Mostra la font per a Relacions de Maxwell

{{Vegeu3|les equacions termodinàmiques|les equacions electromagnètiques|Equacions de Maxwell}}
{{Termodinàmica|secció=Equacions}}
Les '''relacions de Maxwell''' són un conjunt d'equacions de la [[termodinàmica]] derivables a partir de les definicions dels [[potencials termodinàmics]]. Estan anomenades en honor del científic del {{segle|XIX}} [[James Clerk Maxwell]].

== Equació ==
Les relacions de Maxwell són igualtats obtingudes a partir de les derivades segones dels potencials termodinàmics. Parteixen del fet que l'ordre de diferenciació d'una [[funció analítica]] de dues variables és irrellevant. Si Φ és un potencial termodinàmic i ''x<sub>i</sub>'' i ''x<sub>j</sub>'' són dues [[Potencial termodinàmic#Variables naturals|variables naturals]] d'aquest potencial, llavors la relació de Maxwell per aquest potencial i aquestes variables és:

{{Equation box 1
|title = '''Relacions de Maxwell''' ''(general)''
|indent =:
|equation = <math>\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x_i}\right)=
\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x_j}\right)
</math>
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

On les [[derivada parcial|derivades parcials]] es prenen amb totes les altres variables naturals com a constants. Es pot veure que per cada potencial termodinàmic hi ha ''n''(''n'' − 1)/2 relacions de Maxwell possibles, on ''n'' és el nombre de variables naturals per aquest potencial.

== Les quatre relacions de Maxwell més conegudes ==
Les quatre relacions de Maxwell més conegudes són les igualtats de les derivades segones de cadascun dels quatre potencials termodinàmics respecte a les seves variables naturals tèrmiques ([[temperatura]] ''T'' o [[entropia]] ''S'') i la seva variable natural "mecànica" ([[pressió]] ''P'' o [[volum (termodinàmica)|volum]] ''V''):

{{Equation box 1
|title = '''Relacions de Maxwell''' ''(comunes)''
|indent =:
|equation = 

<math> \begin{align}
+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S &=& -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V &=& \frac{\partial^2 U }{\partial S \partial V}\\

+\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S &=& +\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P &=& \frac{\partial^2 H }{\partial S \partial P}\\
+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T &=& +\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V &=& -\frac{\partial^2 A }{\partial T \partial V}\\

-\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T &=& +\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P &=& \frac{\partial^2 G }{\partial T \partial P}
\end{align}\,\!</math>

|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

On els potencials com a funcions de les seves variables naturals tèrmiques i mecàniques són l'[[energia interna]] ''U''(''S, V''), l'[[entalpia]] ''H''(''S, P''), l'[[energia lliure de Helmholtz]] ''A''(''T, V'') i l'[[energia lliure de Gibbs]] ''G''(''T, P''). El [[quadrat termodinàmic]] es pot fer servir com a regle mnemotècnica per recordar i derivar aquestes equacions.

=== Derivació ===
Les relacions de Maxwell estan basades en regles de diferenciació parcial simples, en particular en la [[diferencial total|derivació total]] [[diferencial d'una funció|d'una funció]] i en la simetria en l'avaluació de les derivades parcials de segon ordre.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Derivació
|-
|La derivació de les relacions de Maxwell es pot deduir de les formes diferencials dels [[potencial termodinàmic|potencials termodinàmics]]:


:<math>\begin{align} 
dU &=& TdS-PdV \\
dH &=& TdS+VdP \\
dA &=& -SdT-PdV \\
dG &=& -SdT+VdP \\
\end{align}\,\!</math>

Aquestes equacions tenen forma de diferencials totals de la forma:

:<math>dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

Llavors, es pot mostrar per qualsevol de la forma:

:<math>dz = Mdx + Ndy \,</math>

Que:

:<math>M = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y, \quad
 N = \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x</math>

Si es considera, per exemple, l'equació <math>dH=TdS+VdP\,</math>, es pot veure de seguida que:

:<math>T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_P, \quad
 V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_S</math>

Com que també se sap que per funcions amb derivades segones contínues les derivades parcials mixtes són idèntiques ([[simetria de les derivades segones]]), és a dir, que:

:<math>\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y =
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x =
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}</math>

Llavors es pot veure que:

:<math> \frac{\partial}{\partial P}\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_P =
\frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_S </math>

I per tant:

