Mostra la font per a Radi de Schwarzschild

[[Fitxer:Black hole details.svg|miniatura|Radi de Schwarzschild a un forat negre.]]
El '''radi de Schwarzschild''' és el [[radi (geometria)|radi]] mínim que ha de tenir un [[astre]] per tal que la [[llum]] pugui escapar de la seva superfície vers l'[[espai exterior]].<ref name="gec">{{GEC |0061480|Radi de Schwarzschild|consulta= 16 desembre 2021}}</ref> Per sota d'aquest límit la [[força gravitatòria]] entre les seves partícules causaran un col·lapse gravitacional irreversible, seria el final del [[estel]]s més massius que esdevenen un [[forat negre]].<ref name="brit">{{ref-web|url=https://www.britannica.com/science/Schwarzschild-radius |títol=Schwarzschild radius |consulta=16 desembre 2021 |obra= Encyclopædia Britannica|editor= Encyclopædia Britannica, Inc.|llengua= anglès}}</ref>

El radi de Schwarzschild correspon a l'[[Horitzó d'esdeveniments|horitzó dels esdeveniments]] d'un objecte col·lapsat de massa <math>M</math> esfèricament simètric i sense rotació. És el radi d'un forat negre esfèric i estàtic per al qual el [[desplaçament cap al roig]] dels [[Fotó|fotons]] es fa infinit.<ref>{{Ref-web|títol=radi de Schwarzschild - Diccionari de física {{!}} TERMCAT|url=https://www.termcat.cat/ca/diccionaris-en-linia/149/fitxa/Mjg5Njc4Mw==|consulta=2023-08-28}}</ref>

El físic alemany [[Karl Schwarzschild]] treballà per a trobar una solució a les [[equacions de camp d'Einstein]], per obtenir una solució a la curvatura de l'[[espaitemps]], al voltant d'una massa puntual. Després l'aplicà al cas d'una massa esfèrica, trobant que hi havia un radi on hi havia una [[Singularitat gravitatòria|singularitat]], una distància on alguns dels valors que descriuen el camp gravitatori esdevenen infinits.{{sfn|Kutner|2003|p=148}} Aquest radi, avui dia conegut com a radi de Schwarzschild <math>R_S</math>, és expressat per la següent [[equació]]:<ref name="gec" /><math display="block">
R_S = \frac{2GM}{c^2}
</math>on:
* <math>M</math> és la massa de l'objecte.
* <math>G</math> és la [[constant de la gravitació]].
* <math>c</math> és la [[velocitat de la llum]].

