Mostra la font per a Operació mòdul

[[Fitxer:Divmod.svg|miniatura|Funcions quocient ({{fontcolor|red|vermell}}) i residu ({{fontcolor|green|verd}}) emprant diferents algorismes]]
En [[informàtica]], l'operació '''mòdul''' troba el [[Residu (aritmètica)|residu]] de la [[divisió]] d'un nombre entre un altre (aquest residu també se sol anomenar ''mòdul'').

Donats dos nombres positius, {{math|''a''}} (el [[Divisió|dividend]]) i {{math|''n''}} (el [[divisor]]), ''a'' '''mòdul''' ''n'' (abreujat com {{nowrap|''a'' mod ''n''}}) és el residu de la [[divisió euclidiana]] de ''a'' entre ''n''. Per exemple, l'expressió "5 mod 2" té com a resultat 1, perquè 5 dividit entre 2 dona un [[quocient]] de 2 i un residu d'1, mentre que "9 mod 3" té com a resultat 0, perquè la divisió de 9 entre 3 té un quocient de 3 i un residu de 0; no cal restar res de 9 després de multiplicar 3 per 3. Noteu que si es realitza la divisió amb una calculadora convencional, no es mostrarà el resultat indicat anteriorment, sinó que s'expressarà el quocient en forma de fracció decimal.

Encara que aquesta operació acostuma a realitzar-se entre dos nombres naturals, molts sistemes de computació permeten altres tipus d'operands numèrics. El rang de nombres que pot adoptar el mòdul va des de 0 fins a ''n'' − 1. (''n'' mod 1 sempre és 0; ''n'' mod 0 no està definit, causant un error "Divisió per zero" en els llenguatges de programació).

Quan {{math|''a''}} o bé {{math|''n''}} són negatius, la definició intuïtiva que hem vist no es pot aplicar, i els diferents llenguatges de programació ofereixen diferents resultats.

