Mostra la font per a Sinus

A les [[matemàtiques]], el '''sinus''' és una de les sis [[Funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]], anomenades també '''funcions circulars'''. Aquesta és una funció real i [[Funcions parelles i imparelles|imparell]] el domini de la qual és <math>\mathbb{R}</math> (el conjunt dels nombres reals) i que el seu [[codomini]] és l'interval tancat <math>[-1,1]</math>:<ref>A. I. Markushévich: ''Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas'' Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100</ref>{{Equació|<math>
 \begin{array}{rrcl}
 \sin : & \mathbb{R} & \longrightarrow & [-1,1] \\
 & x & \longmapsto & \sin(x)
\end{array}
</math>||left}}es denota <math> f(x) = \sin (x)</math> per a tot <math>x \in \mathbb{R}</math>. El nom s'abreuja a vegades com '''sen''' o '''''sin''''' depenent de les formes en les quals estiguin; espanyola, [[Llatí|llatina]] o anglesa.<ref>{{Ref-llibre|títol=Diccionario esencial de las ciencias|cognom=Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales|isbn=84-239-7921-0|cita=Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".}}</ref><ref>{{Ref-llibre|títol=Diccionario de Matemáticas|cognom=A. Bouvier y M. George|editorial=AKAL|isbn=84-7339-706-1|cita=Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.}}</ref><ref>{{Ref-llibre|títol=Enciclopedia didáctica de matemáticas|any=2001|url=https://archive.org/details/enciclopediadida0000unse_s4d2|cognom=Equipo editorial|editorial=OCEANO|isbn=84-494-0696-X|cita=Seno-> ... sen â ...}}</ref>

== Etimologia ==
L'astrònom i matemàtic indi [[Aryabhata]] (476–550 d. C.) va estudiar el concepte de «sinus» amb el nom [[sànscrit]] d'''ardhá-jya'', sent अर्ध ''ardha'': «meitat, mitjà», i ज्या jya: «corda»).<ref>{{Ref-web|títol=Etimología de algunas palabras|url=http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm|data=2008-12-04|consulta=2024-05-24|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20081204003039/http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm|arxiudata=2008-12-04}}</ref> Quan els escriptors [[Àrab|àrabs]] van traduir aquestes obres científiques a l'àrab, es referien a aquest terme com جِيبَ ''jiba'' . No obstant això, en l'àrab escrit s'ometen les vocals, per la qual cosa el terme va quedar abreujat ''jb''. Escriptors posteriors que no sabien l'origen estranger de la paraula van creure que ''jb'' era l'abreviatura de ''jiab'' (que vol dir «badia», «cavitat» o «sinus»).

A la fi del {{Segle|XII||s}}, el traductor italià [[Gerard de Cremona]] (1114-1187) va traduir aquests escrits de l'àrab al llatí reemplaçant l'insensat ''jiab'' per la seva contrapart llatina ''sinus'' (‘buit, cavitat, badia).<ref>{{Ref-llibre|cognom=Howard Eves|títol=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)|editorial=Saunders College Publishing House, New York|any=1990}}</ref>

Segons una altra explicació, la corda d'un cercle es denomina en llatí inscripta [[Corda (geometria)|corda]] o simplement ''inscripta''. La meitat d'aquesta corda es diu ''semis inscriptae''. La ''s''eva abreviatura era s. ''ins''., que va acabar simplificada com ''sins''. Per a assemblar-la a una paraula coneguda del llatí se la va denominar ''sinus''.

== Definició ==
[[Fitxer:Trigono_b00.svg|miniatura|280x280px|El sinus de α és la [[Ràtio|raó]] <math>\tfrac{a}{c} =\tfrac{BC}{AB}</math>]]
En [[trigonometria]], el '''sinus''' d'un angle <math>\alpha\,</math> d'un tri[[angle]] rectangle es defineix com la raó entre el [[catet]] oposat a aquest angle i la [[hipotenusa]]:{{Equació|<math>\sin \alpha=\frac{a}{c} =\frac{BC}{AB}</math>||left}}Aquesta raó no depèn de la grandària del triangle rectangle triat sinó que és una [[funció]] dependent de l'angle<math>\alpha.</math>

Si <math>B</math> pertany a la [[circumferència goniomètrica]], és a dir, la [[Circumferència goniomètrica|circumferència de radi u]] amb <math>O=A</math> es té:

: <math> \sin \alpha=a=BC \,</math>

Ja que .<math>c=AB=1</math>

Aquesta construcció permet representar el valor del sinus per a angles aguts i funciona exactament igual per als vectors, representant un vector <math>\vec{AB}</math> mitjançant la seva descomposició en els vectors ortogonals <math>\vec{AC}</math> i <math>\vec{CB}</math>.

== Relacions trigonomètriques ==
El sinus pot relacionar-se amb altres [[Funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]] mitjançant l'ús d'[[identitats trigonomètriques]].

