|p|node|2|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[''p''<sup>+</sup>,2,2<sup>+</sup>]||2''p''
|-
|[(''p'',2)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2''p''
|-
|[''p'',2,2]<sup>+</sup>||4''p''
|-
|[''p'',2,2<sup>+</sup>]||4''p''
|-
|[p<sup>+</sup>,2,2]||4''p''
|-
|[(p,2)<sup>+</sup>,2]||4''p''
|-
|[p,2,2]||8''p''
|}
{| class=wikitable
|+ [2''p'',2<sup>+</sup>,2]: {{CDD|node|2x|p|node|2|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>||''p''
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2''p''
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2]||4''p''
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,(2,2)<sup>+</sup>]||4''p''
|-
|[2''p'',(2,2)<sup>+</sup>]||8''p''
|-
|[2''p'',2<sup>+</sup>,2]||8''p''
|}
|
{| class=wikitable
|+ [''p'',2,''q'']: {{CDD|node|p|node|2|node|q|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[''p''<sup>+</sup>,2,''q''<sup>+</sup>]||''pq''
|-
|[''p'',2,''q'']<sup>+</sup>||2''pq''
|-
|[''p''<sup>+</sup>,2,''q'']||2''pq''
|-
|[''p'',2,''q'']||4''pq''
|-
|+ [(''p'',2)<sup>+</sup>,2''q'']: {{CDD|node|p|node|2|node|2x|q|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[(''p'',2)<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]||2''pq''
|-
|[(''p'',2)<sup>+</sup>,2''q'']||4''pq''
|}
{| class=wikitable
|+ [2''p'',2,2''q'']: {{CDD|node|2x|p|node|2|node|2x|q|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>=<BR>[(2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||''pq''
|-
|[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]||''2pq''
|-
|[2''p'',2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]||4''pq''
|-
|[((2''p'',2)<sup>+</sup>,(2''q'',2)<sup>+</sup>)]||4''pq''
|-
|[2''p'',2<sup>+</sup>,2''q'']||8''pq''
|}
{| class=wikitable
|+ [<nowiki/>[''p'',2,''p'']<nowiki/>]: {{CDD|node|p|node|2|node|p|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[<nowiki/>[''p''<sup>+</sup>,2,''p''<sup>+</sup>]<nowiki/>] ||2''p''²
|-
|[<nowiki/>[''p'',2,''p'']<nowiki/>]<sup>+</sup>||4''p''²
|-
|[<nowiki/>[''p'',2,''p'']<sup>+</sup>]||4''p''²
|-
|[<nowiki/>[''p'',2,''p'']<nowiki/>] ||8''p''²
|}
{| class=wikitable
|+ [<nowiki/>[2''p'',2,2''p'']<nowiki/>]: {{CDD|node|2x|p|node|2|node|2x|p|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[<nowiki/>[(2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]<nowiki/>] ||2''p''²
|-
|[<nowiki/>[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''p''<sup>+</sup>]<nowiki/>] ||4''p''²
|-
|[<nowiki/>[((2''p'',2)<sup>+</sup>,(2''p'',2)<sup>+</sup>)]<nowiki/>] ||8''p''²
|-
|[<nowiki/>[2''p'',2<sup>+</sup>,2''p'']<nowiki/>] ||16''p''²
|}
|
{| class=wikitable
|+ [3,3,2]: {{CDD|node|3|node|3|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[(3,3)<sup>&Delta;</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>≅ [2,2]<sup>+</sup>||4
|-
|[(3,3)<sup>&Delta;</sup>,2]<BR>≅ [2,(2,2)<sup>+</sup>]||8
|-
|[(3,3)<sup>⅄</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>≅ [4,2<sup>+</sup>]||8
|-
|[(3,3)<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [3,3]<sup>+</sup>||12.5
|-
|[(3,3)<sup>⅄</sup>,2]<BR>≅ [2,4,2<sup>+</sup>]||16
|-
|[3,3,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [3,3]||24
|-
|[(3,3)<sup>+</sup>,2]||24.10
|-
|[3,3,2]<sup>+</sup>||24.10
|-
|[3,3,2]||48.36
|}

{| class=wikitable
|+ [4,3,2]: {{CDD|node|4|node|3|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[1<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [3,3]<sup>+</sup>||12
|-
|[3<sup>+</sup>,4,2<sup>+</sup>]||24
|-
|[(3,4)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||24
|-
|[1<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>,2]<BR>= [(3,3)<sup>+</sup>,2]||24.10
|-
|[3<sup>+</sup>,4,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [3<sup>+</sup>,4]||24.10
|-
|[(4,3)<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [4,3]<sup>+</sup>||24.15
|-
|[1<sup>+</sup>,4,3,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [3,3]||24
|-
|[1<sup>+</sup>,4,(3,2)<sup>+</sup>]<BR>= [3,3,2]<sup>+</sup>||24
|-
|[3,4,2<sup>+</sup>]||48
|-
|[4,3<sup>+</sup>,2]||48.22
|-
|[4,(3,2)<sup>+</sup>]||48
|-
|[(4,3)<sup>+</sup>,2]||48.36
|-
|[1<sup>+</sup>,4,3,2]<BR>= [3,3,2]||48.36
|-
|[4,3,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [4,3]||48.36
|-
|[4,3,2]<sup>+</sup>||48.36
|-
|[4,3,2]||96.5
|}