== Història ==
[[Fitxer:Karl schwarzschild.portrait.jpg|miniatura|[[Karl Schwarzschild]].]]
La teoria de la [[relativitat general]] fou enunciada l'any 1915 per [[Albert Einstein]] (1879-1955). El 25 de novembre del 1915 publicà l'article ''Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Realtivitätstheorie'' (Explicació del moviment del periheli de Mercuri a partir de la teoria general de la relativitat) on feia dos càlculs aproximats del moviment del [[periheli]] de [[Mercuri (planeta)|Mercuri]] com a confirmació de la validesa de la relativitat general.{{sfn|Vankov|2010|p=4}} El 22 de desembre de 1915, Karl Schwarzschild (1873-1916) li envià una carta molt crítica on hi exposava els seus propis càlculs amb la que considerava la solució exacta.{{sfn|Vankov|2010|p=1-2}}{{sfn|Vankov|2010|p=13}}[[Fitxer:Schwarzschild1916b.djvu|miniatura|''Über das Gravitations-feld einer Kugel aus incompressiebler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie'' (Sobre el camp gravitatori d'una esfera de líquid incompressible segons la teoria d'Einstein).]]El gener de 1916, Schwarzschild, publicà l'article ''Über das Gravitations-feld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie'' (Sobre el [[camp gravitatori]] d'una massa puntual segons la teoria d'Einstein) a la revista ''Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften'' (Actes de la Reial Acadèmia Prussiana de Ciències) on formulava la seva solució ''exacta'' al problema del [[periheli]] de [[Mercuri (planeta)|Mercuri]] que havia avançat per carta a Einstein.<ref>{{ref-publicació |cognom=Schwarzschild |nom=Karl |article=On the Gravitational Field of a Point-Mass, According to Einstein’s Theory | publicació=The Abraham Zelmanov Journal. The journal for General Relativity, Gravitation and Cosmology |volum=Volum 1 |data=2008|url=http://zelmanov.ptep-online.com/zj-2008.pdf |issn=1654-9163|pàgina=10}}</ref> Einstein respongué per carta lloant la seva solució i les matemàtiques que havia utilitzat.<ref>{{ref-publicació |cognom=Suhendro |nom=Indranu |article=Biography of K. Schwarzschild | publicació=The Abraham Zelmanov Journal. The journal for General Relativity, Gravitation and Cosmology |volum=Volum 1 |data=2008|url=http://zelmanov.ptep-online.com/zj-2008.pdf |issn=1654-9163|pàgines=xiv-xix}}</ref> La [[mètrica de Schwarzschild]] és l'equivalent en relativitat general al [[Energia potencial|potencial gravitatori]] de la [[Llei de la gravitació universal|teoria de la gravitació universal]] del físic anglès [[Isaac Newton]] (1642-1727).<ref>Bouchet F. Audoly B. Sepulchre J.-A. & World Scientific (Firm). (2013). ''Peyresq lectures on nonlinear phenomena. vol. 3''. World Scientific Pub. Retrieved August 28 2023 from <nowiki>{{format ref}} http://public.ebookcentral.proquest.com/choice/publicfullrecord.aspx?p=1126844</nowiki>.</ref>
El febrer de 1916, publicà l'article ''Über das Gravitations-feld einer Kugel aus incompressiebler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie'' (Sobre el camp gravitatori d'una esfera de líquid incompressible segons la teoria d'Einstein) a la revista ''Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften'', on aplicà la mètrica exposada al seu article anterior, sobre el camp gravitatori produït per una massa puntual, a una esfera de [[fluid incompressible]] i formulà les condicions físiques de la degradació d'aquest camp.<ref>{{ref-publicació |cognom=Schwarzschild |nom=Karl |article=On the Gravitational Field of a Sphere of Incompressible Liquid, According to Einstein’s Theory| publicació=The Abraham Zelmanov Journal. The journal for General Relativity, Gravitation and Cosmology |volum=Volum 1 |data=2008|url=http://zelmanov.ptep-online.com/zj-2008.pdf |issn=1654-9163|pàgines=20-32}}</ref> Schwarzschild moriria pocs mesos més tard, el maig de 1916.

Els treballs esmentats foren escrits a [[Rússia]], on Schwarzschild servia a l'[[Exèrcit Imperial Alemany|exèrcit alemany]] en el context de la [[Primera Guerra Mundial]]. El primer conté una solució exacta de les equacions de camp d'Einstein, la [[mètrica de Schwarzschild]], i el segon, derivat del primer, conté la descripció del que més tard es coneixeria com a radi de Schwarzschild.{{sfn|Schwarzschild|Voigt|1992|p=23}}

== El radi de Schwarzschild i els forats negres ==
Durant molt de temps el radi de Schwarzschild no fou més que una curiositat matemàtica de la [[mètrica de Schwarzschild]], però durant la [[dècada del 1960]] això canvià amb el desenvolupament de les idees de l'[[evolució estel·lar]], el [[col·lapse gravitatori]] d'alguns tipus d'[[estel]]s i els [[Forat negre|forats negres]].

El radi de Schwarzschild té un paper molt important en l'estudi dels [[Forat negre|forats negres]], un objecte celeste esdevindrà un forat negre si es contrau prou perquè el seu radi quedi per sota del seu radi de Schwarzschild.{{sfn|Lambourn|2010|p=153}} Quan el radi d'un objecte és superior al seu radi de Schwarzschild la [[llum]] pot sortir de la seva superfície perquè la seva velocitat serà superior a la [[velocitat d'escapament]] de l'objecte. En canvi, si el radi de l'objecte és menor que el seu radi de Schwarzschild, el seu [[horitzó d'esdeveniments]], la velocitat de la llum serà menor que la velocitat d'escapament de l'objecte i la llum no podrà sortir.{{sfn|Young|Freedman|2020|p=445}}

Coneixent la [[massa]] d'un objecte, en podem calcular el seu radi de Schwarzschild atès que ja coneixem el valor de la constant de la gravitació i de la velocitat de la llum. En el cas del [[Sol]], un [[estel]] amb una massa <math>M</math> d'uns 1,988 5×10<sup>3</sup> [[Quilogram|kg]]<ref>{{ref-web|url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/sunfact.html |títol=Sun Fact Sheet |consulta=25 desembre 2021 |obra= [[NASA]] |data=23 febrer 2018 |llengua=anglès}}</ref> tenim:{{sfn|Ryder|2009|p=149}}

