Mostra la font per a Rotlle de pell de matemàtica egípcia

{{Millorar traducció|data=2016}}
{{Infotaula document}}
El '''Rotlle de pell de matemàtica egípcia (RPME)''' és un [[rotlle]] de [[cuir]] de 25 × 43 cm, adquirit per [[Alexander Henry Rhind]] el [[1858]]. Va ser enviat al [[Museu Britànic]] el 1864, juntament amb el [[Papir de Rhind]]. No va ser, però, químicament suavitzat i desenrotllat fins a l'any 1927.<ref>Scott, A. and Hall, H.R., “Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC”, British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.</ref> L'escriptura emprada és de [[escriptura hieràtica|caràcters hieràtics]] de l'[[Imperi Mitjà]], escrits de dreta a esquerra. Els erudits daten aquest rotlle del [[segle XVII aC]].<ref name="Clagett">Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society, 1999, pp. 17–18, 25, 37–38, 255–257.</ref>

== Contingut matemàtic ==
Aquest rotlle de pell és un ajut per computar [[Fracció egípcia|fraccions egípcies]]. Conté 26 sumes de fraccions d'unitat que tenen com a resultat una altra fracció d'unitat. Les sumes apareixen dins de dues columnes, i n'hi ha dues més que contenen exactament les mateixes sumes.<ref name="Imhausen">Annette Imhausen, in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Edited by Victor J. Katz, 2007, pp. 21-22.</ref>
{| data-cx-mt-provider="Apertium" class=wikitable style="margin: 1em auto 1em auto; width: 75%" align=center border=1 cellpadding=5
|+'''El rotlle de pell de matemàtica egípcia'''<ref name="Imhausen"/>
!Columna 1 
!Columna 2
! align=center |Columna 3 
!Columna 4
|-
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90}= \frac{1}{15}</math>
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}</math>
|-
|<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}</math>
|<math>\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}</math>
|<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}</math>
|<math>\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}</math>
|-
|<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}</math>
|<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}</math>
|-
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}</math>
|<math>\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}</math>
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}</math>
|-
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}</math>
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}</math>
|-
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}</math>
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}</math>
|-
|<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}</math>
|<math>\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}</math>
|<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}</math>
|<math>\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}</math>
|-
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}</math>
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}</math>
|-
|<math>\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}</math>
|<math>\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}</math>
|<math>\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}</math>
|-
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150} = \frac{1}{6}</math>
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150} = \frac{1}{6}</math>
|-
|<math>\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}</math>
|<math>\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}</math>
|-
|<math>\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{1}{4}</math>
|<math>\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{1}{4}</math>
|-
|<math>\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}</math>
|-
|<math>\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{7}</math>
|<math>\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{7}</math>
|-
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{1}{9}</math>
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{1}{9}</math>
|-
|<math>\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66} = \frac{1}{11}</math>
|<math>\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66} = \frac{1}{11}</math>
|-
|<math>\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196} = \frac{1}{13}</math>
|<math>\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196} = \frac{1}{13}</math>
|-
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{15}</math>
|-
|<math>\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}</math>
|}
Dels 26 nombres racionals llistats, deu són nombres [[ull d'Horus]]: 1/2, 1/4 (dues vegades), 1/8 (tres vegades), 1/16 (dues vegades), 1/32, 1/64, convertit a fraccions egípcies. Hi ha set altres nombres racionals convertits a fraccions egípcies: 1/6 (llistat dues vegades, però malament un cop), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 i 1/30. Finalment, hi havia nou nombres racionals estranys convertit a fraccions egípcies: 2/3, 1/3 (dues vegades), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 i 1/15, patrons d'entrenament per a estudiants d'escriba, per aprendre el mètode de la taula 2/p del [[Papir de Rhind]].

