Mostra la font per a Teorema de Casorati-Weierstrass

En [[anàlisi complexa]], una branca de les [[matemàtiques]], el '''teorema de Casorati–Weierstrass''' descriu el comportament de [[Funció holomorfa|funcions holomorfes]] prop de les seves [[singularitat essencial|singularitats essencials]]. Pren el nom dels matemàtics [[Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] i [[Felice Casorati]]. En la literatura russa, es coneix també com el teorema de [[Yulian Sokhotski|Sokhotski]].

== Enunciat formal del teorema ==
Prenem un [[conjunt obert|subconjunt obert]] <math>U</math> en el [[nombre complex|pla complex]] contenint el punt <math>z_0</math>, i una funció <math>f</math> que és [[funció holomorfa|holomorfa]] en <math>U\setminus \{z_0\}</math>, però que té una sigularitat essencial en <math>z_0</math>. El ''teorema de Casorati-Weierstrass'' enuncia que

{{block indent | em = 1.5 | text = Si <math>V</math> és qualsevol [[entorn (matemàtiques)|entorn]] de <math>z_0</math> contingut en <math>U</math>, aleshores <math>f(V \setminus \{z_0\})</math> és [[conjunt dens|dens]] en <math>\Complex</math>.}}

Això també pot ser enunciat com:
{{block indent | em = 1.5 | text = Per qualsevol <math>\varepsilon > 0, \delta > 0 </math>, i un nombre complex <math>w</math>, existeix un nombre complex <math>z</math> en <math>U</math> amb <math>0<|z-z_0|<\delta</math> i <math>|f(z)-w| < \varepsilon</math>.}}

O encara en termes més descriptius:
{{block indent | em = 1.5 | text = La imatge de <math>f</math> és arbitràriament propera de ''qualsevol'' punt del pla complex, per a tot entorn de <math>z_0</math>.}}

Una versió notablement més forta d'aquest resultat ve donada pel [[Teoremes de Picard (anàlisi complexa)|Teorema de Picard]], que en la notació anterior garanteix que <math>f</math> assoleix ''tots'' els valors complexos, amb una única possible excepció, infinites vegades en <math>V</math>.

En aquest cas que <math>f</math> és una funció entera i <math>a=\infty</math>, el teorema diu que els valors de <math>f(z)</math> s'apropen a tot valor complex i <math>\infty</math>, quan <math>z</math> tendeix a infinit. Cal remarcar, però, que això no és cert per a funcions holomorfes en dimensió superior, tal com mostra el famós exemple de [[Pierre Fatou]].<ref>{{ref-publicació|cognom1=Fatou |nom1=P |títol=Sur les fonctions méromorphes de deux variables |publicació=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris |data=1922|volum=175 |pàgines=862–865|jfm=48.0391.02|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3128v.f862}}
, {{ref-publicació|cognom1=Fatou |nom1=P |títol=Sur certaines fonctions uniformes de deux variables |publicació=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris |data=1922|volum=175 |pàgines=1030–1033|jfm=48.0391.03|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3128v.f1030}}</ref>

[[Fitxer:Essential singularity.png|miniatura|Gràfic de la funció exp({{frac|1|''z''}}), centrada en la singularitat essencial de ''z'' =&nbsp;0. El color representa l'[[Argument (anàlisi complexa)|argument complex]], i la intensitat representa el [[valor absolut]]. Aquest gràfic mostra que, si hom s'apropa arbitràriament a la singularitat, la funció pren qualsevol valor. Aquest és un comportament oposat al que presentaria un [[Pol (anàlisi complexa)|pol]], on es veuria uniformement blanc.]]


== Exemples ==
La funció {{math|1=''f''(''z'') = [[funció exponencial|exp]](1/''z'')}} té una singularitat essencial en 0, però la funció {{math|1=''g''(''z'') = 1/''z''<sup>3</sup>}} no (té un [[Pol (anàlisi complexa)|pol]] al 0).