{| class=wikitable
|+ [5,3,2]: {{CDD|node|5|node|3|node|2|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[(5,3)<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [5,3]<sup>+</sup>||60.13
|-
|[5,3,2,1<sup>+</sup>]<BR>= [5,3]||120.2
|-
|[(5,3)<sup>+</sup>,2]||120.2
|-
|[5,3,2]<sup>+</sup>||120.2
|-
|[5,3,2]||240 (nc)
|}
|
{| class=wikitable
|+ [3<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|3|node|split1|nodes}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>&Delta;</sup><BR>≅[[4,2<sup>+</sup>,4]]<sup>+</sup>||32
|-
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>⅄</sup>||64
|-
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||96.1
|-
|[3<sup>1,1,1</sup>]||192.2
|-
|<[3,3<sup>1,1</sup>]><BR>= [4,3,3]||384.1
|-
|[3[3<sup>1,1,1</sup>]<nowiki/>]<BR>= [3,4,3]||1152.1
|}
{| class=wikitable
|+ [3,3,3]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[3,3,3]<sup>+</sup>||60.13
|-
|[3,3,3]||120.1
|-
|[<nowiki/>[3,3,3]<nowiki/>]<sup>+</sup>||120.2
|-
|[<nowiki/>[3,3,3]<sup>+</sup>]||120.1
|-
|[<nowiki/>[3,3,3]<nowiki/>] ||240.1
|}
{| class=wikitable
|+ [4,3,3]: {{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[1<sup>+</sup>,4,(3,3)<sup>&Delta;</sup>]<BR>= [3<sup>1,1,1</sup>]<sup>&Delta;</sup><BR>≅[[4,2<sup>+</sup>,4]]<sup>+</sup>||32
|-
|[4,(3,3)<sup>&Delta;</sup>]<BR>= [2<sup>+</sup>,4[2,2,2]<sup>+</sup>]<BR>≅[[4,2<sup>+</sup>,4]] ||64
|-
|[1<sup>+</sup>,4,(3,3)<sup>⅄</sup>]<BR>= [3<sup>1,1,1</sup>]<sup>⅄</sup>||64
|-
|[1<sup>+</sup>,4,(3,3)<sup>+</sup>]<BR>= [3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||96.1
|-
|[4,(3,3)<sup>⅄</sup>]<BR>≅ [<nowiki/>[4,2,4]<nowiki/>] ||128
|-
|[1<sup>+</sup>,4,3,3]<BR>= [3<sup>1,1,1</sup>]||192.2
|-
|[4,(3,3)<sup>+</sup>]||192.1
|-
|[4,3,3]<sup>+</sup>||192.3
|-
|[4,3,3]||384.1
|}
{| class=wikitable
|+ [3,4,3]: {{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]||288.1
|-
|[3,4,3<sup>⅄</sup>]<BR>= [4,3,3]||384.1
|-
|[3,4,3]<sup>+</sup>||576.2
|-
|[3<sup>+</sup>,4,3] ||576.1
|-
|[<nowiki/>[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]<nowiki/>] ||576 (nc)
|-
|[3,4,3]||1152.1
|-
|[<nowiki/>[3,4,3]<nowiki/>]<sup>+</sup>||1152 (nc)
|-
|[<nowiki/>[3,4,3]<sup>+</sup>]||1152 (nc)
|-
|[<nowiki/>[3,4,3]<nowiki/>] ||2304 (nc)
|}
{| class=wikitable
|+ [5,3,3]: {{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
!Símbol
!Ordre
|-
|[5,3,3]<sup>+</sup>||7200 (nc)
|-
|[5,3,3]||14400 (nc)
|}
|}

