Mostra la font per a Spline

[[Fitxer:Quadratic spline six segments.svg|miniatura|Un spline quadràtic compost per sis segments polinòmics. Entre el punt 0 i el punt 1 una recta. Entre el punt 1 i el punt 2 una paràbola amb segona derivada = 4. Entre el punt 2 i el punt 3 una paràbola amb segona derivada = -2. Entre el punt 3 i el punt 4 una recta. Entre punt 4 i el punt 5 una paràbola amb segona derivada = 6. Entre el punt 5 i el punt 6 una recta.]]

[[Fitxer:Qspline.svg|miniatura|Un spline cúbic compost per set segments polinòmics.]]

[[Fitxer:Qspline_dd.svg|miniatura|La derivada segona del spline cúbic de dalt.]]

En [[matemàtiques]], un '''spline (o traçador)''' és una [[Funció matemàtica|funció]] polinòmica [[funció definida a trossos|definida a trossos]] que interpola una sèrie de punts de forma que cada tros és un polinomi de grau ''n'' i a cada punt les derivades dels dos trossos que hi connecten tenen iguals les seves derivades fins a l'ordre ''n-1''.

En problemes d'[[interpolació]], la [[interpolació per splines]] es preferix sovint a la [[interpolació polinòmica]] perquè produeix resultats similars, fins i tot quan es fan servir polinomis de grau baix, mentre que evita el [[fenomen de Runge]] que apareix quan s'empren polnomis de graus alts

En [[infografia]] els splines són corbes emprades amb freqüència perquè són fàcils per traçar i precises, per poder avaluar les funcions que els defineixen, i també perquè permeten aproximar formes complexes amb les tècniques d'[[ajust de corbes]] i de disseny interactiu de corbes.

El terme spline ve dels [[regle flexible|regles flexibles]] emprats pels [[Construcció naval|constructors de vaixells]] i els [[dissenyador industrial|dissenyadors industrials]] per dibuixar corbes.

Els splines que es fan servir més són els splines cúbics, és a dir d'ordre 3 en particular els [[B-spline]]s 3 i els [[splines de Bézier]] cúbics. Són comuns, en particular, en [[interpolació per splines]] que simula la funció del [[regle flexible]].

== Definició ==
Un spline és una [[Funció matemàtica|funció]] [[nombre real|real]] [[polinomi|polinòmica]] [[funció definida a trossos|definida a trossos]]

:<math>S: [a,b]\to \mathbb{R}</math>

en un interval [''a'',''b'' ] compost de ''k'' subintervals [[conjunts disjunts|disjunts]] ordenats <math>[t_{i-1}, t_i] </math> amb

:<math>a = t_0 < t_1 < \cdots < t_{k-1} < t_k = b</math>.

La restricció de ''S'' a un interval ''i'' és un polinomi
:<math>P_i: [t_{i-1}, t_i] \to \mathbb{R}</math>,

de manera que
:<math>S(t) = P_1 (t) \mbox{, } t_0 \le t < t_1,</math>
:<math>S(t) = P_2 (t) \mbox{, } t_1 \le t < t_2,</math>
:::<math>\vdots</math>
:<math>S(t) = P_k (t) \mbox{, } t_{k-1} \le t \le t_k.</math>

L'ordre més alt dels polinomis <math> P_i (t)</math> es diu que és l{{'}}ordre del spline ''S''. Si tots els subintervals són de la mateixa llargada, el spline s'anomena uniforme i no-uniforme altrament.

La idea és escollir els polinomis d'una manera que garanteix suavitat suficient de ''S''. Específicament, per un spline d'ordre n, a ''S'' sel li imposa que sigui contínuament diferenciable fins a l'ordre n-1 en els punts interiors <math>t_i</math>: per a tot <math>i=1, \dots, k-1 </math> i tot <math>j \quad 0 \le j \le n-1</math>,
:<math>P_i^{(j)} (t_i) = P_{i+1}^{(j)} (t_i)</math>.

== Obtenció d'un Spline Cúbic que interpola entre punts ==
Aquest és un dels usos més importants dels splines. L'algoritme per fer-ho es donarà a l'article [[Interpolació per splines]]

== Exemples ==
[[Fitxer:Irwin Hall spline.svg|miniatura|L'spline d'Irwin-Hall en forma acampanada]]

[[Fitxer:Irwin Hall spline dd.svg|miniatura|La derivada segona del spline de dalt]]

Un exemple simple d'un spline quadràtic (un spline del grau 2) és

:<math>
S(t) = \begin{cases}
(t+1)^2-1 & -2 \le t < 0\\
1-(t-1)^2 & 0 \le t \le 2
\end{cases}
</math>

per al qual <math>S'(0)=2</math>.

Un exemple simple d'un spline cúbic és

:<math>S(t) = \left|t\right|^3 </math>

on

:<math>
S(t) = \begin{cases}
t^3 & t \ge 0\\
-t^3 & t < 0
\end{cases}
</math>

i

:<math>S(0)' =\ 0</math>

Un exemple d'utilitzar un s plinecúbic spline per crear una corba amb forma de campana són els polinomis d'Irwin-Hall:

:<math>
f_X(x)= \begin{cases}
\frac{1}{4}(x+2)^3 & -2\le x \le -1\\
\frac{1}{4}\left(3|x|^3 - 6x^2 +4 \right)& -1\le x \le 1\\
\frac{1}{4}(2-x)^3 & 1\le x \le 2
\end{cases}
</math>