Considerem la funció
<math display="block">f(z) = e^{1/z}.</math>

Aquesta funció té la següent expansió com a [[sèrie de Laurent]] al voltant de la [[singularitat essencial]] al punt 0:
<math display="block">f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{-n}.</math>

Atès que <math>f'(z) = -\frac{-e^{{1}/{z}}}{z^2}</math> existeix per a tots els punts {{math|1=''z'' ≠ 0}}, sabem que {{math|''f''(''z'')}} és anàlitica en un [[entorn (matemàtiques)|entorn]] de {{math|1=''z'' = 0}} que no contingui aquest punt i, per tant, és una [[singularitat aïllada]]. Encara més, es tracta d'una [[singularitat essencial]], ja que la sèrie de Laurent conté un nombre infinit de termes amb grau negatiu.

Usant un canvi de variables a [[coordenades polars]] <math>z=re^{i \theta }</math> la nostra funció, {{math|1=''f''(''z'') = ''e''<sup>1/''z''</sup>}} esdevé: 
<math display="block">f(z)=e^{\frac{1}{r}e^{-i\theta}}=e^{\frac{1}{r}\cos(\theta)}e^{-\frac{1}{r}i \sin(\theta)}.</math>

Prenent [[valor absolut]] en ambdós costats:
<math display="block">\left| f(z) \right| = \left| e^{\frac{1}{r}\cos \theta} \right| \left| e^{-\frac{1}{r}i \sin(\theta)} \right | =e^{\frac{1}{r}\cos \theta}.</math>

Aleshores, per valors de <math>\theta</math> tal que <math>\cos \theta > 0</math>, tenim <math>f(z) \to \infty</math> quan <math>r \to 0</math>, i per <math>\cos \theta < 0</math>, <math>f(z) \to 0</math> quan <math>r \to 0</math>.

Considerem què succeeix, per exemple, quan ''z'' pren valors en un cercle de diàmetre {{math|1/''R''}} tangent a l'eix imaginari, descrit per {{math|1=''r'' = (1/''R'') cos ''θ''}}. Aleshores, 
<math display="block">f(z) = e^{R} \left[ \cos \left( R\tan \theta \right) - i \sin \left( R\tan \theta \right) \right] </math>
i en particular
<math display="block">\left| f(z) \right| = e^R.</math>

Llavors, <math>\left| f(z) \right|</math> pot prendre qualsevol valor positiu per a una tria adient de ''R''. Com <math>z \to 0</math> en el cercle, <math display="inline"> \theta \to \frac{\pi}{2}</math> amb ''R'' fixat. Així que aquesta part de l'equació
<math display="block">\left[ \cos \left( R \tan \theta \right) - i \sin \left( R \tan \theta \right) \right] </math>
pren tots els valors en el [[cercle unitat]] infinites vegades. En conseqüència, {{math|''f''(''z'')}} pren el valor de tot nombre del [[pla complex]], excepte el zero, infinites vegades.

== Demostració del teorema ==
Una prova breu del teorema és la següent:

Sigui {{math|''f''}} una [[funció holomorfa]] en un entorn punxat <math>V\setminus \{z_0\}</math>, i tal que <math>z_0</math> n'és singularitat essencial. Suposem a fi d'arribar a contradicció que existeix algun valor {{mvar|b}} al qual la imatge de la funció no s'hi apropa. És a dir, suposem que existeix un nombre complex {{mvar|b}} i un <math>\varepsilon >0 </math> tal que <math> | f(z) - b | > \varepsilon </math> per a tot {{mvar|z}} en {{mvar|V}} on {{mvar|f}} està definida.

Aleshores, la nova funció definida per
<math display="block">g(z) = \frac{z-z_0}{f(z) - b}</math>
és holomorfa en <math>V\setminus \{z_0\}</math>. Encara més

<math display="block"> \lim_{z\to z_0} g(z) = 0, </math>
de manera que {{math|''g''}} té una singularitat evitable en <math>z=z_0</math>. Per tant, prenent <math>g(z_0)=0</math>, tenim que {{math|''g''}} és holomorfa en tot <math>V</math>.

