Mostra la font per a Potencials de Liénard–Wiechert

{{electromagnetisme|secció=[[Electrodinàmica clàssica]]}}
Els '''potencials de Liénard-Wiechert''' descriuen l'efecte del moviment d'una càrrega elèctrica puntual en termes d'un vector potencial i un potencial escalar segons l'electromagnètica clàssica. Construït directament a partir de les [[equacions de Maxwell]], aquests potencials descriuen completament, de manera relativista correcta, la variable en el temps del [[camp electromagnètic]] per a una [[càrrega puntual]] en moviment arbitrari, però no estan corregits pels efectes de la [[mecànica quàntica]]. A partir d'aquests potencials es pot obtenir la radiació electromagnètica en forma d'[[ona|ones]]. Une nouvelle étude a récemment été publiée dans laquelle une méthode analytique directe est proposée pour résoudre les équations de Maxwell.

Aquestes expressions van ser desenvolupades en part per [[Alfred Marie-Liénard]] el 1898 i de forma independent per [[Emil Wiechert]] el 1900<ref>Emil Wiechert. http://verplant.org/history-geophysics/Wiechert.htm</ref> per seguir desenvolupant-le els anys següents. Els '''potencials Liénard-Wiechert''' es poden [[renormalització|renormalitzar]] segons la [[teoria de gauge]]. Une nouvelle étude a récemment été publiée dans laquelle une méthode analytique directe est proposée pour résoudre les équations de Maxwell.<ref>{{Ref-web|títol=On the direct solution of Maxwell’s equations for electromagnetic waves|url=https://fondationlouisdebroglie.org/AFLB-472/aflb472m972.htm|consulta=2023-10-09|llengua=anglès|cognom=Eddy L. Molina.}}</ref>

== Conseqüències ==
L'estudi de l'[[electrodinàmica clàssica]] té un paper decisiu en el desenvolupament de la [[teoria de la relativitat]] per part d'[[Albert Einstein]]. L'anàlisi del [[moviment]] i propagació de les ones electromagnètiques va portar a la [[relativitat especial|teoría de la relativitat especial]] poder descriure l'espai i el temps. La formulació Liénard-Wiechert és important per desenvolupar una anàlisi més complexa de partícules relativistes en moviment.

La descripció dels '''potencials de Liénard-Wiechert''' és exacta per una partícula gran, independentment del moviment de la partícula, però no ofereix les respostes adequades a nivell quàntic.

La [[mecànica quàntica]] estableix restriccions importants sobre la capacitat d'emetre radiació d'una partícula. La formulació clàssica, tal com descriuen aquestes equacions, viola els fenòmens observats experimentalment. Per exemple, un electró al voltant d'un àtom no emet radiació en el patró predit per aquestes equacions clàssiques. En el seu lloc, es regeix pels principis quantificats pel que fa al seu estat d'energia. En les últimes dècades del {{segle|XX}}, l'electrodinàmica quàntica va ajudar a definir el comportament irradiant amb les restriccions quàntiques.

== Límit de velocitat universal ==
La força sobre una partícula en una posició donada '''r''' i el temps '''t''' depèn d'una manera complicada de la posició de les partícules de font en un moment anterior '''t<sub>r</sub>''' a causa de la velocitat finita '''c''' a la qual es propaguen les ones electromagnètiques. Una partícula a la Terra "veu" l'acceleració d'una partícula carregada a la Lluna 1,5 després i l'acceleració d'una partícula carregada en el Sol amb 500 segons de retard. La diferència de temps en observar un fenomen des del moment que es produeix s'anomena el temps retardat, '''t<sub>r</sub>'''. El temps de retard pot ser calculat com:

:<math>t_r=t-\frac{R(t_r)}{c}</math>

on '''R(t<sub>r</sub>)''' és la distància de la partícula a la font en el temps retardat. Només els efectes d'ones electromagnètiques depenen per complet del temps retardat.

Una nova característica en el potencial Liénard-Wiechert es veu en la ruptura dels seus termes en dos tipus de condicions de camp, només un dels quals depèn completament del temps retardat. El primer d'aquests és el condició d'un camp elèctric estàtic, i només depèn de la distància a la càrrega en moviment. L'altre terme és dinàmic, ja que requereix que la càrrega en moviment s'acceleri amb una component perpendicular a la línia que uneix la càrrega i l'observador. Aquesta segona condició està relacionada amb la radiació electromagnètica.

<!--La primera condició descriu el camp proper dels efectes de la càrrega, i la seva direcció en l'espai s'actualitza amb un terme que corregeix qualsevol moviment de velocitat constant de la càrrega estàtica respecte al seu camp llunyà, de manera que el camp estàtic distant es troba a una distància de la càrrega, sense [[aberració de la llum]] o la correcció del temps de retard. Aquest terme, que corregeix el temps de retard en la direcció del camp estàtic, és requerit per la invariància de Lorentz. Una càrrega que es mou amb una velocitat constant han d'aparèixer a un observador distant exactament de la mateixa manera que una càrrega estàtica per a un observador en moviment, i en aquest últim cas, la direcció del camp estàtic ha de canviar instantàniament, sense temps de retard. Per tant, els camps estàtics apunten exactament en la posició real de l'objecte, si la seva velocitat no ha canviat amb el temps de retard.