==== Subgrups ====
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12| Grups i subgrups de reflexió 1D-4D
|-
! Ordre
! colspan=2|Reflexió
! colspan=4|Subgrups<br />semidirectes
! colspan=2|[[Grups puntals en tres dimensions|Subgrups<br />directes]]
! colspan=2|[[Subgrup commutador|Subgrup<br />commutador]]
|-
!2
![ ]||{{CDD|node}}
|||
|||
|[ ]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2}}
|[ ]<sup>+1</sup>
|rowspan=5|[ ]<sup>+</sup>
|-
!4
![2]||{{CDD|node|2|node}}
|||
|||
|[2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}
|[2]<sup>+2</sup>
|-
!8
![2,2]||{{CDD|node|2|node|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|[2,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}
|[2,2]<sup>+3</sup>
|-
!rowspan=2|16
![2,2,2]||{{CDD|node|2|node|2|node|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2,2]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node|2|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|2|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|[2,2,2]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=2|[2,2,2]<sup>+4</sup>
|-
![2<sup>1,1,1</sup>]||{{CDD|node|2|node|2|nodes}}
|||
|[(2<sup>+</sup>)<sup>1,1,1</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|split1-22|nodes_h2h2}}
|||
|-
!2n
![n]||{{CDD|node|n|node}}
|||
|||
|[n]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|n|node_h2}}
|[n]<sup>+1</sup>
|rowspan=8|[n]<sup>+</sup>
|-
!4n
![2n]||{{CDD|node|2x|n|node}}
|||
|||
|[2n]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|n|node_h2}}
|[2n]<sup>+2</sup>
|-
!4n
![2,n]||{{CDD|node|2|node|n|node}}
|[2,n<sup>+</sup>]||{{CDD|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|||
|[2,n]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|[2,n]<sup>+2</sup>
|-
!8n
![2,2n]||{{CDD|node|2|node|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2n]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|[2,2n]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node_h2}}
|[2,2n]<sup>+3</sup>
|-
!8n
![2,2,n]||{{CDD|node|2|node|2|node|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2,n]<br />[2,2,n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node|n|node}}<br />{{CDD|node|2|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|[2<sup>+</sup>,(2,n)<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|n|node_h2}}
|[2,2,n]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2,n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node_h2|n|node_h2}}
|[2,2,n]<sup>+3</sup>
|-
!rowspan=3|16n
![2,2,2n]||{{CDD|node|2|node|2|node|2x|n|node}}
|[2,2<sup>+</sup>,2n]||{{CDD|node|2|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n]<br />[2,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|2x|n|node}}<br />{{CDD|node|2|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|rowspan=3|[2,2,2n]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2n,2<sup>+</sup>]||rowspan=3|{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|2x|n|2|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=3|[2,2,2n]<sup>+4</sup>
|-
![2,2n,2]||{{CDD|node|2|node|2x|n|node|2|node}}
|||
|[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h4|2x|node_h2}}
|-
![2n,2<sup>1,1</sup>]||{{CDD|node|2x|n|node|2|nodes}}
|||
|[2n<sup>+</sup>,(2<sup>+</sup>)<sup>1,1</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|n|node_h4|split1-22|nodes_h2h2}}
|-
!24
![3,3]||{{CDD|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[3,3]<sup>+1</sup>
| rowspan=5|[3,3]<sup>+</sup>
|-
!48
![3,3,2]||{{CDD|node|3|node|3|node|2|node}}
|[(3,3)<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|||
|[3,3,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|[3,3,2]<sup>+2</sup>
|-
!48
![4,3]||{{CDD|node|4|node|3|node}}
|[4,3<sup>+</sup>]||{{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2}}
|||
|[4,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}
|[4,3]<sup>+2</sup>
|-
!rowspan=2|96
![4,3,2]||{{CDD|node|4|node|3|node|2|node}}
|[(4,3)<sup>+</sup>,2]<br />[4,(3,2)<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|2|node}}<br />{{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|||
|[4,3,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=2|[4,3,2]<sup>+3</sup>
|-
![3,4,2]||{{CDD|node|3|node|4|node|2|node}}
|[3,4,2<sup>+</sup>]<br />[3<sup>+</sup>,4,2]||{{CDD|node|3|node|4|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node|2|node}}
|[(3,4)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h4|2x|node_h2}}
|[3<sup>+</sup>,4,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|2|4|2|node_h2|2x|node_h2}}
|-
!120
![5,3]||{{CDD|node|5|node|3|node}}
|||
|||
|[5,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}}
|[5,3]<sup>+1</sup>
|rowspan=2|[5,3]<sup>+</sup>
|-
!240
![5,3,2]||{{CDD|node|5|node|3|node|2|node}}
|[(5,3)<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|||
|[5,3,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|[5,3,2]<sup>+2</sup>
|-
!4pq
![p,2,q]||{{CDD|node|p|node|2|node|q|node}}
|[p<sup>+</sup>,2,q]||{{CDD|node_h2|p|node_h2|2|node|q|node}}
|||
|[p,2,q]<sup>+</sup><br />[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|p|node_h2|2|node_h2|q|node_h2}}
|[p,2,q]<sup>+2</sup>
|rowspan=3|[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]
|-
!8pq
![2p,2,q]||{{CDD|node|2x|p|node|2|node|q|node}}
|[2p,(2,q)<sup>+</sup>]||{{CDD|node|2x|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p<sup>+</sup>,(2,q)<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p,2,q]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p,2,q]<sup>+3</sup>
|-
!16pq
![2p,2,2q]||{{CDD|node|2x|p|node|2|node|2x|q|node}}
|[2p,2<sup>+</sup>,2q]||{{CDD|node|2x|p|node_h2|2x|node_h2|2x|q|node}}
|[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q]<br />[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q<sup>+</sup>]<br />[(2p,(2,2q)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2|2x|q|node}}<br />{{CDD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}}<br /> -
|[2p,2,2q]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|p|node_h2|2x|node_h2|2x|q|node_h2}}
|[2p,2,2q]<sup>+4</sup>
|-
!120
![3,3,3]||{{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[3,3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[3,3,3]<sup>+1</sup>
|[3,3,3]<sup>+</sup>
|-
!192
![3<sup>1,1,1</sup>]||{{CDD|node|3|node|split1|nodes}}
|||
|||
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|split1|nodes_h2h2}}
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+1</sup>
|rowspan=2|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>
|-
!384
![4,3,3]||{{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|[4,(3,3)<sup>+</sup>]||{{CDD|node|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|||
|[4,3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[4,3,3]<sup>+2</sup>
|-
!1152
![3,4,3]||{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>+</sup>,4,3]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node|3|node}}
|||
|[3,4,3]<sup>+</sup><br />[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}<br />{{CDD|node_h2|3|node_h2|2|4|2|node_h2|3|node_h2}}
|[3,4,3]<sup>+2</sup>
|[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]
|-
!14400
![5,3,3]||{{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[5,3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[5,3,3]<sup>+1</sup>
|[5,3,3]<sup>+</sup>
|}