:<math>\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P</math>

Cadascuna de les quatre relacions de Maxwell de sobre surt de manera similar d'una de les [[equacions de Gibbs]].
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Derivació estesa
|-
|Combinant del primer i segon principi de la termodinàmica,
:<math>TdS = dU+PdV</math> (Eq.1)

U, S i V són funcions d'estat. Sigui:
:<math>U = U(x,y)</math>
:<math>S = S(x,y)</math>
:<math>V = V(x,y)</math>
:<math>dU = \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

:<math>dS = \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

:<math>dV = \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

Es substitueixen en l'Eq.1 i s'obté:

:<math>T\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y\!dx +
 T\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x\!dy = \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)_x\!dy + P\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y\!dx +
 P\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

Escrit així:

:<math>\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_y\!dx +
 \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)_x\!dy = T\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y\!dx +
 T\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x\!dy - P\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y\!dx -
 P\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x\!dy</math>

Comparant els coeficients de dx i dx, s'obté:

:<math>\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_y = T\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y - P\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y</math>
:<math>\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)_x = T\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x - P\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x</math>

Diferenciant les equacions de sobre per y i x respectivament:

:<math>\left(\frac{\partial^2U}{\partial y\partial x}\right) = \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y + T\left(\frac{\partial^2 S}{\partial y\partial x}\right) - \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y - P\left(\frac{\partial^2 V}{\partial y\partial x}\right)</math> (Eq.2)

I:

:<math>\left(\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y}\right) = \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_y \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x + T\left(\frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}\right) - \left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)_y \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x - P\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x\partial y}\right)</math> (Eq.3)

U, S i V són diferencials exactes, llavors:

:<math>\left(\frac{\partial^2U}{\partial y\partial x}\right) = \left(\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y}\right)</math>
:<math>\left(\frac{\partial^2S}{\partial y\partial x}\right) = \left(\frac{\partial^2S}{\partial x\partial y}\right)
:\left(\frac{\partial^2V}{\partial y\partial x}\right) = \left(\frac{\partial^2V}{\partial x\partial y}\right)</math>

Si es resten l'Eq.2 i l'Eq.3 s'obté:

:<math>\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)_y - \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_y = \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_y \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)_x - \left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)_y \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_x</math>

;Primera relació de Maxwell
:Sigui x = S i y = V, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V</math>

;Segona relació de Maxwell
:Sigui x = T i y = V, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V</math>

;Tercera relació de Maxwell
:Sigui x = S i y = P, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P</math>

;Quarta relació de Maxwell
:Sigui x = T i y = P, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>

;Cinquena relació de Maxwell
:Sigui x = P i y = V, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_P</math><math>-\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_V</math> = 1

;Sisena relació de Maxwell
:Sigui x = T i y = S, s'obté
:<math>\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_S \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_T -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S</math> = 1
|}

== Relacions generals de Maxwell ==
Les anteriors no són les úniques relacions de Maxwell. Quan es consideren altres termes de treball que preveuen altres variables naturals a part del treball del volum o quan el [[nombre de partícules]] s'inclou com a variable natural, apareixen d'alters relacions de Maxwell. Per exemple, si es té un gas d'un sol component, llavors el nombre de partícules ''N'' és també una variable natural dels quatre potencials termodinàmics anteriors. La relació de Maxwell per l'entalpia respecte a la pressió i el nombre de partícules seria llavors:

:<math>
\left(\frac{\partial \mu}{\partial P}\right)_{S, N} =
\left(\frac{\partial V}{\partial N}\right)_{S, P}\qquad=
\frac{\partial^2 H }{\partial P \partial N}
</math>

On μ és el [[potencial químic]]. Addicionalment, hi ha altres potencials termodinàmics a part dels quatre que s'usen normalment, i cadascun d'aquests produeix un conjunt similar de relacions de Maxwell.

Cada equació es pot reescriure fent servir la relació:

:<math>\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z
=
1\left/\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\right.</math>

Les quals de vegades també s'anomenen relacions de Maxwell.

== Vegeu també ==
* [[Llista d'equacions termodinàmiques]]
* [[Equacions termodinàmiques]]

== Enllaços externs ==
* [http://theory.ph.man.ac.uk/~judith/stat_therm/node48.html A partial derivation of Maxwell's relations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090207081538/http://theory.ph.man.ac.uk/~judith/stat_therm/node48.html |date=2009-02-07}} {{en}}


[[Categoria:Equacions de la termodinàmica]]