== Càlcul del residu per a l'operació mòdul ==
{| class="wikitable sortable" style="float:right; margin-left:1em; margin-right:0; width:30%;"
|+ Operadors mòdul enters en diversos llenguatges de programació
|-
! Llenguatge
! Operador
! abbr="Sign" | El resultat té el mateix signe que el...
|-
| [[ActionScript]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Ada (llenguatge de programació)|Ada]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[Active Server Pages|ASP]] || <code>Mod</code> || Indefinit
|-
| [[ALGOL-68]] || <code>÷×, mod</code> || Sempre positiu
|-
| [[AMPL]] || <code>mod</code> || Dividend
|-
| [[APL]] || <code><nowiki>|</nowiki></code> || Divisor
|-
| [[AppleScript]] || <code>mod</code> || Dividend
|-
| [[Llenguatge assemblador x86|Assemblador x86]] || <code>IDIV</code> || Dividend
|-
| [[AWK]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[BASIC]] || <code>Mod</code> || Indefinit
|-
| [[bash]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[bc (llenguatge de programació)|bc]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Llenguatge C|C (ISO 1990)]]
| <code>%</code> || Segons la implementació
|-
| <code>div</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[C++|C++ (ISO 1998)]]
| <code>%</code> || Segons la implementació<ref>{{ref-publicació|títol=ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++|publicació=[[International Organization for Standardization|ISO]], [[International Electrotechnical Commission|IEC]]|any=2003|capítol=5.6.4|postscript=<!--None-->}}. "l'operador binari <code>%</code> proporciona el residu de la divisió de la primera expressió entre la segona. [...] Si tots dos operands són no-negatius, llavors el residu és no-negatiu; altrament, el signe del residu depèn de la implementació" ({{en}} "the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. .... If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined")</ref>
|-
| <code>div</code> || Dividend
|-
| [[C99|C (ISO 1999)]] || <code>%</code>, <code>div</code> || Dividend<ref name="C99">[http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1256.pdf open-std.org], section 6.5.5</ref>
|-
| [[C++11|C++ (ISO 2011)]] || <code>%</code>, <code>div</code> || Dividend
|-
| [[C Sharp (llenguatge de programació)|C#]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Clarion (llenguatge de programació)|CLARION]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Clojure]] || <code>mod</code> || Divisor
|-
| [[COBOL]]<ref group="nota">Tal com està implementat en ACUCOBOL, Micro Focus COBOL, i possiblement altres.</ref> || <code>FUNCTION&nbsp;MOD</code> || Divisor
|-
| rowspan=2 | [[CoffeeScript]]
| <code>%</code> || Dividend
|-
| <code>%%</code> || Divisor<ref name="CoffeeScript">[http://coffeescript.org/#operators CoffeeScript operators]</ref>
|-
| [[Adobe ColdFusion|ColdFusion]] || <code>%, MOD</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Common Lisp]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[Llenguatge D|D]] || <code>%</code> || Dividend<ref>{{ref-web|títol=Expressions|url=http://www.digitalmars.com/d/2.0/expression.html#MulExpression|obra=D Programming Language 2.0|editor=Digital Mars|consulta= 29 juliol 2010}}</ref>
|-
| rowspan=2 | [[Dart (llenguatge de programació)|Dart]] || <code>%</code> || Sempre positiu
|-
| remainder() || Dividend
|-
| [[Llenguatge de programació Eiffel|Eiffel]] || <code>\\</code> || Dividend
|-
| [[Erlang]] || <code>rem</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Euphoria (llenguatge de programació)|Euphoria]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>remainder</code> || Dividend
|-
| [[F Sostingut|F#]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[FileMaker]] || <code>Mod</code> || Divisor
|-
| [[Forth]] || <code>mod</code> || Segons la implementació
|-
| rowspan=2 | [[Fortran]]
| <code>mod</code> || Dividend
|-
| <code>modulo</code> || Divisor
|-
| [[Frink (programming language)|Frink]] || <code>mod</code> || Divisor
|-
| [[GameMaker: Studio|GML (Game Maker)]] || <code>mod</code> || Dividend
|-
| [[GDScript]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Go (llenguatge de programació)|Go]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Haskell]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[Haxe]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Llenguatge de programació J|J]] || <code><nowiki>|~</nowiki></code> || Divisor
|-
| rowspan=2 | [[Java (llenguatge de programació)|Java]]
| <code>%</code> || Dividend
|-
| <code>Math.floorMod</code> || Divisor
|-
| [[JavaScript]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Julia (llenguatge de programació)|Julia]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[LibreOffice]] || <code>=MOD()</code> || Divisor
|-
| [[Lua|Lua 5]] || <code>%</code> || Divisor
|-
| [[Lua|Lua 4]] || <code>mod(x,y)</code> || Divisor
|-
| [[Liberty BASIC]] || <code>MOD</code> || Dividend
|-
| [[MathCAD]] || <code>mod(x,y)</code> || Divisor
|-
| [[Maple]] || <code> e mod m </code> || Sempre positiu
|-
| [[Mathematica]] || <code>Mod</code> || Divisor
|-
| rowspan=2 | [[MATLAB]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Maxima (software)|Maxima]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>remainder</code> || Dividend
|-
| [[Maya Embedded Language]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Microsoft Excel]] || <code>=MOD()</code> || Divisor
|-
| [[Minitab]] || <code>MOD</code> || Divisor
|-
| [[Korn shell|mksh]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Modula-2]] || <code>MOD</code> || Divisor<ref name="divpos" group="nota">El divisor ha de ser positiu, altrament no està definit.</ref>
|-
| [[MUMPS]] || <code>#</code> || Divisor
|-
| rowspan=2 | [[Netwide Assembler|NASM]]<br />[[Netwide Assembler|NASMX]]
| <code>%</code> || Operador mòdul sense signe
|-
| <code>%%</code> || Operador mòdul amb signe
|-
| [[Oberon (llenguatge de programació)|Oberon]] || <code>MOD</code> || Divisor<ref name="divpos" group="nota"/>
|-
| [[OCaml]] || <code>mod</code> || Dividend
|-
| [[Occam (llenguatge de programació)|Occam]] || <code>\</code> || Dividend
|-
| [[Pascal (llenguatge de programació)|Pascal (Delphi)]] || <code>mod</code> || Dividend
|-
| [[Pascal (llenguatge de programació)|Pascal (ISO-7185 and ISO-10206)]] || <code>mod</code> || Sempre positiu