=== Grups espacials ===
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400
!colspan=3|Grups espacials
|- valign=top
|width=320|[[Fitxer:Coxeter diagram affine rank4 correspondence.png|320px]]<br />Isomorfisme afí i correspondències
|width=240|[[Fitxer:Cubic space subgroup tree coxeter notation.png|240px]]<br />8 grups espacials cúbics com a simetria estesa de [3<sup>[4]</sup>], amb diagrames de Coxeter quadrats i dominis fonamentals reflectits
|width=240|[[Fitxer:35 cubic fibrifold groups.png|240px]]<br />35 grups espacials cúbics en [[notació de Fibrifold]] i notació Coxeter
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Grups de rang 4 com a [[grups espacials]] tridimensionals
|- style="vertical-align:top;text-align:center;"
|
{| class=wikitable
|+ [[Sistema triclínic]] (1-2)
|- style="text-align:center;"
!Coxeter
!Grup espacial
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||(1) P1
|}
{| class=wikitable
|+ [[Sistema monoclínic]] (3-15)
|- style="text-align:center;"
!Coxeter
!Grup espacial
|- style="text-align:center;"
|[(∞,2,∞)<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||(3) P2
|- style="text-align:center;"
|[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>,2,∞]||(6) Pm
|- style="text-align:center;"
|[(∞,2,∞)<sup>+</sup>,2,∞]||(10) P2/m
|}
{| class=wikitable
|+ [[Sistema ortoròmbic]] (16-74)<BR>{{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node|2|node|infin|node}}
|- style="text-align:center;"
!Coxeter
!Grup espacial
|- style="text-align:center;"
|[∞,2,∞,2,∞]<sup>+</sup>||(16) P222
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[∞,2,∞,2,∞]<nowiki/>]<sup>+</sup>||(23) I222
|- style="text-align:center;"
|[∞<sup>+</sup>,2,∞,2,∞]||(25) Pmm2
|- style="text-align:center;"
|[∞,2,∞,2,∞]||(47) Pmmm
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[∞,2,∞,2,∞]<nowiki/>] ||(71) Immm
|- style="text-align:center;"
|[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[∞,2,∞,2<sup>+</sup>,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[∞,2<sup>+</sup>,∞,2<sup>+</sup>,∞]||
|}
|
{| class=wikitable
|+ [[Sistema tetragonal]] (75-142)<BR>{{CDD|node|4|node|4|node|2|node|infin|node}}
!Coxeter
!Grup espacial
|- style="text-align:center;"
|[(4,4)<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||(75) P4
|- style="text-align:center;"
|[2<sup>+</sup>[(4,4)<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]<nowiki/>] ||(79) I4
|- style="text-align:center;"
|[(4,4)<sup>+</sup>,2,∞]||(83) P4/m
|- style="text-align:center;"
|[2<sup>+</sup>[(4,4)<sup>+</sup>,2,∞]<nowiki/>] ||(87) I4/m
|- style="text-align:center;"
|[4,4,2,∞]<sup>+</sup>||(89) P422
|- style="text-align:center;"
|[2<sup>+</sup>[4,4,2,∞]<nowiki/>]<sup>+</sup>||(97) I422
|- style="text-align:center;"
|[4,4,2,∞<sup>+</sup>]||(99) P4mm
|- style="text-align:center;"
|[4,4,2,∞]||(123) P4/mmm
|- style="text-align:center;"
|[2<sup>+</sup>[4,4,2,∞]<nowiki/>] ||(139) I4/mmm
|- style="text-align:center;"
|[4,(4,2)<sup>+</sup>,∞]||(140) I4/mcm
|- style="text-align:center;"
|[4,4,2<sup>+</sup>,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[(4,4)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[4,4,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[(4,4)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[4,4<sup>+</sup>,2,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[4,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[((4,2<sup>+</sup>,4)),2,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[4,4<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[4,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[((4,2<sup>+</sup>,4)),2,∞<sup>+</sup>]||
|}

|
{| class=wikitable
|+[[Sistema trigonal]] (143-167), romboedral
|- style="text-align:center;"
!Coxeter
!Grup espacial
|}
{| class=wikitable
|+[[Sistema hexagonal]] (168-194)<BR>{{CDD|node|3|node|6|node|2|node|infin|node}}
|- style="text-align:center;"
|[(6,3)<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||(168) P6
|- style="text-align:center;"
|[(6,3)<sup>+</sup>,2,∞]||(175) P6/m
|- style="text-align:center;"
|[6,3,2,∞]<sup>+</sup>||(177) P622
|- style="text-align:center;"
|[6,3,2,∞<sup>+</sup>]||(183) P6mm
|- style="text-align:center;"
|[6,3,2,∞]||(191) P6/mmm
|- style="text-align:center;"
|[(3<sup>[3]</sup>)<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[3<sup>[3]</sup>,2,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[6,3<sup>+</sup>,2,∞]||
|- style="text-align:center;"
|[6,3<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[3<sup>[3]</sup>,2,∞]<sup>+</sup>||
|- style="text-align:center;"
|[3<sup>[3]</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||
|- style="text-align:center;"
|[(3<sup>[3]</sup>)<sup>+</sup>,2,∞]||

