Mostra la font per a Polinomis de Touchard

Els ''' Polinomis de Touchard ''' (en honor de [[Jacques Touchard]]), sovint també anomenats ''' polinomis exponencials ''' comprenen una [[seqüències polinomials|seqüència polinomial]] de [[tipus binomial]] definida per:

:<math>T_n(x)=\sum_{k=1}^n S(n,k)x^k=\sum_{k=1}^n
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}x^k</math>

On '' S (n, k) '' correspon a un [[nombres de Stirling|nombre de Stirling de segona espècie]], és a dir, el nombre de [[partició (matemàtica)|particions]] d'un conjunt de '' n '' elements en '' k '' subconjunts no buits. I La segona notació, que inclou l'ús de claus, va ser introduïda per [[Donald Knuth]].

Avaluant en 1 l{{'}}''n-èsim'' polinomi de Touchard obtenim l{{'}}''n-èsim'' [[nombres de Bell|nombre de Bell]], és a dir, el nombre de particions d'un conjunt d'''n'' elements:

: <math> T_n (1) = B_n </math>

Si '' X '' és una [[variable aleatòria]] amb una [[distribució de Poisson]] i un nombre esperat d'ocurrències λ, llavors el seu '' n-èsim '' moment és '' T '' <sub> '' n '' </sub> (λ) = E ('' X '' <sup> '' n '' </sup>). Usant aquest fet es pot provar fàcilment que aquesta seqüència polinomial és de tipus binomial, és a dir, satisfà la seqüència d'identitats:

: <math> T_n (\lambda+\mu) = \sum_{k = 0}^n{n \choose k}T_k (\lambda) T_{nk}(\mu). </math>

Els polinomis de Touchard constitueixen l'única seqüència polinomial de tipus binomial en la qual el coeficient del terme de primer grau de cada polinomi és 1.

Els polinomis de Touchard satisfan la relació recursiva:

: <math> T_{n+1}(x) = x \sum_{k = 0}^n{n \choose k}T_k (x). </math>

Si '' x '' = 1, l'expressió es redueix a la fórmula recursiva dels [[nombre de Bell|nombres de Bell]].

La [[funció generatriu]] dels polinomis Touchard és:
:<math>\sum_{n=0}^\infty {T_n(x) \over n!} t^n=e^{x\left(e^t-1\right)}.</math>

[[Categoria:Polinomis|Touchard]]