Mostra la font per a Teorema de Descartes

{{Polisèmia}}
En [[geometria]], el '''teorema de Descartes''' estableix que si quatre [[circumferències]] són mútuament [[tangent]]s, els radis de les circumferències compleixen una determinada [[equació quadràtica]]. Resolent aquesta equació, es pot construir una quarta circumferència tangent a tres de donades, mútuament tangents entre elles. El teorema duu el nom de [[René Descartes]], que el va anunciar el 1643.

== Història ==
Els problemes geomètrics que involucren circumferències tangents han estat estudiats durant mil·lennis. A l'antiga Grècia del {{segle|III|-}}, [[Apol·loni de Perge]] dedicà un llibre sencer a aquest tema.

[[René Descartes]] tractà el problema breument el 1643, en una carta a la princesa [[Elisabet del Palatinat]]. Trobà essencialment la mateixa solució que la donada a l'{{EquationNote|1|equació (1)}} més avall, així que posà el seu nom al teorema. El 1886, R. Lachlan estengué el teorema a esferes en un espai tridimensional.

[[Frederick Soddy]] redescobrí l'equació el 1936 i presentà el resultat en forma de poema a la revista ''[[Nature (revista)|Nature]]'' (20 de juny de 1936). El poema, escrit en anglès, es titulava ''The&nbsp;Kiss Precise'' (El bes precís) i Soddy hi utilitzava la [[metàfora]] del bes per a descriure dues circumferències tangents. Encara de vegades es fa servir el terme ''circumferències de Soddy'' per referir-se a les circumferències del problema. Soddy també estengué el teorema a esferes i [[Thorold Gosset]] el generalitzà a dimensió arbitrària.

== Enunciat ==
[[Fitxer:Descartes Circles.svg|miniatura|Circumferències tangents. Donades tres circumferències mútuament tangents ({{color|black|'''negre'''}}), quin radi ha de tenir una quarta circumferència tangent? En general hi ha dues respostes possibles ({{color|red|'''roig'''}}).]]

La manera més simple d'enunciar el teorema de Descartes és utilitzant la [[curvatura]] de les circumferències. La curvatura d'una circumferència és, per definició, ''k'' =&nbsp;±1/''r'', on ''r'' n'és el radi. Com més gran és la circumferència, més petita és la [[Magnitud (matemàtiques)|magnitud]] de la seva curvatura, i viceversa.

El signe positiu a ''k'' =&nbsp;±1/''r'' correspon a una circumferència tangent ''exteriorment'' a altres circumferències, com les tres circumferències negres a la imatge. Per una circumferència tangent ''internament'' com la circumferència vermella més gran, que ''circumscriu'' altres circumferències, s'aplica el signe negatiu.

Si quatre circumferències són tangents entre elles en sis punts diferents i les circumferències tenen curvatures ''k''<sub>''i''</sub> (per ''i'' =&nbsp;1, ..., 4), el teorema de Descartes estableix que:

{{NumBlk|:|<math>(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).</math>|{{EquationRef|1}}}}

Quan es vol trobar el radi d'una quarta circumferència tangent a tres circumferències mútuament tangents donades, és millor reescriure l'equació de la forma:

{{NumBlk|:|<math> k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1}. \,</math>|{{EquationRef|2}}}}

El símbol ± reflecteix el fet que en general hi ha dues solucions. Tret del cas degenerat en què hi ha una recta, una solució és positiva i l'altra pot ser positiva o negativa; si és negativa, representa una circumferència que circumscriu les tres primeres (com es mostra en el diagrama de més amunt).

Altres criteris, segons el problema, poden fer que se seleccioni una circumferència resolutòria o l'altra.

== Casos especials ==
[[Fitxer:KissingCircles2.png|miniatura|Una de les circumferències és substituïda per una recta de curvatura zero. El teorema de Descartes se segueix complint.]]
[[Fitxer:Three "Kissing" Circles without Appolonian Circles PNG.png|miniatura|Aquí, com que les tres circumferències són tangents mútuament al mateix punt, no es pot aplicar el teorema de Descartes.]]

Si una de les tres circumferències és substituïda per una recta, llavors una ''k''<sub>''i''</sub>, per exemple ''k''₃, és zero i desapareix de l'{{EquationNote|1|equació (1)}}. En aquest cas, l'{{EquationNote|2|equació (2)}} queda força més simple:

{{NumBlk|:|<math>k_4=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.</math>|{{EquationRef|3}}}}

Si se substitueixen dues circumferències per rectes, la tangència entre les dues circumferències substituïdes es converteix en paral·lelisme entre les dues rectes. Perquè les quatre línies segueixin sent mútuament tangents, les altres dues circumferències han de ser congruents. En aquest cas, amb ''k''₂&nbsp;= ''k''₃&nbsp;=&nbsp;0, l'{{EquationNote|2|equació (2)}} es redueix a la igualtat trivial:
:<math>\displaystyle k_4=k_1.</math>
No és possible substituir tres circumferències per rectes, ja que no és possible que tres rectes i una circumferència siguin mútuament tangents.
El teorema de Descartes no es pot aplicar quan les quatre circumferències són tangents entre elles al mateix punt.