|}
|
{| class=wikitable
|+ [[Sistema cúbic]] (195-230)
|- style="text-align:center;"
!Grup
!Coxeter
!Grup espacial
!Índex
|- style="text-align:center;"
!rowspan=9|[<nowiki/>[4,3,4]<nowiki/>]
|[<nowiki/>[4,3,4]<nowiki/>] ||(229) Im{{overline|3}}m||1
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3,4]<nowiki/>]<sup>+</sup>||(211) I432||2
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3,4]<sup>+</sup>]||(223) Pm{{overline|3}}n||2
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3<sup>+</sup>,4]<nowiki/>] ||(204) I{{overline|3}}||2
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[(4,3,4,2<sup>+</sup>)]<nowiki/>] ||(217) I{{overline|4}}3m ||2
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3<sup>+</sup>,4]<nowiki/>]<sup>+</sup>||(197) I23 ||4
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3,4]<sup>+</sup>]<sup>+</sup>||(208) P4₂32||4
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[4,3<sup>+</sup>,4)]<sup>+</sup>]||(201) Pn{{overline|4}}3||4
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[(4,3,4,2<sup>+</sup>)]<sup>+</sup>]||(218) P{{overline|4}}3n||4
|- style="text-align:center;"
!rowspan=8|[4,3,4]<BR>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node}}
|[4,3,4]||(221) Pm{{overline|3}}m||2
|- style="text-align:center;"
|[4,3,4]<sup>+</sup>||(207) P432 ||4
|- style="text-align:center;"
|[4,3<sup>+</sup>,4]||(200) Pm{{overline|3}} ||4
|- style="text-align:center;"
|[4,(3,4)<sup>+</sup>]||(226) Fm{{overline|3}}c ||4
|- style="text-align:center;"
|[(4,3,4,2<sup>+</sup>)]||(215) P{{overline|4}}3m||4
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[{4,(3}<sup>+</sup>,4)<sup>+</sup>]<nowiki/>] || (228) Fd{{overline|3}}c || 4
|- style="text-align:center;"
|[4,3<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup>||(195) P23||8
|- style="text-align:center;"
|[{4,(3}<sup>+</sup>,4)<sup>+</sup>]|| (219) F{{overline|4}}3c || 8

|- style="text-align:center;"
!rowspan=3|[4,3<sup>1,1</sup>]<BR>{{CDD|node|4|node|split1|nodes}}<BR>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_h0}}
|[4,3<sup>1,1</sup>] ||(225) Fm{{overline|3}}m||4
|- style="text-align:center;"
|[4,(3<sup>1,1</sup>)<sup>+</sup>] ||(202) Fm{{overline|3}}||8
|- style="text-align:center;"
|[4,3<sup>1,1</sup>]<sup>+</sup> || (209) F432 ||8

|- style="text-align:center;"
!rowspan=5|[<nowiki/>[3<sup>[4]</sup>]<nowiki/>]<BR>{{CDD|branch|3ab|branch}}
|- style="text-align:center;"
|[(4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)[3<sup>[4]</sup>]<nowiki/>] ||(222) Pn{{overline|3}}n || 2
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[3<sup>[4]</sup>]<nowiki/>] || (227) Fd{{overline|3}}m || 4
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[3<sup>[4]</sup>]<nowiki/>]<sup>+</sup> ||(203) Fd{{overline|3}}|| 8
|- style="text-align:center;"
|[<nowiki/>[3<sup>[4]</sup>]<sup>+</sup>] ||(210) F4<sub>1</sub>32 || 8

|- style="text-align:center;"
!rowspan=2|[3<sup>[4]</sup>]<BR>{{CDD|branch|3ab|branch}}<BR>{{CDD|node_h0|4|node|3|node|4|node_h0}}
|[3<sup>[4]</sup>] || (216) F{{overline|4}}3m ||8
|- style="text-align:center;"
|[3<sup>[4]</sup>]<sup>+</sup> ||(196) F23||16
|}
|}

