Mostra la font per a Quadratura (geometria)

[[Fitxer:Squaring the circle.svg|miniatura|Quadratura del cercle: el cercle i el quadrat tenen la mateixa àrea]]
En [[matemàtiques]], la '''quadratura''' d'una superfície consisteix a buscar-ne l'àrea. Històricament, consistia a buscar un [[Quadrat (polígon)|quadrat]] que tingui la mateixa superfície que la figura original. Els problemes de quadratura eren l'origen de problemes per al desenvolupament del [[Càlcul infinitesimal|càlcul]], i introdueixen conceptes importants de l'[[anàlisi matemàtica]]. En l'inici de la [[història de les matemàtiques]], el problema de quadratura més difícil era la [[quadratura del cercle]], que aviat es va veure impossible fent servir [[construccions amb regle i compàs]]. Fins al final del {{segle|XVII}}, el càlcul integral no estava desenvolupat, i els càlculs de les àrees de figures geometriques implicaven la utilització de mètodes d'aproximació, com el [[mètode d'exhaustió]] d'[[Arquímedes]] o el [[Principi de Cavalieri|mètode dels indivisibles]] de [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]].

La recerca de quadratures va fer un salt endavant (1669-1704) gràcies a [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] i [[Isaac Newton|Newton]] qui, amb el desenvolupament del [[càlcul infinitesimal]], van trobar la relació entre quadratura i [[derivada]].

Posteriorment, es va vincular la recerca de les quadratures a la de les primitives: l'àrea de la superfície delimitada per les rectes {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} i {{nowrap|1=''x'' = ''b''}}, l'eix ''Ox'' i la corba d'equació {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, on ''f'' és una funció positiva, ve donada per <math>\int_a^b f(x) \mathrm dx</math>.

== Història ==
[[Fitxer:Geometric mean.svg|miniatura|Mètode per trobar la [[mitjana geomètrica]]]]
Els [[Matemàtiques de l'antiga Grècia|matemàtics de l'antiga Grècia]], d'acord amb la doctrina [[Pitagòrics|pitagòrica]], entenien el problema de determinar l'[[àrea]] d'una figura com el procés de construir geomètricament un [[Quadrat (polígon)|quadrat]] que tingués la mateixa àrea, i d'aquí ve el nom de ''quadratura''. Els geòmetres grecs no sempre ho aconseguien, però van realitzar quadratures d'algunes figures que no eren simplement segments de recta, com la [[Quadratura de la lúnula|lúnula d'Hipòcrates]] o la [[#Quadratura de la paràbola|quadratura de la paràbola]]. Segons la tradició grega, aquestes construccions havien de ser possibles fent servir només [[Construcció amb regle i compàs|regle i compàs]].

Per a la quadratura d'un [[rectangle]] amb costats de longituds ''a'' i ''b'' és necessari construir un quadrat amb un costat de longitud <math>x =\sqrt {ab}</math> (la [[mitjana geomètrica]] d{{'}}''a'' i ''b''). Per aconseguir-ho, es pot seguir el següent procediment: si es dibuixa una circumferència amb un diàmetre igual a la concatenació dels segments de recta de longituds ''a'' i ''b'', llavors l'altura (''BH'' en el diagrama) del segment perpendicular al diàmetre, i amb origen al punt de connexió dels segments ''a'' i ''b'', i que talla la circumferència, és la mitjana geomètrica d{{'}}''a'' i ''b''. Una construcció similar resol el problema de quadratura d'un paral·lelogram i d'un triangle.

[[Fitxer:Parabola and inscribed triangle.svg|miniatura|L'àrea d'un segment de paràbola equival a 4/3 de l'àrea d'un cert triangle inscrit.]]
Els problemes de quadratura de figures curvilínies són força més difícils. La quadratura del cercle amb regle i compàs es va demostrar impossible al {{segle|XIX}}. Tot i això, per a algunes figures (com una lúnula d'Hipòcrates) sí que es pot realitzar una quadratura. Les quadratures de la superfície d'una esfera i d'un segment de [[paràbola]] descobertes per [[Arquímedes]] foren la major troballa de l'anàlisi a l'antiguitat.
* L'àrea de la superfície d'una esfera és igual a 4 vegades l'àrea del cercle format per un [[cercle màxim]] d'aquesta esfera.
* L'àrea d'un segment de paràbola determinar per una recta que la talla és 4/3 l'àrea d'un triangle inscrit en aquest segment.
Per a la demostració d'aquests resultats, Arquímedes va emprar el [[mètode d'exhaustió]]{{sfn|Katz|1998|p=113}} d'[[Èudox de Cnidos|Èudox]].