<math display="block">
R_{S\odot} = \frac{2GM}{c^2} = \frac {2 \times \left(6,674 \,08 \times 10^{-11} {\ \mbox{m}^3 }{\ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}}\right) \times \left(1,988 \,5 \times 10^{30}{\ \mbox{kg}} \right)}{\left(299 \, 792 \, 458 {\ \mbox{m}}/{\ \mbox{s}}\right)^2} = 2 \,953,287 {\ \mbox{m}} \approx 3 {\ \mbox{km}}
</math>

El mateix podem fer per a qualsevol objecte, per exemple, en el cas de la [[Terra]], amb una massa d'uns 5,972 37×10<sup>24</sup> kg,<ref>{{ref-web|url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html |títol=Earth Fact Sheet |consulta=25 desembre 2021 |obra=[[NASA]] |data=21 desembre 2021 |llengua=anglès}}</ref> tenim:

<math display="block">
R_{S\oplus} = \frac{2GM}{c^2} = \frac {2 \times \left(6,674 \,08 \times 10^{-11} {\ \mbox{m}^3 }{\ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}}\right) \times \left(5,972 \,37 \times 10^{24}{\ \mbox{kg}} \right)}{\left(299 \,792 \,458 {\ \mbox{m}}/{\ \mbox{s}}\right)^2} = 0,008 \,870 {\ \mbox{m}} \approx 9 {\ \mbox{mm}}
</math>

Cal fer notar que un cop tenim calculat el valor de l'<math>R_S</math> del Sol el podem utilitzar per a simplificar el càlcul del radi d'altres objectes. Si multipliquem el radi de Schwarzschild del Sol, <math>R_{S\odot}</math>, per la massa de l'objecte i ho dividim tot per la massa del Sol <math>\odot</math>, tindrem el mateix resultat que aplicant la fórmula anterior. És a dir:{{sfn|Keeton|2014|p=206}}

<math display="block">
R_S = \frac{2GM_\odot}{c^2} \times {\frac {M}{M_\odot}} = R_{S\odot} \times {\frac {M}{M_\odot}}
</math><math display="block">
R_{S\oplus} = R_{S\odot} \times {\frac {M_\oplus}{M_\odot}} = 2 \, 953,287 {\ \mbox{m}} \times {\frac {\left(5,972 \,37 \times 10^{24}{\ \mbox{kg}} \right)}{\left(1,988 \,5 \times 10^{30}{\ \mbox{kg}} \right)}} = 0,008 \,870 \, m
</math>
[[Fitxer:Black hole - Messier 87 crop max res.jpg|miniatura|Forat negre del centre de la galàxia [[Messier 87]].]]
A principis del {{segle|XX}}, quan Schwarzschild desenvolupà la seva solució a les equacions de la relativitat general, tots els objectes coneguts tenien un radi, <math>r</math>, molt més gran que el seu radi de Schwarzschild, <math>R_S</math>, i es considerà com una curiositat matemàtica, sense cap significat físic. No fou fins que els treballs del físic indi [[Subrahmanyan Chandrasekhar]] (1910-1995) i de l'estatunidenc [[Robert Oppenheimer]] (1904-1967) demostraren que els estels més massius podien patir un [[col·lapse gravitatori]] que els farien esdevenir de la mida del seu radi de Schwarzschild o més petits, que els [[físic]]s començaren a prendre's seriosament les conseqüències que se'n desprenien.{{sfn|Keeton|2014|p=205}}

La idea que hi ha implícita en la [[mètrica de Schwarzschild]], és que la [[velocitat d'escapament]] necessària per a escapar de l'efecte del camp gravitatori d'un objecte hauria de ser més gran que la [[velocitat de la llum]] si el radi de l'objecte és més petit que <math display="inline">\frac{2GM}{c^2}</math>. Per tant, donat que la velocitat de la llum no pot ser superada, un objecte amb un radi inferior hauria de ser negre, perquè no deixa sortir la llum.<ref name="gec" />