=== Grups lineals ===
Els grups del rang quatre també defineixen els [[grup lineals]] en [[3D|tres dimensions]]:
{| class="wikitable collapsible collapsed" 
!colspan=12| Grups semiafins (3D)
|-
! colspan=3 | Grup puntual
! colspan=8 | Grup línial
|-
! colspan=2 | Hermann-Mauguin
! rowspan=2 | Schönflies
! colspan=2 | Hermann-Mauguin
! rowspan=2 | Tipus de desplaçament
! colspan=3| Paper pintat
! rowspan=2 colspan=2 | Coxeter<br />[∞<sub>h</sub>,2,p<sub>v</sub>]
|-
! ''n'' parell||''n'' senar
! ''n'' parell||''n'' senar
![[Unió Internacional de Cristal·lografia|UIC]]
![[Orbifold]]
!Diagrama
|-
| colspan=2 | ''n''
| C<sub>''n''</sub>
| colspan=2 | P''n''<sub>''q''</sub>
| Helicoïde: ''q''
| p1
||o||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p1.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2,n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2|node_h2|n|node_h2}}
|-
| {{overline|2''n''}}
| {{overline|''n''}}
| S<sub>2''n''</sub>
| P{{overline|2''n''}}
| P{{overline|''n''}}
| Cap
| p11g, pg(h)
||××||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pg.svg|60px]]
||[(∞,2)<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|-
| ''n''/m
| {{overline|2''n''}}
| C<sub>''n''h</sub>
| P''n''/m
| P{{overline|2''n''}}
| Cap
| p11m, pm(h)
||**||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pm.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2,n]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2|node|n|node}}
|-
| colspan=2 | 2''n''/m
| C<sub>2''n''h</sub>
| colspan=2 | P2''n''<sub>''n''</sub>/m
| Ziga-zaga
| c11m, cm(h)
||*×||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cm.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|2x|n|node}}
|-
| rowspan=2 | ''n''mm
| rowspan=2 | ''n''m
| rowspan=2 | C<sub>''n''v</sub>
| P''n''mm
| P''n''m
| Cap
| p1m1, pm(v)
||**||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|60px]]
||[∞,2,n<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|-
| P''n''cc
| P''n''c
| Pla de reflexió
| p1g1, pg(v)
||××||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,(2,n)<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
| colspan=2 | 2''n''mm
| C<sub>2''n''v</sub>
| colspan=2 | P2''n''<sub>''n''</sub>mc
| Ziga-zaga
| c1m1, cm(v)
||*×||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|60px]]
||[∞,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|-
| ''n''22
| ''n''2
| D<sub>''n''</sub>
| P''n''<sub>''q''</sub>22
| P''n''<sub>''q''</sub>2
| Helicoïde: ''q''
| p2
||2222||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p2.svg|60px]]
||[∞,2,n]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
| rowspan=2 | {{overline|2''n''}}2m
| rowspan=2 | {{overline|''n''}}m
| rowspan=2 | D<sub>''n''d</sub>
| P{{overline|2''n''}}2m
| P{{overline|''n''}}m
| Cap
| p2mg, pmg(h)
||22*||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmg.svg|60px]]
||[(∞,2)<sup>+</sup>,2n]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|-
| P{{overline|2''n''}}2c
| P{{overline|''n''}}c
| Plànol de reflexió
| p2gg, pgg
||22×||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|60px]]
||[<sup>+</sup>(∞,(2),2n)<sup>+</sup>]||<!--{{CDD|node_h2|split1-2i||nodes_h4h4|split2-i2|node_h2}}-->
|-
| rowspan=2 | ''n''/mmm
| rowspan=2 | {{overline|2''n''}}2m
| rowspan=2 | D<sub>''n''h</sub>
| P''n''/mmm
| P{{overline|2''n''}}2m
| Cap
| p2mm, pmm
||*2222||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmm.svg|60px]]
||[∞,2,n]||{{CDD|node|infin|node|2|node|n|node}}
|-
| P''n''/mcc
| P{{overline|2''n''}}2c
| Plànol de reflexió
| p2mg, pmg(v)
||22*||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|60px]]
||[∞,(2,n)<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
| colspan=2 | 2''n''/mmm
| D<sub>2''n''h</sub>
| colspan=2 | P2''n''<sub>''n''</sub>/mcm
| Ziga-zaga
| c2mm, cmm
||2*22||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cmm.svg|60px]]
||[∞,2<sup>+</sup>,2n]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|}

=== Grups duoprismàtics ===
La classificació de quatre grups defineix els grups duoprismàtics en [[Quarta dimensió|quatre dimensions]]. En el límit quan ''p'' i ''q'' tendeixen a l'[[infinit]], degeneren en 2 dimensions i els [[grup del paper pintat|grups del paper pintat]].

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12| Grups duoprismàtics (4D)
|-
! colspan=3 | Paper pintat
! rowspan=2 | Coxeter<br />[p,2,q]<br />{{CDD|node_c1|p|node_c2|2|node_c3|q|node_c4}}
! rowspan=2 | Coxeter<br />{{Brackets|p,2,p}}<br />{{CDD|node_c1|p|node_c2|2|node_c2|p|node_c1}}
! colspan=3 | Paper pintat
|-
! [[Unió Internacional de Cristal·lografia|UIC]]
! [[Orbifold]]
! Diagrama
! UIC
! Orbifold
! Diagrama
|-
|p1||o||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
||[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]||{{Brackets|p<sup>+</sup>,2,p<sup>+</sup>}}
|p1||o|| [[Fitxer:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|60px]]
|-
|pg||××||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pg.svg|60px]]
||[(p,2)<sup>+</sup>,2q<sup>+</sup>] ||colspan=4| -
|-
|pm||**||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pm.svg|60px]]
||[p<sup>+</sup>,2,q] ||colspan=4| -
|-
|cm||*×||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cm.svg|60px]]
||[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q] ||colspan=4| -
|-
|p2||2222||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|60px]]
||[p,2,q]<sup>+</sup>||{{Brackets|p,2,p}}<sup>+</sup>
|p4||442 || [[Fitxer:Wallpaper group diagram p4 square.svg|60px]]
|-
|pmg||22*||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmg.svg|60px]]
||[(p,2)<sup>+</sup>,2q] ||colspan=4| - 
|-
|pgg||22×||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|60px]]
||[<sup>+</sup>(2p,(2),2q)<sup>+</sup>]||{{Brackets|<sup>+</sup>(2p,(2),2p)<sup>+</sup>}}
|cmm ||2*22 ||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cmm square.svg|60px]]
|-
|pmm||*2222||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmm.svg|60px]]
||[p,2,q]||{{Brackets|p,2,p}}
|p4m||*442 || [[Fitxer:Wallpaper group diagram p4m square.svg|60px]]
|-
|cmm||2*22||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cmm.svg|60px]]
||[2p,2<sup>+</sup>,2q]||{{Brackets|2p,2<sup>+</sup>,2p}}
|p4g ||4*2 ||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p4g square.svg|60px]]
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" width=400
!Simetria duoprismàtica estesa
|-
|[[Fitxer:Extended duoprismatic groups tree.png|400px]]
|-
||Grups duoprismàtics estesos, [p]×[p] o [p,2,p] o {{CDD|labelp|branch|2|branch|labelp}}, expressada en relació a la seva simetria [[disfenoide|disfenoide tetragonal]] de domini fonamental
|}