El sinus és una [[Funcions parelles i imparelles|funció imparella]], és a dir:

: <math> \sin \; (-x) = -\sin (x)</math>

El si és una [[funció periòdica]] de període <math>2\pi</math>,

{{Demostració|Per inducció ja que aplicant un nombre parell de cops <math> \sin \; \alpha=-\sin (\alpha + \pi)</math> s'arriba a tots els valors de k.|títol=<math> \sin \; \alpha=\;\;\;\sin \; ( \alpha + 2 k \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}</math>}}

=== En funció del cosinus ===
La corba del cosinus és la corba del sinus desplaçada <math>\frac{\pi}{2}</math> a l'esquerra donant lloc a la següent expressió:

: <math> \sin \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right) </math>

A més, com que la funció cosinus comparteix la mateixa periodicitat <math>2\pi</math>, és possible generalitzar a:

: <math> \sin \alpha=\cos\left(\alpha + \frac{(4k+1)\pi}{2}\right),\quad k \in \mathbb{Z} </math>

Com <math> \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>, buidant <math>\sin{\alpha}</math> s'obté:

: <math>
 | \sin \alpha | =
 \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}
</math>

=== En funció de la tangent ===
: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac{\sin \alpha}{1} \cdot \cfrac{\cfrac{1}{\cos\alpha}}{\cfrac{1}{\cos\alpha}} =
 \cfrac {\cfrac {\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cfrac {1}{\cos \alpha}} =
 \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}
</math>

Podem afegir que <math> \sin \alpha \cdot \sec \alpha = \tan \alpha
</math>, i continuant <math> \sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha </math>, buidant i reemplaçant <math>\sec \alpha</math> s'obté:

: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} =
 \cfrac {\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}}
</math>

=== En funció de la cotangent ===
Sabent que <math> \sin \alpha = \frac{1}{\csc \alpha} </math>, i que <math> \csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha </math>, llavors:

: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac{1}{\csc \alpha} =
 \cfrac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}}
</math>

=== En funció de la secant ===
: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}
</math>

Com <math>\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha</math>, buidant i reemplaçant <math>\tan \alpha</math> s'obté:

: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} =
 \cfrac {\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha}
</math>

=== En funció de la cosecant ===
El sinus i la cosecant són inversos multiplicadors:

: <math>
 \sin \alpha =
 \cfrac{1}{\csc \alpha}
</math> <ref>I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210 </ref>

=== Sinus de la suma de dos angles ===
{{Demostració|La '''demostració''' està a la secció d'[[Identitats trigonomètriques#Teoremes de la suma y diferència d'angles|Identitats trigonomètriques]].|títol=<math>\sin\left(\alpha +\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta</math>

<math>\sin\left(\alpha -\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta</math>}}

=== Sinus de l'angle doble ===
{{Demostració|Com a:

:<math>\sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>

N'hi ha prou amb el canvi <math>\beta=\alpha\,</math>|títol=<math>\sin\left(2\alpha\right)=2\sin\alpha\cos\alpha</math>}}

=== Sinus de l'angle meitat ===
{{Demostració|Usant les fórmules:

:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math> i

:<math>\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sin^2\theta</math>

resulta:

:<math>\cos\left(2\theta\right)=1-2\sin^2\theta</math>
[[Fitxer:ValAbsSin07.svg|400px|miniatura|Representació de <math>y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.</math>]]
i aillant <math>\sin \theta</math>:
{{equació|
<math>\vert \sin \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}</math>
||left}}
El canvi <math>\theta=\frac{\alpha}{2}</math> corretgeix l'angle i s'extrau el valor absolut amb signe del sinus:
{{equació|
<math>0<\sin \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi, </math>
<math>0>\sin \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi</math>
||left}}
on <math>k\in\mathbb{Z}</math>.|títol=<math>\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \text{ para }k\in \mathbb{Z}</math>}}

=== Suma de sinus com a producte ===
{{Demostració|Usant '''sinus de la suma de dos angles''' i amb el canvi <math>a=\alpha+\beta, b=\alpha-\beta</math> s'aconsegueix:

:<math>\sin a =\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)+\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

:<math>\sin b =\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) -\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

Després sumant o restant segons convingui, surten les dues equacions.|títol=<math>\sin a+ \sin b = 2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>
<math>\sin a- \sin b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>}}

=== Producte de sinus com a suma ===
{{Demostració|Usant las equacions de [[Cosinus#Cosinus de la suma de dos angles|cosinus de la suma de dos angles]] i restant, resulta la primera equació, i si a aquestes equacions se-ls aplica la identitat de [[Cosinus#Cosinus de l'angle doble|cosinus de l'angle doble]] resulta la segona equació.|títol=<math>\sin(\alpha)\sin(\beta)=\frac12 \left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)=\sin^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sin^2 \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)= \cos^2 \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\cos^2 \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)</math>}}