Un altre cas especial és quan les ''k<sub>i</sub>'' són quadrats,

: <math>(v^2+x^2+y^2+z^2)^2=2\,(v^4+x^4+y^4+z^4) </math>

Euler demostrà que això és equivalent a tres [[Terna pitagòrica|ternes pitagòriques]] simultànies,

: <math>(2vx)^2+(2yz)^2 =\, (v^2+x^2-y^2-z^2)^2 </math>
: <math>(2vy)^2+(2xz)^2 =\, (v^2-x^2+y^2-z^2)^2 </math>
: <math>(2vz)^2+(2xy)^2 =\, (v^2-x^2-y^2+z^2)^2 </math>

i se'n pot donar una [[solució paramètrica]]. Quan es pren el signe negatiu d'una curvatura,

: <math>(-v^2+x^2+y^2+z^2)^2=2\,(v^4+x^4+y^4+z^4) </math>

es pot trobar la solució<ref>[http://sites.google.cat/site/tpiezas/017 A Collection of Algebraic Identities: Sums of Three or More 4th Powers]{{Enllaç no actiu|date=de febrer 2024 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

: <math>[v, x, y, z] =\, [2(ab-cd)(ab+cd), (a^2+b^2+c^2+d^2)(a^2-b^2+c^2-d^2), 2(ac-bd)(a^2+c^2), 2(ac-bd)(b^2+d^2)] </math>

on

: <math>a^4+b^4 =\, c^4+d^4 </math>

I aquesta és una equació les solucions paramètriques de la qual són conegudes.

== Teorema de Descartes complex ==
Per determinar completament una circumferència, no només se n'ha de conèixer el radi (o la curvatura), sinó que també el centre. L'equació necessària s'expressa més clarament si les coordenades (''x'', ''y'') s'interpreten com un [[nombre complex]] ''z'' = ''x'' +&nbsp;i''y''. L'equació que queda és similar a la del teorema de Descartes i per això s'anomena '''teorema de Descartes complex'''.

Donades quatre circumferències amb curvatures ''k''<sub>''i''</sub> i centres ''z''<sub>''i''</sub> (per ''i'' =&nbsp;1...4), es compleix, a més de l'{{EquationNote|1|equació (1)}}, la igualtat següent:

{{NumBlk|:|<math>(k_1z_1+k_2z_2+k_3z_3+k_4z_4)^2=2\,(k_1^2z_1^2+k_2^2z_2^2+k_3^2z_3^2+k_4^2z_4^2).</math>|{{EquationRef|4}}}}

Una vegada s'ha trobat ''k''₄ mitjançant l'{{EquationNote|2|equació (2)}}, es pot procedir calculant ''z''₄ reescrivint l'{{EquationNote|4|equació (4)}} d'una forma similar a l'{{EquationNote|2|equació (2)}}:
:<math>z_4 = \frac{z_1 k_1 + z_2 k_2 + z_3 k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 z_1 z_2 + k_2 k_3 z_2 z_3 + k_1 k_3 z_1 z_3} }{k_4}.</math>

Altra vegada, en general hi ha dues solucions per ''z''₄, corresponents a les dues solucions per ''k''₄.

== Generalitzacions ==
La generalització a ''n'' dimensions és anomenada de vegades '''teorema de Soddy–Gosset''', malgrat que fou demostrat per R. Lachlan el 1886. En un [[espai euclidià]] {{math|''n''}}-dimensional, el màxim d'[[n-esfera|{{math|(''n'' &minus; 1)}}-esferes]] mútuament tangents és de {{math|''n'' + 2}}. Per exemple, a l'espai tridimensional hi poden haver fins a cinc esferes mútuament tangents. Les curvatures de les hiperesferes satisfan
: <math>\left(\sum_{i=1}^{n+2} k_i\right)^2 = n\,\sum_{i=1}^{n+2} k_i^2</math>
amb el cas {{math|1=''k<sub>i</sub>'' = 0}} corresponent a un [[hiperplà]], en [[analogia]] exacta amb la versió bidimensional del teorema.

Malgrat que no existeix una versió tridimensional dels nombres complexos, la relació entre les posicions dels centres es pot expressar com a [[equació matricial]], que també es generalitza a {{math|''n''}} dimensions.<ref>{{ref-publicació|títol=Beyond the Descartes Circle Theorem|autors=Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks|publicació=The American Mathematical Monthly|volum=109|exemplar=4|data=abril 2002|pàgines=338–361|jstor=2695498}}</ref>

== Vegeu també ==
* [[Problema d'Apol·loni]]
* [[Geometria de l'esfera de Lie]]
* [[Circumferències de Ford]]
* [[Tamís apol·lonià]]
* [[Sextet de Soddy]]
* [[Punt isoperimètric]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Eppstein.shtml Aplicació interactiva que mostra quatre circumferències mútuament tangents] a [[cut-the-knot]]
* [http://www.pballew.net/soddy.html ''The Kiss Precise''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080118112427/http://www.pballew.net/soddy.html |date=2008-01-18}}, text i explicació (en anglès)
* [http://arxiv.org/abs/math/0101066 Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem]

{{ORDENA:Teorema de Descartes}}
[[Categoria:Geometria euclidiana]]
[[Categoria:Teoremes de geometria|Descartes]]