Mostra la font per a Operadors de creació i aniquilació

'''Els operadors de creació''' i '''els operadors d'aniquilació''' són [[Operador matemàtic|operadors matemàtics]] que tenen aplicacions generalitzades en [[mecànica quàntica]], especialment en l'estudi d'[[Oscil·lador harmònic quàntic|oscil·ladors harmònics quàntics]] i sistemes de moltes partícules. Un operador d'aniquilació (normalment indicat <math>\hat{a}</math>) redueix en un el nombre de partícules en un estat donat. Un operador de creació (normalment indicat <math>\hat{a}^\dagger</math>) augmenta el nombre de partícules en un estat donat en un, i és l'[[Operador adjunt|adjunt]] de l'operador d'aniquilació. En molts subcamps de [[Física|la física]] i [[Química|la química]], l'ús d'aquests operadors en lloc de [[Funció d'ona|funcions d'ona]] es coneix com [[Segona quantificació|a segona quantització]]. Van ser presentats per [[Paul Adrien Maurice Dirac|Paul Dirac]].<ref>{{Ref-web|títol=8.2: Creation and Annihilation Operators|url=https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Quantum_Mechanics/Advanced_Quantum_Mechanics_(Kok)/08%3A_Identical_Particles/8.02%3A_Creation_and_Annihilation_Operators|data=2021-11-26|consulta=2024-07-25|llengua=en}}</ref>

Els operadors de creació i aniquilació poden actuar sobre estats de diversos tipus de partícules. Per exemple, en [[Química quàntica|la química quàntica]] i [[Problema de molts cossos|la teoria de molts cossos,]] els operadors de creació i aniquilació sovint actuen sobre els estats [[Electró|d'electrons]]. També poden referir-se específicament als [[operador d'escala|operadors d'escala]] per a l'[[oscil·lador harmònic quàntic]]. En aquest últim cas, l'operador de creació s'interpreta com un operador de pujada, afegint una quantitat d'energia al sistema d'oscil·lador (de la mateixa manera per a l'operador de baixada). Es poden utilitzar per representar [[Fonó|fonons]]. La construcció d' Hamiltonians utilitzant aquests operadors té l'ººººavantatge que la teoria satisfà automàticament el [[Teorema de descomposició de clústers|teorema de descomposició de clúster]].<ref>{{Ref-llibre|nom=Steven|cognom=Weinberg|enllaçautor=Steven Weinberg|títol=The Quantum Theory of Fields Volume 1|editorial=Cambridge University Press|data=1995|capítol=4|pàgines=169|isbn=9780521670531|llengua=anglès}}</ref>

Les matemàtiques per als operadors de creació i aniquilació dels [[Bosó|bosons]] són les mateixes que per als [[operador d'escala|operadors d'escala]] de l'[[oscil·lador harmònic quàntic]]. Per exemple, el [[Commutador (matemàtiques)|commutador]] dels operadors de creació i aniquilació que estan associats amb el mateix estat de bosó és igual a un, mentre que tots els altres commutadors desapareixen. No obstant això, per [[Fermió|als fermions]] les matemàtiques són diferents, que inclouen [[Commutador (matemàtiques)|anticomutadors]] en lloc de commutadors.<ref>{{Ref-web|url=https://people.umass.edu/~bvs/614_a_dagger_a.pdf|títol=Creation/annihilation Operators|consulta=25-7-2024|llengua=anglès}}</ref>

=== Operadors d'escala per a l'oscil·lador harmònic quàntic ===
En el context de l'[[oscil·lador harmònic quàntic]], es reinterpreta els operadors d'escala com a operadors de creació i aniquilació, afegint o restant [[Quàntum|quants]] fixos d'energia al sistema oscil·lador.

Els operadors de creació/aniquilació són diferents per [[Bosó|als bosons]] (espín sencer) i [[Fermió|els fermions]] (espin mig sencer). Això es deu al fet que les seves [[Funció d'ona|funcions d'ona]] tenen [[Partícules idèntiques|propietats de simetria]] diferents.