=== Potències de sinus ===
* <math> \sin^2 x = \frac{1}{2}( 1 - \cos 2x ) </math>

* <math> \sin^3 x = \frac{1}{4}( 3\sin x - \sin 3 x )</math>

== Anàlisi matemàtica ==
=== Definició ===
La funció '''sinus''' pot definir-se mitjançant un sistema de dues equacions diferencials ordinàries:

: <math> dx/dt=y </math>

: <math> dy/dt=-x </math>

si la condició inicial és (0,1), llavors la seva solució és <math>x=\sin(t)</math> i <math>y=\cos(t)</math>.

=== Derivada ===
: <math>\sin'x=\cos x\,</math>

* Observació: .<math>\sin'x=\sin\left ( x+\frac{\pi}{2} \right )</math>

=== Com a sèrie de Taylor ===
El sinus com a [[Sèrie de Taylor]] pel que fa a a = 0 és:

: <math>
 \begin{align}
 \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \\
 & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{align}
</math>

=== Propietats ===
* És una funció [[Funció contínua|contínua]] en tot el seu [[Domini (matemàtiques)|domini de definició]].
* És una [[Equació no algebraica|funció transcendent]] perquè no es pot expressar mitjançant una funció algebraica, sigui sencera, racional o irracional.
* El si és una [[funció analítica]], això és, que té derivada contínua de qualsevol ordre.
* Té una infinitat comptable de zeros, on tala a l'eix X.
* Té una infinitat comptable de valor màxim = 1; igual quantitat comptable de valor mínim = -1.
* Tenen infinitat comptable de punts d'inflexió.
* La seva gràfica és [[Funció còncava|còncava]] (cap avall) en<math>[2k\pi, (2k+1)\pi]</math>
* La seva gràfica és [[Funció convexa|convexa]] (cap amunt) en<math>[(2k+1)\pi, 2(k+1)\pi]</math><ref>Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275 </ref>

== Anàlisi complexa ==
Al [[pla complex]] a través de la [[fórmula d'Euler]] es determina que:{{Demostración|Dada la fórmula de Euler:

:<math>e^{iz}={\cos}\ (z)+i{\sin}\ (z)</math>

donde <math>e</math> es la [[número e|base del logaritmo natural]], e <math>i</math> es la [[unidad imaginaria|unidad]] de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a <math>e^{-iz}</math> se tiene también que:

:<math>e^{-iz}={\cos}\ (-z)+i{\sin}\ (-z)=</math> <math>{\cos}\ (z)-i{\sin}\ (z)</math>

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

:<math>e^{iz}-e^{-iz}=2i{\sin}\ (z)</math> <ref>A. Markushevich: ''Teoría de las funciones analíticas''' tomo I editorial Mir Moscú (1970)</ref>

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.|título=<math> {\sin}\ (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} </math>}}

== En programació ==
Gran part dels llenguatges de programació tenen la funció sinus a les seves llibreries.

La majoria dels models de [[Calculadora|calculadores]] estan configurats i accepten el valor d'un [[angle]] qualsevol en els tres sistemes estàndard de referència angular: [[Grau sexagesimal|graus sexagesimals]], [[Grau centesimal|graus centesimals]] i [[Radian|radiants]].


'''Exemples:'''

: Sinus de 45 graus = 0,7071
: Sinus de 45 radiants = 0,8509.

S'ha de tenir en compte que la diferència entre tots dos valors resultants podria passar desapercebuda. És necessari, llavors, passar els graus a radiants o viceversa. El símbol ''π'' és el [[Nombre π|nombre pi]]. Exemple de conversions:

: Rad = Deg * π/180
: Deg = Rad * 180/π.

La comprovació del mode en curs d'una calculadora es fa amb valors coneguts <math>\pi</math> i 90°:

: <math>\sin \pi = 0</math> en cas de la manera de radiants actiu.
: <math>\sin 90 = 1</math> en cas de la manera de graus sexagesimals actiu.

== Representació gràfica ==
[[Fitxer:Función_Trigonométrica_R100.svg|center|miniatura|600x600px]]

== Vegeu també ==
* [[Funcions parelles i imparelles|Funció imparella]]
* [[Funció periòdica]]
* [[Sinusoide]]
* [[Teorema del sinus]]
* [[Trigonometria]]
* [[Funció trigonomètrica]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* {{Mathworld|Sine|Seno}}
* [https://es.calameo.com/books/00127231629d48fe52231 Defición de Ladoseno, Sectoseno i Funció Sectorial.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220929122402/https://es.calameo.com/books/00127231629d48fe52231 |date=2022-09-29 }}

{{Autoritat}}

[[Categoria:Articles amb referències puntuals demanades]]