La forma habitual de la solució de Schwarzschild, o mètrica de Schwarzschild <math>
g
</math> (o el quadrat de l'element de línia <math>
(ds)^2
</math>), a les equacions de camp d'Einstein fou introduïda un any més tard pel matemàtic alemany [[David Hilbert]] (1862-1943):{{sfn|Lambourn|2010|p=172}}

<math display="block">
g = \left(ds\right)^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) c^2\left(dt\right)^2 - \frac {\left(dr\right)^2}{1 - \frac{2GM}{c^2r}} - r^2\left(d\theta\right)^2 - r^2 sin^2\theta\left(d\phi\right)^2
</math>

On <math>t, r, \theta</math> i <math>\phi</math> són les coordenades de temps, de radi, [[colatitud]] i [[latitud]] respectivament. Unes quantitats mesurables per a un observador. Quan el radi <math>r</math> s'aproxima al radi de Schwarzschild <math>R_S</math>, és a dir a <math display="inline">\frac{2GM}{c^2}</math>, la coordenada de temps desapareix i la coordenada radial divergeix. D'aquí es desprèn que:{{sfn|Keeton|2014|p=205}}

* Si <math>r \gg R_S \rightarrow \frac{R_S}{r} \ll 1 \rightarrow</math> camp gravitatori feble
* Si <math>r \sim R_S \rightarrow \frac{R_S}{r} \sim 1 \rightarrow</math> camp gravitatori fort

Quan el radi <math>r</math> de l'objecte és força més gran que el seu de radi Schwarzschild <math>R_S</math>, llavors el quocient de <math>R_S</math> per <math>r</math> és força més petit que la unitat i el camp gravitatori de l'objecte és feble. Seria el cas de la majoria d'objectes astrofísics que coneixem. D'altra banda, quan el radi <math>r</math> de l'objecte és similar al seu de radi Schwarzschild <math>R_S</math>, llavors el quocient de <math>R_S</math> per <math>r</math> és similar a la unitat i el seu camp gravitatori és fort. Seria el cas dels forats negres.

Els radis de Schwarzschild d'alguns objectes es presenten a continuació.<ref>{{Ref-llibre|títol=Encyclopedia of Distances|url=https://link.springer.com/10.1007/978-3-642-30958-8|editorial=Springer Berlin Heidelberg|data=2013|lloc=Berlin, Heidelberg|isbn=978-3-642-30957-1|doi=10.1007/978-3-642-30958-8|llengua=en|nom=Michel Marie|cognom=Deza|nom2=Elena|cognom2=Deza}}</ref>
{| class="wikitable"
!Objete
!Massa (kg)
!Radi de<br>Schwarzschild (m) 
!Radi real
(m) 
!Densitat de<br>Schwarzschild<br>(kg/m<sup>3</sup>)
|-
|[[Univers observable]]
|8,8×10<sup>52</sup>
|1,3×10<sup>26</sup> (13,7 mil milions d'[[anys-llum]])
|4,4×10<sup>26</sup> (46.500 milions d'anys-llum)
|9,5×10<sup>-27</sup>
|-
|[[Via Làctia]]
|1,6×10<sup>42</sup>
|2,4×10<sup>15</sup> (0,25 anys-llum)
|5×10<sup>20</sup> (52,9 mil anys-llum)
|0,000 029
|-
|[[TON 618]] (major [[forat negre]] conegut)
|1,3×10<sup>41</sup>
|1,9×10<sup>14</sup> (~1300 [[ua]])
|
|0,0045
|-
|[[Forat negre supermassiu]] a [[NGC 4889]]
|4,2×10<sup>40</sup>
|6,2×10<sup>13</sup> (~410 ua)
|
|0,042
|-
|Forat negre supermassiu a [[Messier 87]]
|1,3×10<sup>40</sup>
|1,9×10<sup>13</sup> (~130 ua)
|
|0,44
|-
|Forat negre supermassiu a la [[Galàxia d'Andròmeda]]
|3,4×10<sup>38</sup>
|5,0×10<sup>11</sup> (3,3 ua)
|
|640
|-
|[[Sagitari A]]* (Forat negre supermassiu a la Via Làctia)
|8,2×10<sup>36</sup>
|1,2×10<sup>10</sup> (0,08 ua)
|
|1,1×10<sup>6</sup>
|-
|Sol
|1,99×10<sup>30</sup>
|2,95×10<sup>3</sup>
|7,0×10<sup>8</sup>
|1,84×10<sup>19</sup>
|-
|[[Júpiter (planeta)|Júpiter]]
|1,90×10<sup>27</sup>
|2,82
|7,0×10<sup>7</sup>
|2,02×10<sup>25</sup>
|-
|[[Terra]]
|5,97×10<sup>24</sup>
|0,0887
|6,37×10<sup>6</sup>
|2,04×10<sup>30</sup>
|-
|[[Lluna]]
|7,35×10<sup>22</sup>
|1,09×10<sup>-4</sup>
|1,74×10<sup>6</sup>
|1,35×10<sup>34</sup>
|-
|[[Saturn (planeta)|Saturn]]
|5,683×10<sup>26</sup>
|0,842
|5,82×10<sup>7</sup>
|2,27×10<sup>26</sup>
|-
|[[Urà (planeta)|Urà]]
|8,681×10<sup>25</sup>
|0,129
|2,54×10<sup>7</sup>
|9,68×10<sup>27</sup>
|-
|[[Neptú (planeta)|Neptú]]
|1,024×10<sup>26</sup>
|0,152
|2,46×10<sup>7</sup>
|6,97×10<sup>27</sup>
|-
|[[Mercuri (planeta)|Mercuri]]
|3,285×10<sup>23</sup>
|4,87×10<sup>-4</sup>
|2,44×10<sup>6</sup>
|6,79×10³²
|-
|[[Venus (planeta)|Venus]]
|4,867×10<sup>24</sup>
|7,21×10<sup>-3</sup>
|6,05×10<sup>6</sup>
|3,10×10<sup>30</sup>
|-
|[[Mart (planeta)|Mart]]
|6,39×10<sup>23</sup>
|9,47×10<sup>-4</sup>
|3,39×10<sup>6</sup>
|1,80×10³²
|-
|[[Persona]]
|70
|1,04×10<sup>-25</sup>
|~0,5
|1,49×10<sup>76</sup>
|-
|[[Massa de Planck]]
|2,18×10<sup>-8</sup>
|3,23×10<sup>-35</sup>
|(dues vegades la [[longitud de Planck]])
|1,54×10<sup>95</sup>
|}