|-
| [[Perl]] || <code>%</code> || Divisor<ref group="nota">Habitualment, Perl utilitza una aritmètica per al càlcul de l'operador mòdul que és independent de màquina. Vegeu la [http://perldoc.perl.org/perlop.html#Multiplicative-Operators documentació de Perl] per a excepcions i exemples.</ref>
|-
| [[PHP]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[PIC Basic Pro]] || <code>\\</code> || Dividend
|-
| [[PL/I]] || <code>mod</code> || Divisor (ANSI PL/I)
|-
| [[Windows PowerShell|PowerShell]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[OpenEdge Advanced Business Language|Progress]] || <code>modulo</code> || Dividend
|-
| rowspan=2| [[Prolog]] (ISO 1995)
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-[[PureBasic]] || <code>%,Mod(Number,Divisor)</code>
|-
| rowspan=2 | [[Python]]
| <code>%</code> || Divisor
|-
| <code>math.fmod</code> || Dividend
|-
| [[Racket (llenguatge de programació)|Racket]] || <code>remainder</code> || Dividend
|-
| [[RealBasic]] || <code>MOD</code> || Dividend
|-
| [[R (llenguatge de programació)|R]] || <code>%%</code> || Divisor
|-
| [[Rexx|REXX]] || <code>//</code> || Dividend
|-
| [[RPG (llenguatge de programació)|RPG]] || <code>%REM</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Ruby]]
| <code>%, modulo()</code> || Divisor
|-
| <code>remainder()</code> || Dividend
|-
| [[Rust (llenguatge de programació)|Rust]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Scala (llenguatge de programació)|Scala]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Scheme]]
| <code>modulo</code> || Divisor
|-
| <code>remainder</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Scheme]] R⁶RS
| <code>mod</code> || Sempre positiu<ref name="r6rs">[http://www.r6rs.org/final/html/r6rs/r6rs-Z-H-14.html#node_sec_11.7.3.1 r6rs.org]</ref>
|-
| <code>mod0</code> || El més pròxim a zero<ref name="r6rs"/>
|-
| rowspan=2 | [[Seed7]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[SenseTalk]]
| <code>modulo</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Smalltalk]]
| <code>\\</code> || Divisor
|-
| <code>rem:</code> || Dividend
|-
| [[SQL]] ([[SQL:1999]]) || <code>mod(x,y)</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Standard ML]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>Int.rem</code> || Dividend
|-
| [[Stata]] || <code>mod(x,y)</code> || Sempre positiu
|-
| [[Swift (llenguatge de programació)|Swift]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Tcl]] || <code>%</code> || Divisor
|-
| [[Torque Game Engine]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Turing (llenguatge de programació)|Turing]] || <code>mod</code> || Divisor
|-
| [[Verilog]] (2001) || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[VHDL]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[Visual Basic]]||<code>Mod</code>||Dividend
|-
|-
| rowspan=2 | [[Xbase++]]
| <code>%</code> || Dividend
|-
| <code>Mod()</code> || Divisor
|-
| Z3 theorem prover || <code>div</code>, <code>mod</code> || Sempre positiu
|}
{| class="wikitable sortable" style="float:right; clear:right; margin-left:1em; margin-right:0; width:30%;"
|+ Operadors mòdul en coma flotant en diversos llenguatges de programació
|-
! Llenguatge
! Operador
! abbr="Sign" | El resultat té el mateix signe que el...
|-
| [[Llenguatge C|C (ISO 1990)]] || <code>fmod</code> || Dividend<ref>{{ref-publicació|títol=ISO/IEC 9899:1990 : Programming languages -- C|publicació=[[International Organization for Standardization|ISO]], [[International Electrotechnical Commission|IEC]]|any=1990|capítol=7.5.6.4|postscript=<!--None-->}}. "The <code>fmod</code> function returns the value <code>x - i * y</code>, for some integer <code>i</code> such that, if <code>y</code> is nonzero, the result as the same sign as <code>x</code> and magnitude less than the magnitude of <code>y</code>.".</ref>
|-
| rowspan=2 | [[C99|C (ISO 1999)]]
| <code>fmod</code> || Dividend
|-
| <code>remainder</code> || El més pròxim a zero
|-
| [[C++|C++ (ISO 1998)]] || <code>std::fmod</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[C++11|C++ (ISO 2011)]]
| <code>std::fmod</code> || Dividend
|-
| <code>std::remainder</code> || El més pròxim a zero
|-
| [[C Sharp (llenguatge de programació)|C#]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Common Lisp]]
| <code>mod</code> || Divisor
|-
| <code>rem</code> || Dividend
|-
| [[Llenguatge D|D]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Dart (llenguatge de programació)|Dart]] || <code>%</code> || Sempre positiu
|-
| remainder() || Dividend
|-
| [[F Sostingut|F#]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Fortran]]
| <code>mod</code> || Dividend
|-
| <code>modulo</code> || Divisor
|-
| [[Go (llenguatge de programació)|Go]] || <code>math.Mod</code> || Dividend
|-
| [[Haskell]] (GHC) || <code>Data.Fixed.mod'</code> || Divisor
|-
| [[Java (llenguatge de programació)|Java]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[JavaScript]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| [[Microsoft Excel]] || <code>=MOD()</code> || Divisor
|-
| [[OCaml]] || <code>mod_float</code> || Dividend
|-
| [[Perl]] || <code>POSIX::fmod</code> || Dividend
|-
| [[Perl6]] || <code>%</code> || Divisor
|-
| [[PHP]] || <code>fmod</code> || Dividend
|-
| rowspan=2| [[Python]]
| <code>%</code> || Divisor
|-
| <code>math.fmod</code> || Dividend
|-
| [[Rexx|REXX]] || <code>//</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Ruby]]
| <code>%, modulo()</code> || Divisor
|-
| <code>remainder()</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Scheme]] R⁶RS
| <code>flmod</code> || Sempre positiu
|-
| <code>flmod0</code> || El més pròxim a zero
|-
| [[ML Estàndard|Standard ML]] || <code>Real.rem</code> || Dividend
|-
| [[Swift (llenguatge de programació)|Swift]] || <code>%</code> || Dividend
|-
| rowspan=2 | [[Xbase++]]
| <code>%</code> || Dividend
|-
| <code>Mod()</code> || Divisor
|}
En [[matemàtiques]], el resultat de l'operació mòdul és el residu de la [[divisió euclidiana]], encara que són possibles altres convencions. Els ordinadors i les calculadores tenen diferents maneres d'emmagatzemar i representar els nombres i, per tant, la seva definició de l'operació mòdul depèn del [[llenguatge de programació]] i/o del [[maquinari]] subjacent.