== Història ==
Abans que s'utilitzessin ordinadors, els càlculs numèrics es feien a mà. S'utilitzaven funcions com la [[funció esglaonada]] però es preferien generalment polinomis. Amb l'adveniment d'ordinadors, els splines primer varen reemplaçar als polinomis en la interpolació, i després en la construcció de formes llises i flexibles en gràfics informàtics.<ref>Epperson, History of Splines, ''Na Digest'', volums 98, núm. 26, 1998.</ref>

S'accepta comunament que la primera referència matemàtica als splines és l'article 1946 de Schoenberg,<ref>Schoenberg, Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, ''Quart. Appl. Math''., volums 4, pàg. 45-99 i 112-141, 1946.</ref> que és probablement el primer lloc on la paraula "spline" és utilitzada en la connexió amb, aproximació polinòmica a bocins contínuament derivable. Tanmateix, aquestes idees tenen les seves arrels a la indústria de construcció naval i aeronàutica. En el prefaci a Bartels et al.,<ref>Bartels, Beatty, and Barsky, ''An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling'', 1987.</ref> [[Robin Forrest]] descriu el "[[lofting]]", una tècnica utilitzada a la indústria aeronàutica britànica durant la [[Segona Guerra Mundial]] per construir plantilles per a avions fent passar bandes de fusta primes (anomenades "[[regle flexible|splines]]") a través dels punts fixats al terra d'unes grans sales de disseny, una tècnica presa en préstec del disseny de vaixells. Durant anys la pràctica de disseny de vaixells havia fet servir models per fer el disseny a petita escala. Llavors el disseny final es dibuixava en paper de gràfics i els punts clau de la trama es redibuixaven en paper de gràfic més gran a escala real. Les regles flexibles proporcionaven una interpolació dels punts clau a corbes llises. Les regles flexibles es mantenien a lloc en punts discrets i entre aquests punts implicava aplicar formes de mínima energia de deformació. Segons Forrest, una possible motivació per obtenir un model matemàtic per a aquest procés era la pèrdua potencial dels components de disseny crítics per a una aeronau sencera si la sala de disseny fos colpida per una bomba enemiga. Això va donar lloc al "conic lofting", que utilitzava seccions còniques per imitar la posició de la corba entre els punts. El "conic lofting" es va canviar pel que anomenem splines als primers anys de la dècada del 1960 basats en el treball de J. C. [[Ferguson]]<ref>Ferguson, James C, ''Multi-variable curve interpolation'', J. ACM, volums 11, núm. 2, pàg. 221-228, abr. de 1964.</ref> a [[Boeing]] i (una mica més tard) per [[M. A. Sabin]] a la [[British Aircraft Corporation]].

L'ús de splines per al disseny de xassís d'automòbils sembla que té uns quants començaments independents. [[Citroën]] reclama l'honor a favor de [[Paul de Casteljau]], [[Renault]] el reclama per [[Pierre Bézier]], i [[General Motors]] per [[Garrett Birkhoff|Birkhoff]],<ref>Birkhoff, Fluid dynamics, reactor computations, and surface representation, a: Steve Nash (ed.), ''A History of Scientific Computation'', 1990.</ref> [[Garabedian]], i [[Carl R. de Boor]],<ref>Birkhoff i de Boor, Piecewise polynomial interpolation and approximation, en: H. L. Garabedian (ed.), ''Proc. Simposi de General Motors de 1964'', pàg. 164-190. Elsevier, Nova York i Amsterdam, 1965</ref> tots pels treballs fets al començament de la dècada del 1960 o finals de la del 1950. Pel capbaix un dels articles de de Casteljau es va publicar, però no es va difondre àmpliament, el 1959. El treball de De Boor a [[General Motors]] va resultar en un cert nombre d'articles que es varen publicar durant els primers anys de la dècada del 1960, incloent-hi part del treball fonamental en [[B-spline]]s.<ref name="Davis">Davis, B-splines and Geometric design, ''SIAM News'', vol. 29, no. 5, 1997.</ref>

També s'hi estava treballant a Pratt & Whitney Aircraft, on treballaven dos dels autors de Ahlberg ''et al.''<ref>Ahlberg, Nilson, and Walsh, ''The Theory of Splines and Their Applications'', 1967.</ref> el primer tractat dels splines de l'extensió d'un llibre -, i la [[David Taylor Model Basin]] de [[Feodor Theilheimer]]. El treball a [[General Motors]] es detalla de manera esplèndida a ''Notices of the AMS'' de Birkhoff i Young.<ref>Young, Garrett Birkhoff and applied mathematics, ''Notices of the AMS'', vol. 44, no. 11, pp. 1446–1449, 1997.</ref> Davis resumí part d'aquest material a ''SIAM News''.<ref name="Davis"/>

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[TrueType]]
* [[Corba de radi variable]]
* [[Flexicorba]]
* [[Teorema de Pi-Buckingham]]
* [[Difracció de Fresnel]]
* [[Difracció de Fraunhofer]]
* [[Integral de Fresnel]]
* [[Zona de Fresnel]]
* [[Integral de Böhmer]]

== Bibliografia addicional ==
* {{ref-llibre|cognom = Stoer |cognom2 = Bulirsch|títol = Introduction to Numerical Analysis|editorial = Springer Science+Business Media|pàgines = 93–106|isbn = 0387904204}}
* {{Ref-llibre|cognom = Chapra|nom = Canale|títol = Numerical Methods for Engineers|edició =5a ed.}}

== Enllaços externs ==
{{commonscat}}
* [http://www.akiti.ca/CubicSpline.html Utilitat d'interpolació d'splines cúbics en línia]
[[Categoria:Corbes]]
[[Categoria:Infografia]]
[[Categoria:Algorismes]]
[[Categoria:Anàlisi numèrica]]
[[Categoria:Processament digital del senyal]]