Llavors, al voltant d'aquest punt on {{math|''g''}} val 0, podem expressar
<math display="block"> g(z) = \frac{z-z_0}{f(z)-b} = (z-z_0)^m h(z) </math>

on {{math|''h''}} és una funció holomorfa en <math>V</math> que no s'anul·la en <math>z_0</math>, i <math>m\geq 1</math> és l'ordre del zero de {{math|''g''}} en <math>z_0</math>. En conseqüència, tenim

<math display="block"> f(z) = b + \frac{(z-z_0)^{1-m}}{h(z)} </math>

Així, si <math>m=1</math> llavors {{math|''f''}} té una singularitat evitable en <math>z=z_0</math> i, si <math> m > 1 </math>, té un pol d'ordre <math>m-1</math> en <math>z=z_0</math>. Això contradiu el fet que aquest punt <math>z_0</math> era una singularitat essencial de la funció {{math|''f''}}, de manera que queda provat el teorema.

== Conseqüències ==
Un corol·lari immediat (per eliminació) del resultat anterior és el següent:

Sigui ''f'' una funció holomorfa que té una singularitat aïllada en <math>z=z_0</math>. Si ''f'' està [[Funció fitada|acotada en mòdul]] en un entorn d'aquest punt, és a dir, si existeixen <math>r,M > 0 </math> tals que 
<math display="block"> |f(z)| \leq M \qquad \forall z \in D_{z_0}(r) \setminus \{z_0\} </math>
Aleshores, ''f'' té una '''singularitat evitable''' en <math>z=z_0</math>.

La demostració és clara, atès que si fos una [[singularitat essencial]] la imatge de ''f'' no pot estar acotada, ja que no seria [[conjunt dens|densa]]. A més, tampoc pot tractar-se d'una singularitat del tipus [[Pol (anàlisi complexa)|pol]], ja que en aquest cas sabem que <math>\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty</math>, contradient de nou la condició d'estar [[Funció fitada|acotada en mòdul]] en un entorn del punt <math> z_0</math>. Per tant, per eliminació es té la conclusió enunciada.

== Història ==
La història d'aquest important teorema està descrita per [[Edward Collingwood|Collingwood]] i [[Arthur J. Lohwater|Lohwater]].<ref name="CV">{{ref-llibre|nom1=E|cognom1=Collingwood|nom2=A |cognom2=Lohwater|títol=The theory of cluster sets|editorial=[[Cambridge University Press]]|any=1966}}</ref> Va ser publicada per Weierstrass el 1876 (en alemany), i per Sokhotski el 1868 en la seva tesi (en rus). Així doncs, el resultat és conegut com a teorema de Sokhostski en la literatura russa, mentre que s'anomena teorema de Weierstrass en la literarua occidental. El mateix teorema va ser publicat també per Casorati el 1868, i per Briot i Bouquet en la ''primera edició'' del seu llibre el 1859.<ref name="BB">{{ref-llibre|nom1=Ch|cognom1= Briot|nom2=C|cognom2=Bouquet|títol=Theorie des fonctions doublement periodiques, et en particulier, des fonctions elliptiques|url=https://archive.org/details/thoriedesfoncti01chagoog | place=Paris |any=1859}}</ref> Tanmateix, Briot i Bouquet van ''excloure'' aquest teorema en la segona edició (1875).

== Referències ==
{{Referències}}

* Section 31, Theorem 2 (pp. 124–125) of {{citar ref|cognom=Knopp
|nom=Konrad
|enllaçautor=Konrad Knopp
|títol=Theory of Functions
|editorial=[[Dover Publications]]
|any=1996
| isbn=978-0-486-69219-7
}}

{{ORDENA:Casorati-Weierstrass theorem}}
[[Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica|Casorati-Weierstrass]]