En gairebé tots els sistemes de computació, el [[quocient]] {{math|''q''}} i el residu {{math|''r''}} de {{math|''a''}} dividit per {{math|''n''}} satisfà
: {{NumBlk|:|<math>\begin{align}
q \,&\in \mathbb{Z} \\
a \,&= n q + r \\
|r| \,&< |n|.
\end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}

Tot i aquestes condicions, encara existeix una ambigüitat respecte al signe si el residu és diferent de zero: hi ha dues opcions possibles per al residu, una amb signe negatiu i l'altra amb signe positiu, i també hi ha dues opcions per al [[quocient]]. En teoria de nombres, hom acostuma a escollir el residu amb signe positiu, però l'elecció dels llenguatges de programació depèn del llenguatge i dels signes de ''a'' i/o ''n''.<ref group="nota">Des d'un punt de vista matemàtic, aquestes són només dues opcions d'entre el nombre infinit d'opcions per a la [[Residu (aritmètica)|desigualtat satisfeta pel residu]].</ref> Les implementacions estàndard de Pascal i Algol68 proporcionen un residu positiu (o 0) fins i tot per a divisors negatius, i alguns llenguatges de programació, com C90, deixen l'elecció del signe del residu a cada implementació, en el cas on ''n'' o ''a'' són negatius (vegeu la taula per a més detalls). L'operació ''a'' mòdul 0 resta indefinida per a la majoria de sistemes, encara que alguns d'ells la defineixen per tal que el resultat sigui ''a''.
* Moltes implementacions empren la '''divisió truncada''', on es defineix el quocient per [[truncament]] {{math|''q'' {{=}} trunc(''a''/''n'')}}, i per tant, d'acord amb l'equació ({{EquationNote|1}}), el residu hauria de tenir ''el mateix signe que el dividend''. El quocient s'arrodoneix cap a zero: igual al primer enter en la direcció del zero des del quocient racional exacte.
::<math>r = a - n \operatorname{trunc}\left(\frac{a}{n}\right)</math>
* [[Donald Knuth]]<ref>{{ref-llibre|
nom=Donald. E.|cognom=Knuth|títol=The Art of Computer Programming
|editorial=Addison-Wesley|any=1972|isbn=0-201-89683-4}}</ref> descriu la '''divisió arrodonida''' ({{en}} '''''floored division''''') on el quocient ve definit per la funció [[part entera]] {{math|''q'' {{=}} ⌊''a''/''n''⌋}}, i per l'equació ({{EquationNote|1}}), el residu hauria de tenir ''el mateix signe que el divisor''. A causa del comportament de la funció part entera, el quocient sempre s'arrodoneix cap a baix, fins i tot si és negatiu.
::<math>r = a - n \left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor</math>
* Raymond T. Boute<ref>{{ref-publicació
 | cognom = Boute
 | nom = Raymond T.
 | títol = The Euclidean definition of the functions div and mod
 | publicació = ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS)
 | volum = 14
 | exemplar = 2
 | pàgines = 127–144
 | editor = ACM Press (New York, NY, USA)
 | mes = abril|any=1992
 | url = http://portal.acm.org/citation.cfm?id=128862&coll=portal&dl=ACM
 | doi = 10.1145/128861.128862}}</ref> descriu la definició euclidiana en la qual el residu és sempre no-negatiu, {{math|0 ≤ ''r''}} i, per tant, és consistent amb l'algorisme de '''[[divisió euclidiana]]'''. Aquesta convenció està simbolitzada per ''Sempre negatiu''
* a la taula. En aquest cas,