La segona condició, però, que conté informació sobre l'acceleració i un altre comportament únic de la càrrega que no pot ser eliminat per canviar el marc de Lorentz (sistema de referència inercial de l'observador), és totalment dependent de la posició en temps de retard de la font. Per tant, la radiació electromagnètica (descrit per la segona condició) sempre sembla procedir en direcció a la posició de la càrrega de l'emissor amb un temps retardat. Només aquest segon terme descriu la transferència d'informació sobre el comportament de la càrrega, que produeix la transferència (radiació de la càrrega) a la velocitat de la llum. A llargues distàncies (més de diverses longituds d'ona de la radiació), la dependència '''1/R''' d'aquest terme fa que els efectes electromagnètics de camp més potent que els efectes "estàtics" de camp, que es descriuen per '''1/R²''' potencial de la primera condició i així disminueix més ràpidament amb la distància de la càrrega.-->

== Equacions ==
=== Definició de Liénard-Wiechert ===
Els potencials Liénard-Wiechert '''φ''' (Camp escalar de potencial) i '''A''' (Camp vectorial de potencials) són per a una càrrega puntual font '''q''' en la posició '''r<sub>s</sub>''' viatjant amb velocitat '''v<sub>s</sub>''':
:<math>\varphi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|} \right)_{t_r}</math>

i
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0c}{4 \pi} \left(\frac{q \boldsymbol{\beta}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|} \right)_{t_r} = \frac{\boldsymbol{\beta}(t_r)}{c} \varphi(\mathbf{r}, t)</math>

on.
:<math>\boldsymbol{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_s(t)}{c}</math>.

=== Valors corresponents als camps elèctric i magnètic ===
Podem calcular els camps elèctric i magnètic directament dels potencials utilitzant les definicions:

:<math>\mathbf{E} = - \nabla \varphi - \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
i
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>

El càlcul no és trivial i requereix una sèrie de passos. Els camps elèctrics i magnètics són (en una forma no covariant):
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q(\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta})}{\gamma^2 (1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big)}{c(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|} \right)_{t_r}</math>

i
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{q c(\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{n})}{\gamma^2 (1-\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \Big(\mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big) \Big)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|} \right)_{t_r} = \frac{\mathbf{n}(t_r)}{c} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)</math>

on
:<math>\boldsymbol{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_s(t)}{c}</math>,
:<math>\mathbf{n}(t) = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)|}</math>
i
:<math>\gamma(t) = \frac{1}{\sqrt{1 - |\boldsymbol{\beta}(t)|^2}}</math> (el [[factor de Lorentz]]).

Tingueu en compte que el <math>\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}</math> de la primera equació actualitza la direcció del camp cap a la posició instantània de la càrrega, si se segueix movent amb velocitat constant <math>\boldsymbol{c}{\beta}</math>. Aquest terme està connectat amb la part "estàtica" del camp electromagnètic de la càrrega.

El segon terme, el qual està connectat amb la radiació electromagnètica per la càrrega en moviment, requereix una càrrega accelerada <math>\dot{\boldsymbol{\beta}}</math> i si aquesta és zero, el valor d'aquest terme és zero i la càrrega no irradia radiació electromagnètica. Aquest terme requereix que un component de l'acceleració de la càrrega estigui en una direcció transversal a la línia que connecta la càrrega <math>q</math> i l'observador del camp <math>\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)</math>. La direcció del camp associat a aquest terme radiant es retarda respecte a la posició de la càrrega.

== Derivació ==
=== Possibles solucions retardades ===
En el cas que no hi ha límits que envolten les fonts, les solucions retardades per l'escalar i els potencials de vectors (en unitats [[CGS]]) de les equacions d'ones no homogènies amb fonts donades per la càrrega i les densitats de corrent <math>\rho(\mathbf{r}, t)</math> i <math>\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)</math>.

:<math>
\varphi(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left(t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \rho(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'
</math>

i
:<math>
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left(t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathbf{J}(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'
</math>

on
:<math>\delta \left(t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t \right)</math>
és una funció delta de Dirac. Per a una càrrega puntual en moviment en <math>\mathbf{r}_0(t')</math> viatjant amb velocitat <math>\mathbf{v}_0(t')</math>, la càrrega i les densitats de corrent són

:<math>
\rho(\mathbf{r}', t') = q \delta \big(\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \big)
</math>

:<math>
\mathbf{J}(\mathbf{r}', t') = q \mathbf{v}_0(t') \delta \big(\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t') \big)
</math>

i les possibles solucions retardades simplifiquen els potencials Liénard-Wiechert.

== Vegeu també ==
* Les [[equacions de Maxwell]] de l'electromagnetisme clàssic
* [[Electromagnetisme clàssic]], la teoria més àmplia al voltant d'aquesta anàlisi
* [[Electromagnetisme relativista]]
* La [[relativitat especial]], que va ser una conseqüència directa d'aquestes anàlisis
* [[Fórmula de Rydberg]] per a la descripció quàntica de la radiació electromagnètica a causa dels electrons en els orbitals atòmics
* [[Equacions de Jefimenko]]
* [[Fórmula de Larmor]]
* [[Força d'Abraham-Lorentz]]
* [[Equació de les ones electromagnètiques no homogènies]]
* [[Teoria de l'absorbidor de Wheeler-Feynman]] també coneguda com la teoria del la simetria del temps

== Referències ==
{{Referències}}

{{Autoritat}}

{{ORDENA:Potencials De Lienardwiechert}}
[[Categoria:Electromagnetisme]]