Considereu primer el cas bosònic més simple dels fotons de l'oscil·lador harmònic quàntic. Comenceu amb l'[[equació de Schrödinger]] per a l'[[oscil·lador harmònic quàntic]] independent del temps unidimensional,

<math display="block">\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\right) \psi(x) = E \psi(x).</math>Fer una substitució de coordenades per [[No dimensionalització|no dimensionar]] l'equació diferencial

<math display="block">x \ = \ \sqrt{ \frac{\hbar}{m \omega}} q.</math>L'equació de Schrödinger per a l'oscil·lador esdevé

<math display="block"> \frac{\hbar \omega}{2} \left(-\frac{d^2}{d q^2} + q^2 \right) \psi(q) = E \psi(q).</math>

Cal tenir en compte que la quantitat <math> \hbar \omega = h \nu </math> és la mateixa energia que la trobada per als [[Quàntum|quants]] de llum i que el parèntesi de l'[[Hamiltonià]] es pot escriure com

<math display="block"> -\frac{d^2}{dq^2} + q^2 = \left(-\frac{d}{dq}+q \right) \left(\frac{d}{dq}+ q \right) + \frac {d}{dq}q - q \frac {d}{dq} .</math>

== Operadors generalitzats de creació i aniquilació ==
Gràcies a [[Teoria de la representació|la teoria de la representació]] i [[C*-algebra|les àlgebres C*,]] els operadors derivats anteriorment són en realitat una instància específica d'una noció més generalitzada d'operadors de creació i aniquilació en el context de [[Àlgebres CCR i CAR|les àlgebres CCR i CAR]]. Matemàticament i encara més generalment, [[operador d'escala|els operadors d'escala]] es poden entendre en el context d'un [[sistema d'arrels|sistema arrel]] d'un [[Semisimple Lie algebra|grup de Lie semisimple]] i l'[[Semisimple Lie algebra|àlgebra de Lie semisimple]] associada sense la necessitat de realitzar la [[Teoria de la representació|representació]] com a [[Operador matemàtic|operadors]] en un [[espai de Hilbert]] funcional.

== Operadors de creació i aniquilació d'equacions de reacció-difusió ==
La descripció de l'operador d'aniquilació i creació també ha estat útil per analitzar les equacions clàssiques de difusió de la reacció, com la situació en què un gas de molècules <math>A</math> difonen i interactuen en contacte, formant un producte inert: <math>A+A\to \empty</math>. Per veure com aquest tipus de reacció es pot descriure pel formalisme de l'operador d'aniquilació i creació, considereu-ho <math>n_{i}</math> partícules en un lloc {{Mvar|i}} en una xarxa unidimensional. Cada partícula es mou cap a la dreta o cap a l'esquerra amb una certa probabilitat, i cada parell de partícules del mateix lloc s'aniquila mútuament amb una altra probabilitat determinada.

== Operadors de creació i aniquilació en teories quàntiques de camps ==
En [[Teoria quàntica de camps|teories de camp quàntics]] i [[Problema de molts cossos|problemes de molts cossos]] es treballa amb operadors de creació i aniquilació d'estats quàntics, <math>a^\dagger_i</math> i <math>a^{\,}_i</math>. Aquests operadors canvien els valors propis de l'[[Operador de números|operador numèric]],

<math display="block">N = \sum_i n_i = \sum_i a^\dagger_i a^{\,}_i,</math> per un, en analogia amb l'oscil·lador harmònic. Els índexs (com ara <math>i</math> ) representen [[Nombre quàntic|nombres quàntics]] que etiqueten els estats d'una sola partícula del sistema; per tant, no són necessàriament números únics. Per exemple, una [[N-pla|tupla]] de nombres quàntics <math>(n, \ell, m, s)</math> s'utilitza per etiquetar estats en l'[[proti|àtom d'hidrogen]].<ref>{{Ref-web|url=https://quantum.phys.cmu.edu/qm2/qmc171.pdf|títol=Creation and Annihilation Operators|consulta=25-7-2024|llengua=anglès}}</ref>

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Mecànica quàntica]]