Mostra la font per a Q-anàleg


En [[matemàtiques]], un '''''q''-anàleg''' d'un teorema, identitat o expressió és una generalització que implica un nou paràmetre ''q'' que retorna el teorema, identitat o expressió original en el [[límit]] com a {{Math|''q'' → 1}}. Normalment, els matemàtics estan interessats en els anàlegs ''q'' que sorgeixen de manera natural, en lloc d'inventar arbitràriament anàlegs ''q'' de resultats coneguts. El primer ''q'' -analògic estudiat amb detall és la [[sèrie hipergeomètrica bàsica]], que es va introduir al segle XIX.<ref>{{Ref-web|títol=Q-Analog|url=https://deepai.org/machine-learning-glossary-and-terms/q-analog|data=2019-05-17|consulta=2024-11-10|llengua=anglès}}</ref>

Els analògics ''q'' s'estudien amb més freqüència en els camps matemàtics de [[Combinatòria|la combinatòria]] i [[Funció especial|les funcions especials]]. En aquests paràmetres, el límit {{Math|''q'' → 1}} és sovint formal, ja que {{Mvar|q}} sovint té valors discrets (per exemple, pot representar una [[Prime power|potència primer]]). ''Els q'' -analògics troben aplicacions en diverses àrees, incloent l'estudi de [[Fractal|fractals]] i [[Multi-fractal measure|mesures multifractals]], i expressions per a l'[[entropia]] de [[Sistema dinàmic|sistemes dinàmics]] caòtics. La relació amb els fractals i els sistemes dinàmics resulta del fet que molts patrons fractals tenen les simetries dels [[grup fuchsià|grups fucsians]] en general (vegeu, per exemple, [[Indra's Pearls (book)|les perles d'Indra]] i la [[Tamís d'Apol·loni|junta apol·línica]]) i el [[grup modular]] en particular. La connexió passa per [[Geometria hiperbòlica|la geometria hiperbòlica]] i [[Teoria ergòdica|la teoria ergòdica]], on les [[Integral el·líptica|integrals el·líptiques]] i [[Forma modular|les formes modulars]] tenen un paper destacat; les [[Símbol q-Pochhammer|sèries ''q'']] estan estretament relacionades amb les integrals el·líptiques.

Els anàlegs ''q'' també apareixen en l'estudi dels [[Grup quàntic|grups quàntics]] i en [[Superàlgebra|les superàlgebres]] ''q''-deformades. La connexió aquí és similar, ja que gran part de [[Teoria de cordes|la teoria de cordes]] s'estableix en el llenguatge de [[Superfície de Riemann|les superfícies de Riemann]], donant lloc a connexions a [[Corba el·líptica|corbes el·líptiques]], que al seu torn es relacionen amb la sèrie ''q''.

== Teoria ''q'' "clàssica". ==
La teoria ''q'' clàssica comença amb els anàlegs ''q'' dels nombres enters no negatius.<ref name="Ernst2003">{{Ref-publicació|cognom=Ernst|nom=Thomas|any=2003|publicació=Journal of Nonlinear Mathematical Physics|volum=10|exemplar=4|pàgines=487–525|doi=10.2991/jnmp.2003.10.4.5|url=http://www.solnaschack.org/ernst/ernst_10-4cor.pdf|consulta=2011-07-27|bibcode=2003JNMP...10..487E|dataaccés=free}}</ref> La igualtat

<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n</math>

suggereix que definim l'analògic ''q'' de ''n'', també conegut com a '''parèntesi ''q''''' o '''nombre ''q''''' de ''n'', com a

<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.</math>

Per si mateixa, l'elecció d'aquest ''q'' -analògic particular entre les moltes opcions possibles no és motivada. Tanmateix, apareix de manera natural en diversos contextos. Per exemple, havent decidit utilitzar [ ''n'' ] <sub>''q''</sub> com a ''q'' -analògic de ''n'', es pot definir el ''q''-analògic del [[factorial]], conegut com a [[Símbol q-Pochhammer|''q''-factorial]], per

<math>
\begin{align}
\, [n]_q! & =[1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\[6pt]
& =\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\[6pt]
& =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).
\end{align}
</math>

Aquest ''q'' -analògic apareix naturalment en diversos contextos. Notablement, mentre que ''n'' ! compta el nombre de [[Permutació|permutacions]] de longitud ''n'', [''n'']<sub>''q''</sub> ! compta les permutacions mentre fa un seguiment del nombre d'[[inversió|inversions]]. És a dir, si inv( ''w'' ) denota el nombre d'inversions de la permutació ''w'' i ''S<sub>n</sub>'' indica el conjunt de permutacions de longitud ''n'', tenim

<math> \sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .</math>

En particular, es recupera el factorial habitual prenent el límit com <math>q\rightarrow 1</math>.

El factor ''q'' també té una definició concisa en termes del [[Símbol q-Pochhammer|símbol ''q''-Pochhammer]], un element bàsic de totes les teories ''q'' :

<math>[n]_q!=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>

A partir dels ''q'' -factorials, es pot passar a definir els '''''q''-coeficients binomials''', també coneguts com a coeficients gaussians, polinomis gaussians o [[Gaussian binomial coefficient|coeficients binomials gaussians]] :

<math>
\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.
</math>

L'[[Q-exponential|exponencial ''q'']] es defineix com a:

<math>e_q(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.</math>

En aquest context s'han definit les funcions ''q''-trigonomètriques, juntament amb una transformada ''q''-Fourier.<ref>{{Ref-web|títol=q-Analog|url=https://mathworld.wolfram.com/q-Analog.html|consulta=2024-11-10|llengua=en|nom=Eric W.|cognom=Weisstein}}</ref>

== Aplicacions a les ciències físiques ==
Els anàlegs ''q'' es troben sovint en solucions exactes de problemes de molts cossos. En aquests casos, el límit {{Math|''q'' → 1}} normalment correspon a dinàmiques relativament simples, per exemple, sense interaccions no lineals, mentre que {{Math|''q'' < 1}} dóna una visió del complex règim no lineal amb retroalimentació.

Un exemple de la física atòmica és el model de creació de condensat molecular a partir d'un gas atòmic fermiònic ultra fred durant un escombrat d'un camp magnètic extern a través de la [[Feshbach resonance|ressonància de Feshbach]].<ref name="sun-16pra2">{{Ref-publicació|doi=10.1103/PhysRevA.94.033808|cognom=C. Sun|cognom2=N. A. Sinitsyn|publicació=[[Phys. Rev. A]]|volum=94|exemplar=3|any=2016|pàgines=033808|bibcode=2016PhRvA..94c3808S|arxiv=1606.08430}}</ref> Aquest procés es descriu mitjançant un model amb una versió ''q'' -deformada de l'àlgebra SU(2) d'operadors, i la seva solució es descriu mitjançant distribucions binomials i exponencials ''q'' -deformades.

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Matemàtiques]]