:: <math>n > 0 \Rightarrow q = \left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor</math>
:: <math>n < 0 \Rightarrow q = \left\lceil\frac{a}{n}\right\rceil</math>
:o equivalentment
:: <math>q = \sgn(n) \left\lfloor \frac{a}{\left|n\right|} \right\rfloor</math>
:on {{math|sgn}} és la [[funció signe]], i per tant
:: <math>r = a - |n| \left\lfloor \frac{a}{\left|n\right|} \right\rfloor</math>.
* Common Lisp també defineix la divisió arrodonida i la divisió entera per dalt ({{en}} ''ceiling-division''), on la divisió ve donada per {{math|<var>q</var> {{=}} round(<var>a</var>/<var>n</var>)}} i {{math|q {{=}} ceil(<var>a</var>/<var>n</var>)}} respectivament.
* [[IEEE 754-1985|IEEE 754]] defineix una funció residu on el quocient és {{math|<var>a</var>/<var>n</var>}} arrodonit cap a la [[IEEE 754-1985#Arrodoniment de nombres en coma flotant|convenció més propera]]. Per tant, el signe del residu s'escull per tal que sigui ''el més pròxim a zero''.

Com descriu Leijen,
{{Citació|Boute argues that Euclidean division is superior to the other ones in terms of regularity and useful mathematical properties, although floored division, promoted by Knuth, is also a good definition. Despite its widespread use, truncated division is shown to be inferior to the other definitions.
|col2=Boute argumenta que la divisió euclidiana és superior a les altres, en termes de regularitat i utilitat de les seves propietats matemàtiques, encara que la divisió arrodonida, recomanada per Knuth, també és una bona definició. Tot i el seu ús generalitzat, s'ha vist que la divisió truncada és inferior a les altres definicions.
|llengua1={{en}}
|llengua2={{ca}}
|Daan Leijen|''Division and Modulus for Computer Scientists''<ref>{{ref-web
 | cognom = Leijen
 | nom = Daan
 | títol = Division and Modulus for Computer Scientists
 | data = 3 desembre 2001
 | url = http://research.microsoft.com/pubs/151917/divmodnote.pdf
 | format = PDF
 |consulta=2014-12-25}}
</ref>}}

== Malentesos comuns ==
Quan el resultat de l'operaciò mòdul té el signe del dividend, de vegades pot portar a resultats sorprenents.

Per exemple, per comprovar si un nombre és senar, hom podria pensar a comprovar si el residu de la divisió entre 2 dona 1:
<syntaxhighlight lang="cpp">
bool es_senar(int n) {
 return n % 2 == 1;
}
</syntaxhighlight>

Però en un llenguatge on el mòdul té el signe del dividend, aquesta implementació és incorrecta, perquè quan ''n'' (el dividend) és negatiu i senar, <code>n % 2</code> retorna <code>−1</code>, i la funció retorna <code>fals</code>.

Una alternativa correcta és comprovar que el residu no és 0 (perquè un residu 0 és independent del signe dels operands):
<syntaxhighlight lang="cpp">
bool es_senar(int n) {
 return n % 2 != 0;
}
</syntaxhighlight>

O bé tenint en compte que, per a un nombre senar, el residu pot ser 1 o −1:
<syntaxhighlight lang="cpp">
bool es_senar(int n) {
 return n % 2 == 1 || n % 2 == -1;
}
</syntaxhighlight>

== Expressió de l'operació mòdul ==
Algunes calculadores tenen un botó de funció {{fontcolor|white|gray|&nbsp;mod()&nbsp;}}, i molts llenguatges de programació tenen una funció <code>mod()</code> o similar, expressada com mod(''a'','' n''), per exemple. Alguns suporten també expressions que usen "%", "mod", o "Mod" com a [[Operador (informàtica)|operador]] mòdul o residu, com
:<code>a % n</code>
o
:<code>a mod n</code>
o equivalentment, en entorns que no disposen d'una funció <code>mod()</code> (notem que 'int' retorna la part entera de ''a''/''n''):
:<code>a - (n * int(a/n))</code>.