En l'Europa medieval, trobar una quadratura significava calcular una àrea mitjançant qualsevol mètode. El mètode més utilitzat fou el [[principi de Cavalieri]]; era menys rigorós que les construccions geomètriques dels grecs, però era més simple i potent. Amb l'ajuda d'aquest mètode, [[Galileo Galilei]] i [[Gilles de Roberval]] van trobar l'àrea d'un arc de [[cicloide]], [[Grégoire de Saint-Vincent]] va investigar l'àrea sota una [[hipèrbola]] (''Opus Geometricum'', 1647),{{sfn|Katz|1998|p=491}} i [[Alfonso Antonio de Sarasa]], un alumne i comentador de de Saint-Vincent, va notar la relació d'aquesta àrea amb els [[logaritme]]s.{{sfn|Katz|1998|p=492}}<ref>{{ref-llibre|nom=Enrique A.|cognom=Gonzales-Velasco|any=2011|títol=Journey through Mathematics|capítol=2.4 Hyperbolic Logarithms|pàgina=117|doi=10.1007/978-0-387-92154-9|isbn=978-1-4899-8842-3|editorial=Springer Verlag|lloc=Nova York}}</ref>

[[John Wallis]] va dotar aquest mètode d'una base algebraica; va escriure en la seva obra ''Arithmetica Infinitorum'' (1656) algunes sèries que són equivalents al que actualment coneixem com [[Integració|integral definida]], i va calcular-ne els valors. [[Isaac Barrow]] i [[James Gregory]] van fer més progressos: quadratures per a algunes [[Corba algebraica|corbes algebraiques]] i [[espiral]]s. [[Christiaan Huygens]] va trobar quadratures per a alguns [[Sòlid de revolució|sòlids de revolució]].

La quadratura de la hipèrbola de de Saint-Vincent i de Sarasa va proporcionar una nova [[funció]], el [[logaritme natural]], d'una importància enorme. Amb la invenció del [[càlcul integral]] va arribar un mètode universal per al càlcul d'àrees. En resposta a això, el terme ''quadratura'' ha esdevingut tradicional.

== Quadratures notables ==
=== Quadratura del cercle ===
{{article principal|Quadratura del cercle}}
Aquest és un problema proposat per l'[[Pitagòrics|escola de Pitàgores]] fa més de 2.000 anys: mitjançant [[Construcció amb regle i compàs|regle i compàs]], es pot construir un quadrat que tingui la mateixa àrea que un cercle donat? La resposta a aquesta qüestió es va trobar 19 segles després, gràcies a [[Pierre Wantzel]], [[Joseph Liouville]] i [[Ferdinand von Lindemann]]: la resposta és no. El càlcul de l'àrea d'un disc de radi ''r'' és ''πr''². Però el quadrat que caldria construir tindria un costat de longitud ''r''{{arrel|π}}, construcció que és impossible amb regle i compàs, ja que ''π'' no és un [[nombre algebraic]].

=== Quadratura de la paràbola ===
[[Fitxer:PascalQuadrature.svg|miniatura|Quadratura d'un segment de paràbola per descomposició en intervals regulars]]
La paràbola no és una superfície. La quadratura de la paràbola consisteix a determinar l'àrea de la superfície compresa entre una corda i un segment de paràbola.

Aquest problema fou resolt per [[Arquímedes]]. Fou el primer exemple de càlcul d'àrees pel [[mètode d'exhaustió]], on l'error comès disminueix més d'un 50% en cada etapa. El resultat és conegut actualment gràcies al càlcul de la seva primitiva:
* L'àrea sota la corba d'equació <math>y = x^2</math> entre els punts ''a'' i ''b'' és <math>b^3 - a^3 \over 3</math>.
* L'àrea sota la corda corresponent és <math>(b-a)(b^2 + a^2) \over 2</math>.
* L'àrea delimitada per aquesta paràbola i la corda és <math>\frac{(b - a)(a^2+b^2-2ab)}{6}</math>.
* Si ''a'' i ''b'' són oposats, llavors l'àrea delimitada per la paràbola i la corda és <math>\frac {2}{3} b\times b^2</math>.
* Aquesta fórmula es pot generalitzar a qualsevol paràbola d'equació <math>y = kx^2</math>: l'àrea és <math>\frac {2}{3} b\times f(b)</math>.