Els estudiosos del Museu Britànic no van trobar cap introducció o descripció de com o per què la sèrie de fracció d'unitat equivalent va ser computada.<ref>Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?” (Historia Mathematica 1981), 456–457.</ref> La sèrie de fraccions d'unitat equivalent és associada amb fraccions 1/3, 1/4, 1/8 i 1/16; hi havia, però, un error menor associat a la darrera sèrie de fraccions en la unitat 1/15: Les sèries 1/15 va ser llistades iguals a 1/6. Un altre l'error, aquest seriós, va ser associat a 1/13, un fet que els estudiosos del 1927 no van intentar resoldre.

== Anàlisi moderna ==
Els texts matemàtics originals mai no expliquen d'on provenen els procediments ni les fórmules. Malgrat això, són certs. Els erudits han intentat deduir quines tècniques podrien haver utilitzat els egipcis antics per construir tant les taules de fracció de la unitat d'aquest rotlle, com les del [[Papir de Rhind]] i del ''Lahun Matemàtic Papyri''. Totes aquestes taules es feien servir per ajudar en les computacions que tracten fraccions, i per la conversió d'unitats de mesura.<ref name="Imhausen"/>

S'ha notat que hi ha grups de descomposicions de fracció de la unitat en aquest rotlle que són molt similars. Per exemple, les línies 5 i 6 combinen fàcilment a l'equació 1/3 + 1/6 = 1/2. És fàcil derivar les línies 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 i 26 en dividir aquesta equació per 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 i 32, respectivament.<ref>Gillings, Richard J., Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover Publications, 1982 reprint (1972) {{ISBN|0-486-24315-X}}</ref>

Alguns dels problemes ens deixen una solució en un algoritme que implica multiplicar tant el numerador i el denominador pel mateix terme, i llavors reduir l'equació resultant:
: <math>\frac{1}{pq} = \frac{1}{N}\times\frac{N}{pq} </math>
Aquest mètode aporta una solució per a la fracció 1/8 tal com apareix en aquest rotlle quan s'utilitza N=25 (utilitzant [[notació matemàtica]] moderna):
: <math>1/8 = 1/25 \times 25/8 = 1/5 \times 25/40 = 1/5 \times (3/5 + 1/40) </math>
: <math>= 1/5 \times (1/5 + 2/5 + 1/40) = 1/5 \times (1/5 + 1/3 + 1/15 + 1/40) = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200</math><ref name="MG">Gardner, Milo. “The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences”, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency, 2002:119–134.</ref>

== Conclusions modernes ==
Aquest rotlle ha estat considerat un document de prova d'estudiant d'escriba des del 1927, l'any en què el text fou desenrotllat al Museu Britànic. L'[[escriba]] va practicar conversions de [[nombre racional|nombres racionals]] 1/p i 1/pq a una sèrie de fraccions d'unitat alternatives. Llegint registres disponibles de [[matemàtiques]] de l'[[Regne Mitjà d'Egipte|Imperi Mitjà]], la taula 2/n del [[Papir de Rhind]] seria un d'ells. Els estudiants moderns d'aritmètica egípcia poden veure com escribes entrenats milloraven conversions de 2/n i n/p cap a sèries de fraccions d'unitat concisa aplicant algorítmia i mètodes no algorítmics.