=== Grups del paper pintat ===
Els grups del rang 4 també van definir alguns dels [[Grup del paper pintat|grups del paper pintat]] [[Espai bidimensional|bidimensionals]], com a casos límits dels grups duoprisma en [[Quarta dimensió|quatre dimensions]]:
{| class="wikitable collapsible collapsed" 
!colspan=12| Afí (Pla 2D)
|- valign=top
|
{| class=wikitable style="text-align:center;"
! [[Unió Internacional de Cristal·lografia|UIC]]
! [[Notació d'Orbifold|Orb.]]
! Geo
! colspan=2|Coxeter
!Diagrama
|-
| rowspan=3|p1||rowspan=3|o||rowspan=3|p{{overline|1}}||[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||{{CDD|labelinfin|branch_h2h2|2|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
|-
|[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h4|infin|node_h2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|60px]]
|-
|[(∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||{{CDD|labelinfin|branch_h4h4|2a2b|branch_h4h4|labelinfin}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
|-
| rowspan=2|p2||rowspan=2|2222||rowspan=2|p{{overline|2}}||[∞,2,∞]<sup>+</sup>||{{CDD|label2|branch_h2h2|iaib|branch_h2h2|label2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|60px]]
|-
|[(∞,2<sup>+</sup>,∞,2<sup>+</sup>)]||{{CDD|label2|branch_h2h2|2|iaib|2|branch_h2h2|label2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg|60px]]
|-
| p11g||rowspan=2|××||rowspan=2|p<sub>g</sub>1||h: [∞<sup>+</sup>,(2,∞)<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|split1-22|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pg.svg|65px]]
|-
| p1g1||v: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{CDD|labelinfin|branch_h2h2|split2-22|node_h4|infin|node_h2}} ||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|60px]]
|-
| p2gm||rowspan=2|22*||rowspan=2|p<sub>g</sub>2||h: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞]||{{CDD|labelinfin|branch_h2h2|split2-22|node_h2|infin|node}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmg.svg|65px]]
|-
| p2mg||v: [∞,(2,∞)<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node_h2|split1-22|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|60px]]
|}
|							
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
! IUC
! Orb.
! Geo
! colspan=2|Coxeter
!Diagrama
|-
| p11m||rowspan=2|**||rowspan=2|p1||h: [∞<sup>+</sup>,2,∞]||{{CDD|node_h2|infin|node_h2|2|node|infin|node}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pm.svg|80px]]
|-
| p1m1||v: [∞,2,∞<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node|2|node_h2|infin|node_h2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|70px]]
|-
| p2mm||*2222||p2||[∞,2,∞]||{{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pmm.svg|80px]]
|-
| c11m||rowspan=2|*×||rowspan=2|c1||h: [∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||{{CDD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|infin|node}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cm.svg|80px]]
|-
| c1m1||v: [∞,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h4|infin|node_h2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|80px]]
|-
| p2gg||22×||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub>||[<sup>+</sup>(∞,(2),∞)<sup>+</sup>]<br />[((∞,2)<sup>+</sup>)<sup>[2]</sup>]||{{CDD|node_h2|split1-i2|nodes_h4h4|split2-2i||node_h2}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|80px]]
|-
| c2mm||2*22||c2||[∞,2<sup>+</sup>,∞]||{{CDD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|infin|node}}||[[Fitxer:Wallpaper group diagram cmm.svg|80px]]
|}
|}

Els subgrups de [∞,2,∞], (*2222) es poden expressar al seu subgrup de commutador d'índex 16:
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Subgrups de [∞,2,∞]
|-
! Grup<br />reflexiu
! Subgrup<br />reflexiu
! Subgrup<br />mixt
! Subgrup<br />translació
! [[Translació (geometria)|Translació]]/<br />[[rotació impròpia]]
! [[Subgrup commutador|Subgrup<br />commutador]]
|-
|rowspan=2|[∞,2,∞], (*2222)
|rowspan=2|[1<sup>+</sup>,∞,2,∞], (*2222)
|[∞<sup>+</sup>,2,∞], (**)
|rowspan=2|[∞,2,∞]<sup>+</sup>, (2222)
|rowspan=2|[∞,2<sup>+</sup>,∞]<sup>+</sup>, (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>], (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>], (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞], (*×)<br />[(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>], (××)<br />[<sup>+</sup>(∞,(2),∞)<sup>+</sup>], (22×)
|rowspan=2|[(∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)], (°)
|- 
| [∞,2<sup>+</sup>,∞], (2*22)<br />[(∞,2)<sup>+</sup>,∞], (22*)
|}

== Reflexions complexes ==
La notació de Coxeter s'ha ampliat a l'[[Espai vectorial|espai complex]], C<sup>n</sup> on els nodes són [[Grup de reflexió complex|reflexos unitaris]] de període superior a 2. Els nodes s'etiqueten amb un índex, que se suposa que és 2 per a la reflexió real ordinària si se suprimeix. Els [[Grup de reflexió complex|grups de reflexió complexos]] s'anomenen «grups de Shephard» en lloc de «[[Grup de Coxeter|grups de Coxeter]]», i es poden utilitzar per construir [[Politop complex|politops complexes]].