== Vegeu també ==
* [[Límit de Chandrasekhar]]
* [[Mètrica de Schwarzschild]]
* [[Mètrica de Kerr]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació |cognom=Vankov |nom=Anatoli Andrei |article=Einstein’s Paper: “Explanation of the Perihelion Motion of Mercury from General Relativity Theory” | publicació=arxiv.org. Cornell University |data=agost 2010|url=https://arxiv.org/pdf/1008.1811 |doi=arXiv:1008.1811v1 [physics.gen-ph]}}
* {{Ref-llibre|cognom=Schwarzschild |nom=Karl |cognom2=Voigt |nom2=Hans-Heinrich |títol= Gesammelte Werke. Collected Works Volume 1 |llengua=alemany i anglès |editorial=Springer-Verlag |any=1992 |isbn=978-3-642-63467-3 |doi=10.1007/978-3-642-58086-4}}
* {{Ref-llibre|cognom=Kutner |nom=Marc Leslie |títol=Astronomy. A physical perspective |llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |any=2003 |isbn=978-0-521-82196-4}}
* {{Ref-llibre|cognom=Lambourn |nom=Robert J. A. |títol=Relativity, gravitation and cosmology |llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |any=2010 |isbn=978-0521131384}}
* {{Ref-llibre|cognom=Young |nom=Hugh D. |cognom2=Freedman |nom2=A. Freedman |títol=University Physics with Modern Physics |llengua=anglès |edició=Quinzena edició |editorial=Pearson Education Limited |any=2020 |isbn=978-1-292-31473-0}}
* {{Ref-llibre|cognom=Ryder |nom=Lewis |títol=Introduction to General Relativity |llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |any=2009 |isbn=978-0-521-84563-2}}
* {{Ref-llibre|cognom=Keeton |nom=Charles |títol=Principles of Astrophysics. Using Gravity and Stellar Physics to Explore the Cosmos |llengua=anglès |editorial=Springer |any=2014 |isbn=978-1-4614-9235-1 |doi=10.1007/978-1-4614-9236-8}}

{{relativitat}}
{{Forats negres}}
{{Autoritat}}

{{ORDENA:Radi De Schwarzschild}}
[[Categoria:Forats negres]]