== Cronologia ==
Aquesta cronologia mostra diverses fites que han marcat el progrés recent per obtenir una comprensió més clara dels continguts del rotlle, relacionats amb el [[Papir de Rhind]]:
* 1895 - Hultsch va suggerir que tot la sèrie del Papir de Rhind era part d'una alíquota codificada.<ref>Hultsch, F, Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8, Ubersich uber die Lehre von den Zerlegangen, (1895):167-71.</ref>
* 1927 - Glanville va concloure que l'aritmètica d'aquest rotlle era purament additiva.<ref>Glanville, S.R.K. "The Mathematical Leather Roll in the British Museum” Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8.</ref>
* 1929 - Vogel va informar que aquest rotlle era més important que el Papir de Rhind, tot i que conté només 25 fraccions d'unitat de sèrie.<ref>Vogel, Kurt. “Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386–407.</ref>
* 1950 - Bruins, independentment, confirma l'anàlisi de Hultsch sobre el Papir de Rhind.<ref>Bruins, 1950.</ref>
* 1972 - Gillings va trobar solucions a un problema del Papir de Rhind més fàcil, la sèrie 2/pq.<ref>Gillings, 1972: 95–96.</ref>
* 1982 - Knorr identifica les fraccions d'unitat 2/35, 2/91 i 2/95 del Papir de Rhind com a excepcions al problema 2/pq.<ref>Knorr, Wilbur R. “''Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece''”. Historia Mathematica 9 Berlin, (1982): 133–171.</ref>
* 2002 - Gardner identifica cinc patrons abstractes en el rotlle de pell de matemàtica egípcia.<ref name="MG"/>

== Vegeu també ==
Textos matemàtics egipcis:
* [[Papir de Moscou]].
* [[Papirs de Reisner]].
* [[Papir de Rhind]].

== Notes ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
{{refbegin|2}}
* Brown, Kevin S. The Akhmin Papyrus 1995 - Egyptian Unit Fractions 1995
* Bruckheimer, Maxim and Y. Salomon. “Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus.” Historia Mathematica 4 Berlin (1977): 445–452.
* Bruins, Evert M. “Platon et la table égyptienne 2/n”. Janus 46, Amsterdam, (1957): 253–263.
* Bruins, Evert M. “Egyptian Arithmetic.” Janus 68, Amsterdam, (1981): 33–52.
* Bruins, Evert M. “Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics”. Janus 68, Amsterdam, (1981): 281–297.
* Daressy, Georges. “Akhmim Wood Tablets”, Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
* Gardner, Milo. "Mathematical Roll of Egypt", Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Nov. 2005.
* Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Roll”. Australian Journal of Science 24 (1962): 339-344, Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1972. New York: Dover, reprint 1982.
* Gillings, Richard J. “The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It ?” Archive for History of Exact Sciences 12 (1974), 291–298.
* Gillings, Richard J. “The Recto of the RMP and the EMLR”, Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442-447.
* Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?” (Historia Mathematica 1981), 456–457.
* Gunn, Battiscombe George. Review of ”The Rhind Mathematical Papyrus” by T. E. Peet. The Journal of Egyptian Archaeology 12 London, (1926): 123–137.
* Imhausen, Annette. “Egyptian Mathematical Texts and their Contexts”, Science in Context, vol 16, Cambridge (UK), (2003): 367-389.
* Legon, John A.R. “A Kahun Mathematical Fragment”. Discussions in Egyptology, 24 Oxford, (1992).
* Lüneburg, H. “Zerlgung von Bruchen in Stammbruche” Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993. 81–85.
* Rees, C. S. “Egyptian Fractions”, Mathematical Chronicle 10, Auckland, (1981): 13–33.
* Roero, C. S. “Egyptian mathematics” Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences” I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
* Sylvester, J. J. “On a Point in the Theory of Vulgar Fractions”: American Journal Of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332–335, 388–389.
{{refend}}

== Enllaços externs ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/EgyptianMathematicalLeatherRoll2.html EMLR]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080706063756/http://planetmath.org/encyclopedia/EgyptianMathematicalLeatherRoll2.html |date=2008-07-06 }}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/AhmesBirdFeedingRateMethod.html Theoretical (expected) economic control numbers]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090215190603/http://planetmath.org/encyclopedia/AhmesBirdFeedingRateMethod.html |date=2009-02-15 }}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/RMP35To38PlusRMP66.html RMP 35-38 plus RMP 66] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100423002130/http://planetmath.org/encyclopedia/RMP35To38PlusRMP66.html |date=2010-04-23 }}.

{{orfe|data=2016}}

[[Categoria:Literatura a l'antic Egipte]]
[[Categoria:Manuscrits]]
[[Categoria:Matemàtiques]]