Mostra la font per a Tensor mètric (relativitat general)

En [[Relativitat general|la relativitat general]], el '''tensor mètric''' (en aquest context sovint abreujat com a simplement '''mètrica''') és l'objecte d'estudi fonamental. Es pot considerar vagament com una generalització del [[potencial gravitatori]] de [[Gravetat|la gravitació newtoniana]]. La mètrica captura tota l'[[Estructura espai-temps causal|estructura geomètrica i causal]] de [[Espaitemps|l'espai-temps]], s'utilitza per definir nocions com ara temps, distància, volum, curvatura, angle i separació del futur i del passat.<ref>{{Ref-web|títol=Metric tensor in special and general relativity|url=https://physics.stackexchange.com/questions/127409/metric-tensor-in-special-and-general-relativity|consulta=2023-01-07|llengua=anglès|editor=https://physics.stackexchange.com}}</ref>

Aquest article funciona amb una [[signatura mètrica]] que és majoritàriament positiva ({{Math|− + + +}}); veure [[Convenció de signatura|convenció de signes]]. La [[Constant de la gravitació|constant de gravitació]] <math>G</math> es mantindrà explícit. Aquest article utilitza la [[Conveni de sumació d'Einstein|convenció de suma d'Einstein]], on els índexs repetits es sumen automàticament.<ref>{{Ref-publicació|article=Metric tensor in general relativity|url=https://www.slideshare.net/HaloAnwar1/metric-tensor-in-general-relativity|data=2017-01-30|cognom=Halo Anwar|publicació=Metric tensor in general relativity}}</ref>

Matemàticament, l'espai-temps està representat per una [[varietat diferenciable]] de quatre dimensions <math>M</math> i el tensor mètric es dona com a [[tensor simètric]] [[Covariància i contravariància de vectors|covariant]], de segon [[Tensor|grau]] <math>M</math>, denotada convencionalment per <math>g</math>. A més, cal que la mètrica sigui [[Forma no degenerada|no degenerada]] amb [[Signatura de Lorentz|signatura]] {{Math|(− + + +)}}. Una varietat <math>M</math> equipat amb aquesta mètrica és un tipus de [[Varietat pseudoriemanniana|varietat lorentziana]].<ref>{{Ref-web|títol=General Relativity For Dummies: An Intuitive Introduction|url=https://profoundphysics.com/general-relativity-for-dummies/|consulta=2023-01-07|llengua=anglès|nom=Ville|cognom=Hirvonen|editor=https://profoundphysics.com}}</ref>

Explícitament, el tensor mètric és una [[forma bilineal simètrica]] a cada [[espai tangent]] de <math>M</math> que varia de manera suau (o diferenciable) d'un punt a un altre. Donats dos vectors tangents <math>u</math> i <math>v</math> en un punt <math>x</math> en <math>M</math>, la mètrica es pot avaluar <math>u</math> i <math>v</math> per donar un nombre real:<math display="block">g_x(u,v) = g_x(v,u) \in \Reals.</math>Aquesta és una generalització del [[Producte escalar|producte]] escalat de [[Espai euclidià|l'espai euclidià]] ordinari. A diferència de l'espai euclidià &#x2013; on el producte escalat és [[Definició positiva|definit positiu]] &#x2013; la mètrica és indefinida i dona a cada espai tangent l'estructura de [[Espai de Minkowski|l'espai de Minkowski]].<ref>{{Ref-web|url=https://web.mit.edu/edbert/GR/gr1.pdf|títol=ntroduction to Tensor Calculus for General
Relativity|consulta=7-1-2023|llengua=anglès|editor=https://web.mit.edu}}</ref>

La mètrica <math>g</math> determina completament la [[curvatura]] de l'espai-temps. Segons el [[Teorema fonamental de la geometria de Riemann|teorema fonamental de la geometria riemanniana]], hi ha una [[Connexió (matemàtica)|connexió]] única {{Math|∇}} en qualsevol [[Varietat pseudoriemanniana|varietat semi-riemanniana]] que és compatible amb la mètrica i sense [[Torsió d'una connexió|torsió]]. Aquesta connexió s'anomena connexió [[Connexió de Levi-Civita|Levi-Civita]].

Una de les idees bàsiques de la relativitat general és que la mètrica (i la geometria associada de l'espai-temps) està determinada pel contingut de [[matèria]] i [[energia]] de [[Espaitemps|l'espai-temps]]. [[Equacions de camp d'Einstein]]:<math display="block"> R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} \,T_{\mu\nu}</math>on el [[Tensor de Ricci|tensor de curvatura de Ricci]]<math display="block"> R_{\nu \rho} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {R^{\mu}}_{\nu\mu \rho} </math>i la [[Escalar de Ricci|curvatura escalar]]<math display="block"> R \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} </math>relaciona la mètrica (i els tensors de curvatura associats) amb el [[Tensor d'energia-moment|tensor esforç-energia]] <math>T_{\mu\nu}</math>. Aquesta equació [[tensor]] és un conjunt complicat d'[[Equació diferencial en derivades parcials|equacions diferencials parcials]] no lineals per a les components mètriques. [[Solucions exactes|Les solucions exactes]] de les equacions de camp d'Einstein són molt difícils de trobar.

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Relativitat general]]