En <math>\mathbb{C}^1</math>, un grup de Shephard de rang 1 {{CDD|pnode}}, ordre ''p'', es representa com <sub>''p''</sub>[], []<sub>''p''</sub> o ]<sub>''p''</sub>[. Té un sol generador, que representa a 2''&pi;''/''p'' [[radian]]s de [[Rotació (matemàtiques)|rotació]] al [[pla complex]]: <math>e^{2\pi i/p}</math>.

Coxeter escriu el grup complex del rang 2, <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub>, que representa el [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|diagrama de Coxeter]] {{CDD|pnode|3|q|3|rnode}}. Les ''p'' i ''r'' només s'han de suprimir si totes dues són 2, que és el cas [[Nombre real|real]] [''q'']. L'ordre del grup del rang 2 <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub> és <math>g = 8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}</math>.<ref>Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179</ref>

Les solucions de rang 2 que generen polígons complexos són: <sub>''p''</sub>[4]₂ (''p'' és 2,3,4…), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, i ₅[4]₃, que corresponen als diagrames de Coxeter {{CDD|pnode|4|node}}, {{CDD|3node|3|3node}}, {{CDD|3node|6|node}}, {{CDD|3node|4|3node}}, {{CDD|4node|3|4node}}, {{CDD|3node|8|node}}, {{CDD|4node|6|node}}, {{CDD|4node|4|3node}}, {{CDD|3node|5|3node}}, {{CDD|5node|3|5node}}, {{CDD|3node|10|node}}, {{CDD|5node|6|node}}, {{CDD|5node|4|3node}}.

<gallery mode="packed" heights="300">
Fitxer:Rank2 shephard subgroups3.png|Totes les relacions de subgrups en grups de Shephard de rang 2
Fitxer:Rank2 infinite shephard subgroups3.png|Algunes relacions de subgrups entre grups de Shephard infinits
</gallery>

Són grups infinits ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄, i ₆[3]₆ o {{CDD|3node|12|node}}, {{CDD|4node|8|node}}, {{CDD|6node|6|node}}, {{CDD|3node|6|3node}}, {{CDD|6node|4|3node}}, {{CDD|4node|4|4node}}, {{CDD|6node|3|6node}}.

Els subgrups d'índex 2 existeixen eliminant una reflexió real: <sub>''p''</sub>[2''q'']₂ &rarr; <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>. També hi ha subgrups d'índex ''r'' per a 4 branques: <sub>''p''</sub>[4]<sub>''r''</sub> &rarr; <sub>''p''</sub>[''r'']<sub>''p''</sub>.

Per a la família infinita <sub>''p''</sub>[4]₂, per a qualsevol ''p'' = 2, 3, 4,..., hi ha dos subgrups: <sub>''p''</sub>[4]₂ &rarr; [''p''] (índex ''p''), i <sub>''p''</sub>[4]₂ &rarr; <sub>''p''</sub>[]×<sub>''p''</sub>[] (índex 2).

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* [[Donald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]:
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''', editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
*** (Paper 22) {{ref-publicació| nom=H.S.M.| cognom=Coxeter| article=Regular and Semi Regular Polytopes I| publicació=Math. Z.| volum=46| any=1940| pàgina=380–407|url= http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN266833020_0046%7Clog55| doi=10.1007/bf01181449}}
*** (Paper 23) {{ref-publicació| nom=H.S.M.|cognom= Coxeter| article=Regular and Semi-Regular Polytopes II| publicació=Math. Z.|volum= 188(4)|any=1985|pàgina= 559–591|url= http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0188%7Clog55|doi=10.1007/bf01161657}}
*** (Paper 24) {{ref-publicació|nom=H.S.M. |cognom= Coxeter |article=Regular and Semi-Regular Polytopes III|publicació=Math. Z.|volum= 200|any=1988|pàgina =3–45|url= http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0200%7Clog9|doi=10.1007/bf01161745}}
* {{ref-llibre |cognom=Coxeter |nom=H. S. M. enllaçautor=Donald Coxeter |cognom2=Moser |nom2= W. O. J. |enllaçautor2=William Moser | títol=Generators and Relations for Discrete Groups | lloc=Nova York| editorial=Springer-Verlag | any=1980 | isbn=0-387-09212-9}}
* [[Norman Johnson (matemàtic)|Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
** Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss [https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf Quadratic Integers and Coxeter Groups] {{Webarchive|url= https://web.archive.org/web/20230326121528/http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=2023-03-26 }} [[PDF]] Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
** N. W. Johnson: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'' [http://www.cambridge.org/jp/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/geometries-and-transformations]
* {{ref-publicació | cognom=Conway | nom=John Horton | enllaçautor=John Horton Conway | cognom2=Delgado Friedrichs | nom2=Olaf | cognom3=Huson | nom3=Daniel H. | cognom4=Thurston | nomt4=William P. | enllaçautor4=William Thurston | article=On three-dimensional space groups | url= http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html | mr=1865535 |any=2001 | publicació=Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry | issn=0138-4821 | volum=42(2) | pàgines=475–507}}
* John H. Conway and Derek A. Smith, ''On Quaternions and Octonions'', 2003, {{ISBN|978-1-56881-134-5}}
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} Ch.22 ''35 prime space groups'', ch.25 ''184 composite space groups'', ch.26 ''Higher still'', 4D point groups

{{Autoritat}}

[[Categoria:Simetria]]
[[Categoria:Teoria de grups]]