Mostra la font per a Operador (mecànica quàntica)

El ''' operador quàntic ''' és l'[[operador]] matemàtic que representa una [[magnitud física]] ([[observable]]) en el formalisme de la [[mecànica quàntica]].
Matemàticament els operadors de la mecànica quàntica són aplicacions lineals definides sobre un conjunt o domini en un [[espai de Hilbert]], i que han de satisfer certes propietats formals com la de ser [[operador hermític|autoadjunts]].

Alguns operadors estan definits sobre tot l'espai de Hilbert, aquests operadors es diuen continus o tancats. No obstant això, altres operadors quàntics estan definits només sobre un domini dens en l'espai de Hilbert, però no en tot l'espai de Hilbert. Per exemple l'[[hamiltonià (mecànica quàntica)|operador hamiltonià]], que representa l'energia del sistema, sol ser un operador no-tancat, la qual cosa es correspon amb el fet físic que molts sistemes no imposen un límit superior per al valor de l'energia

== Operadors posició i moment lineal ==
Resulten d'especial interès les correspondències entre la mecànica clàssica i la quàntica dels operadors corresponents a la posició i al moment lineal:

:<math> \hat{x}= x \quad; \quad \hat{y}= y \quad; \quad \hat{z}= z </math>

:<math> \hat{p}_x =- i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\quad; \quad \hat{p}_y =- i \hbar \frac{\partial}{\partial y}\quad; \quad \hat{p}_z =- i \hbar \frac{\partial}{\partial z}</math>

Així, per exemple, l'energia cinètica, que es desenvolupa com:

: <math> I_{cinc}= \frac{1}{2}m \left (v_x^2+v_y^2+v_z^2 \right) = \frac{1}{2m} \left (p_x^2+p_y^2+p_z^2 \right) </math>

en passar els operadors a la seva versió quàntica queda d'aquesta manera:

: <math> \frac{1}{2m} \left (\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2 \right) = - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 </math>

== Commutació d'operadors ==
Es diu que dos operadors commuten quan compleixen:

: <math> [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B}- \hat{B}\hat{A}= 0 </math>

Un teorema d'importància cabdal en la mecànica quàntica és el que segueix:

"'' Si i només si dos operadors commuten, tenen un conjunt de funcions pròpies en comú ''".

Com es pot veure de forma molt senzilla a partir de les relacions de l'apartat anterior, per a una direcció espacial donada (diguem la x) els operadors posició i moment lineal no commuten. Això implica que no tenen cap funció pròpia en comú. Així doncs, per a qualsevol funció d'ones, si és possible determinar de forma reproduïble la posició, en la determinació del moment lineal hi haurà sempre una contribució estadística. Aquest és un cas particular del [[principi d'indeterminació de Heisenberg]].

== Representació matricial d'un operador ==
Es diu que un operador <math> \hat{O}</math> és lineal quan, per a qualsevol x, i, es compleix:

: <math> \hat{O}(x \vec{a}+i \vec{b}) = x \hat{O}\vec{a}'i \hat{O}\vec{b}</math>

D'aquesta manera, un operador lineal està completament determinat si es coneix el seu efecte sobretot [[espai vectorial|vector]]. Com qualsevol vector es pot definir com [[combinació lineal]] dels vectors d'una [[base (àlgebra)|base]] (<math> \hat{O}\vec{a}= \sum_{i}a_i \vec{e_i}</math>), n'hi ha prou conèixer com afecta un operador lineal a cada vector d'una base per determinar completament. D'altra banda, com <math> \hat{O}\vec{e_i}</math> també és un vector, sempre es pot descriure com:

: <math> \hat{O}\vec{e_i}= \sum_{j}o_{ij}\vec{e_j}</math>

on <math> o_{ij}</math> és el component del vector <math> \hat{O}\vec{e_i}</math> en la direcció <math> \vec{e_j}</math>. Aquests components es poden ordenar en forma d'una matriu (quadrada) <math> i \times j </math>, que constitueix una altra descripció completa de <math> \hat{O}</math>, i rep el nom de '' representació matricial d'un operador ''.

[[Categoria:Mecànica quàntica]]