== Cost computacional ==
És possible implementar les operacions mòdul de manera que, a cada pas, es calculi una divisió amb residu. Però en casos especials, existeixen alternatives més ràpides sobre certs tipus de maquinari. Per exemple, el residu de potències de 2 també es pot expressar en forma d'operació [[Operació bit a bit#AND|AND bit a bit]]:
:<code>x % 2<sup>n</sup> == x & (2<sup>n</sup> - 1)</code>.

Exemples (suposant que ''x'' és un enter positiu):
:<code>x % 2 == x & 1</code>
:<code>x % 4 == x & 3</code>
:<code>x % 8 == x & 7</code>.

En dispositus i programes que implementen les operacions bit a bit de forma més ràpida que les operacions mòdul, aquestes alternatives proporcionen càlculs més ràpids.<ref>{{ref-web | nom = Adam | cognom = Horvath | url =http://blog.teamleadnet.com/2012/07/faster-division-and-modulo-operation.html | títol = Faster division and modulo operation - the power of two | data = 5 juliol 2012}}</ref>

Els [[compilador]]s [[Compilador optimitzador|optimitzadors]] poden reconèixer expressions de la forma <code>expressió % constant</code> on <code>constant</code> és una potència de 2, i llavors implementar-les com <code>expressió & (constant-1)</code>. Això permet al programador escriure codi més senzill i sense penalitzar el rendiment. (Nota: Aquesta aproximació no funciona per a llenguatges on el residu té el signe del dividend –com ara C–, perquè si el dividend és negatiu, llavors el residu serà negatiu, però <code>expressió & (constant-1)</code> sempre retornarà un resultat positiu; de tal manera que cal fer un tractament especial per al cas on el dividend pot ser negatiu.)

== Equivalències ==
Algunes operacions mòdul es poden factoritzar o desenvolupar, de la mateixa manera que altres operacions matemàtiques. Això pot ser útil en demostracions de [[criptografia]], com l'[[intercanvi de claus Diffie-Hellman]].
* Identitat:
** <math>(a\,\bmod\,n)\,\bmod\,n = a\,\bmod\,n</math>
** <math>n^x\,\bmod\,n = 0</math> per a tots els valors enters positius de <math>x</math>.
** Si <math>n</math> és un [[nombre primer]] que no és un [[divisor]] de <math>b</math>, llavors <math>ab^{n-1}\,\bmod\,n = a\,\bmod\,n</math>, a causa del [[petit teorema de Fermat]].
* Invers:
** <math>((-a\,\bmod\,n) + (a\,\bmod\,n))\,\bmod\,n =0</math>
** <math>b^{-1}\,\bmod\,n</math> denota l'[[invers multiplicatiu modular]], que està definit si i només si <math>b</math> i <math>n</math> són [[Nombres coprimers|coprimers]], que és el cas en què el primer terme està definit: <math>((b^{-1}\,\bmod\,n) \, (b\,\bmod\,n))\,\bmod\,n =1</math>.
* Distributivitat:
** <math>(a+b)\,\bmod\,n = ((a\,\bmod\,n)+(b\,\bmod\,n))\,\bmod\,n</math>
** <math>ab\,\bmod\,n = ((a\,\bmod\,n)\,(b\,\bmod\,n))\,\bmod\,n</math>
* Divisió (definició): <math>\frac{a}{b}\,\bmod\,n = ((a\,\bmod\,n)(b^{-1}\,\bmod\,n))\,\bmod\,n</math>, quan el segon terme està definit, i indefinit altrament.
* Invers multiplicatiu: <math>((ab\,\bmod\,n)\,(b^{-1}\,\bmod\,n))\,\bmod\,n = a\,\bmod\,n</math>

== Notes ==
<references group="nota"/>

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[Mòdul (desambiguació)]]
* [[Exponenciació modular]]

{{ORDENA:Operacio Modul}}
[[Categoria:Informàtica teòrica]]
[[Categoria:Aritmètica modular]]
[[Categoria:Teoria d'anells]]