Mostra la font per a Semigrup

En [[matemàtiques]], un '''semigrup''' és una [[estructura algebraica]] consistent en un [[conjunt]] dotat d'una [[llei de composició interna]] [[associativa]]. Un '''semigrup''' és doncs, un [[magma (àlgebra)|magma]] associatiu.<ref>{{Ref-web|títol=GDLC - monoide|url=http://www.diccionari.cat/lexicx.jsp?GECART=0091097|consulta=2022-01-29}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=What does semigroup mean?|url=https://www.definitions.net/definition/semigroup|consulta=2022-01-29}}</ref>

Formalment, <math>(E,\star)</math> és un '''semigrup''' si:
#<math>\forall (x,y)\in E^2, x\star y \in E</math> (llei de composició interna).
#<math>\forall (x,y,z)\in E^3, x\star (y\star z) = (x\star y)\star z</math> (associativitat)

Quan un '''semigrup''' té a més [[element neutre]] s'anomena '''[[monoide]]'''.<ref>{{Ref-web|títol=examples of semigroups|url=https://planetmath.org/examplesofsemigroups|consulta=2022-01-29}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=MATHS: Semigroups|url=http://csci.csusb.edu/dick/maths/math_32_Semigroups.html|consulta=2022-01-29}}</ref>

== Un exemple de semigrup: els polinomis de grau 3 amb la suma ==
El conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals, amb l'addició, és un semigrup, amb les característiques següents:

=== L'operació és una llei de composició interna ===
Podem expressar dos polinomis <math>P(x) </math> i <math>Q(x)</math> de grau 3 amb coeficients naturals qualssevol de la següent manera:

# <math>P(x)=ax^3+bx^2+cx+ d </math>
# <math>Q(x)=ex^3+fx^2+gx+h</math>

La suma dels dos polinomis pot ser entesa com la suma dels seus components: 

<math>P(x)+Q(x)=(a+e)x^3+(b+f)x^2+(c+g)x+(d+h)</math>.

Atès que els coeficients de <math>P(x) </math> i <math>Q(x)</math> són naturals, els de la seva suma també ho seran. Per tant, l'operació és una llei de composició interna.

=== No té element neutre ===
Prenent <math>P(x) </math> i un polinomi <math>I(x)</math> tal que <math>I(x)=ex^3+fx^2+gx+h</math>, on ''e'', ''f'', ''g'' i ''h'' són nombres naturals, <math>I(x)</math> és l'element neutre del conjunt si satisfà l'equació <math>P(x)+I(x)=P(x)</math>. Per tant, la suma d'aquests dos polinomis <math>P(x)+I(x)</math> hauria de ser igual a <math>P(x) </math>. L'única solució possible a aquesta equació és que totes les components de <math>I(x)</math> siguin 0, de manera que no seria un element del conjunt. En conseqüència, no existeix un element neutre.

=== L'operació és associativa en el conjunt ===
Com s'ha especificat abans, la suma de dos polinomis pot expressar-se com la suma dels seus components. Sabent que aquests són nombres naturals i que la suma és associativa pels nombres naturals, pot es pot assegurar que l'operació també és associativa en el conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals.

=== La divisió no sempre és possible ===
Perquè la divisió sigui sempre possible, s'ha de verificar que per a qualsevol <math>P(x) </math> i <math>Q(x)</math> en aquest conjunt, existeix un divisor <math>D(x)</math>, també en el conjunt, tal que <math>Q(x)+D(x)=P(x)</math>. Aquesta condició no es compleix per a tots els <math>P(x) </math> i <math>Q(x)</math> del conjunt, ja que si un dels components de <math>P(x) </math> és més petit que el mateix component de <math>Q(x)</math>, no existirà cap divisor en el conjunt que satisfaci l'equació. Per exemple, aquesta condició no es verificaria per a <math>P(x)=x^3+x^2+2x+ 1</math> i per a <math>Q(x)=4x^3+3x^2 +x+5</math>.

== Altres exemples ==
* El conjunt dels [[Nombre natural|naturals]] sense el [[zero]], amb l'[[addició]], és un semigrup.
* El conjunt dels [[Nombre positiu|nombres positius]] [[Múltiple|múltiples]] de ''n'' per un ''n'' fixat, amb l'addició, és un semigrup.

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre
| cognom=Bourbaki
| nom=N.
| títol=Algèbre, Chapitres 1 à 3
| editorial=Hermann
| lloc=París| any=1970
| llengua=francès}}
* {{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/Semigroup.html |títol=Semigroup|obra=MathWorld |editor=Wolfram Research, Inc.|cognom=Weisstein|nom=Eric W.|consulta= 27 novembre 2013|llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre |cognom=Albert |nom=A. A. |títol=Studies in Modern Algebra |editorial=Associació Americana de Matemàtiques |lloc=Washington, DC |data=1963 |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació
 | cognom = Suschkewitsch
 | nom = Anton
 | enllaçautor = Anton Suixkévitx
 | títol = Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit
 | url = https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01459084
 | publicació = Mathematische Annalen
 | llengua = alemany
 | any = 1928
 | volum = Vol. 99
 | exemplar = Num. 1
 | pàgines = 30-50
 | issn = 0025-5831
 | doi = 10.1007/BF01459084
}}

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[Element absorbent]]
* [[Magma (àlgebra)|Magma]]
* [[Monoide]], semigrup amb element neutre.

[[Categoria:Estructures algebraiques]]
[[Categoria:Teoria de grups]]