=== Quadratura de funcions de la forma ''kx<sup>m</sup>'' ===
Es tracta de calcular l'àrea de la regió compresa entre l'eix de les ''x'', la corba i la recta d'equació {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} (per {{nowrap|''m'' > 0}}, o bé l'àrea de la regió compresa entre l'eix de les ''x'', la corba, i situada a la dreta de la recta {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} (per {{nowrap|''m'' ≤ -2}}).

[[Pierre de Fermat|Fermat]] va resoldre la seva quadratura per a tot enter ''m'' diferent de -1, així com per a tot ''m'' racional positiu. Va demostrar que aquesta àrea és igual a <math>\frac{a^{m+1}}{m+1}</math>.

=== Quadratura de la cicloide ===
La [[cicloide]] és una corba estudiada particularment per [[Galileo Galilei|Galileu]] (1599). Diversos matemàtics han intentat calcular l'àrea que hi ha sota un arc de cicloide. De fet, Galileu va provar de calcular-ne l'àrea retallant-ne un model i pesant-lo. La quadratura de la cicloide va ser resolta quasi simultàniament per [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]] (1634) i [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], que van demostrar que l'àrea sota un arc de cicloide és igual a 3 vegades àrea de la circumferència que la genera.

=== Quadratura de la hipèrbola ''y'' = 1/''x'' ===
Es tracta de calcular l'àrea compresa entre la corba, l'eix de les abscisses i les rectes d'equacions {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} i {{nowrap|1=''x'' = 1}}. La quadratura de la hipèrbola fou descoberta per [[Grégoire de Saint-Vincent]] l'any 1647, el qual va posar en relleu la propietat ''L''(''ab'') = ''L''(''a'') + ''L''(''b''), on ''L''(''a'') és l'àrea compresa entre 1 i ''a'', i on l'àrea pren valors dins de la família de les funcions [[logaritme]]. Aquest resultat és una conseqüència de la definició de la funció [[logaritme neperià]].

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre|cognom=Boyer|nom=C. B.|any=1989|títol=A History of Mathematics|edició=2a edició, revisada per Uta C. Merzbach|lloc=Nova York|editorial=Wiley|isbn=0-471-09763-2}}
* {{ref-llibre|cognom=Eves|nom=Howard|any=1990|títol=An Introduction to the History of Mathematics|editorial=Saunders|isbn=0-03-029558-0}}
* {{citar ref |nom=Christiaan|cognom=Huygens|any=1651|títol=Theoremata de Quadratura Hyperboles, Ellipsis et Circuli|enllaçautor=Christiaan Huygens}}
* {{ref-llibre|cognom=Katz|nom=Victor J.|títol=A History of Mathematics: An Introduction|edició=2a edició|editorial=Addison Wesley Longman|any=1998|isbn=0321016181}}
* {{citar ref |nom=Jean-Etienne|cognom=Montucla|any=1873|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433069092124;view=1up;seq=19|títol=History of the Quadrature of the Circle|coautors=J. Babin translator, William Alexander Myers editor|editor=[[HathiTrust]]|enllaçautor=Jean-Etienne Montucla}}
* {{citar ref |nom=Christoph|cognom=Scriba|enllaçautor=Christoph Scriba|any=1983|títol=Gregory's Converging Double Sequence: a new look at the controversy between Huygens and Gregory over the 'analytical' quadrature of the circle"|publicació=[[Historia Mathematica]]|volum=10|pàgines=274–85}}

== Vegeu també ==
* [[Integració numèrica]]
* [[Mètode de Romberg]]
* [[Quadratura de Gauss]]

{{Viccionari-lateral|quadratura}}

[[Categoria:Càlcul integral]]
[[Categoria:Història de les matemàtiques]]