Mostra la font per a Teorema de Fermat (punts estacionaris)

::''Aquest article es refereix al teorema de Fermat per als punts estacionaris, vegeu aquí: l'[[Últim teorema de Fermat]]''
[[Fitxer:Máximos y mínimos.svg|miniatura|La derivada s'anul·la en els màxims i mínims locals, per la qual cosa la tangent és horitzontal.]]
El '''teorema de Fermat''' és un [[teorema]] d'[[anàlisi matemàtica]], anomenat així en honor de [[Pierre de Fermat]]. Dona un mètode per a trobar els [[màxims i mínims]] locals de les [[derivada|funcions derivables]].<ref>{{Ref-web|url=https://conceptodefinicion.de/teorema-de-fermat/|títol=Teorema de Fermat|consulta=2018-12-27|llengua=es|data=2016-03-31}}</ref> El teorema estableix que cada extrem local és un [[punt estacionari]] de la funció (la funció [[derivada]] val zero en aquest [[Punt (geometria)|punt]]). Per tant, emprant el teorema de Fermat, el problema de trobar els extrems locals d'una funció es redueix al problema de resoldre una [[equació]].

És important aclarir que el teorema de Fermat només dona una [[condició necessària]] perquè un punt sigui extrem local. És a dir, alguns punts estacionaris, no són extrems (hi ha punts d'inflexió). Per a verificar si un punt estacionari és un extrem local i saber si es tracta d'un màxim o d'un mínim cal analitzar la [[derivada segona]] i de vegades les derivades d'ordre superior (si existeixen).

== Teorema de Fermat ==
El teorema de Fermat s'expressa com:<ref>{{Ref-publicació|títol=Analyse - Premières notions fondamentales|autor=Abdou Kouider Ben-Naoum|publicació = Presses universitaires de Louvain |any=2007|url={{Google Books|ql3QRzEnbfEC|page=107}}|pàgina=107}}.</ref><ref>{{ref-web |url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_d%27une_variable_r%C3%A9elle/D%C3%A9rivabilit%C3%A9#Th%C3%A9or%C3%A8mes_sur_la_d%C3%A9rivation |títol=Fonctions d'une variable réelle : Dérivabilité |obra=Wikiversity}}</ref>
{{teorema|Sigui <math>f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}</math> una [[funció matemàtica|funció]] i sigui <math>\displaystyle x_0 \in (a,b)</math> un extrem local de <math>\displaystyle f</math>. Si <math>\displaystyle f</math> és derivable a <math>\displaystyle x_0</math> llavors <math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>. | [[Pierre de Fermat]]}}

== Applicació a l'optimització ==
{{Vegeu també|màxims i mínims}}
Com a corol·lari, un extrem global d'una fuinció ''f'' en un domini ''A'' només pot ser: a les fronteres, als punts no derivables o als punts estacionaris.
Si <math>x_0</math> és un extrem global de ''f'', llavors alguna de les següents afirmacions és certa:
* '''frontera:''' <math>x_0</math> és a la frontera de ''A''
* '''no derivable:''' ''f'' no és derivable a <math>x_0</math>
* '''punt estacionari:''' <math>x_0</math> és un punt estacionari de ''f''

== Demostració ==
Se suposarà que <math>\displaystyle x_0</math> és un màxim local (una demostració similar es pot fer si <math>\displaystyle x_0</math> és un mínim local). Llavors <math>\exists \, \delta > 0 </math> tal que <math>(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)</math> i tal que es té <math>f(x_0) \ge f(x)\, \forall x</math> amb <math>\displaystyle |x - x_0| < \delta </math>. Per tant, per a qualsevol <math>h \in (0,\delta)</math> es compleix que

:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.</math>

Com que el [[límit d'una funció|límit]] d'aquesta fracció quan <math>\displaystyle h</math> tendeix a 0 per l'esquerra existeix i és igual a <math>\displaystyle f'(x_0)</math> s'arriba a la conclusió de què <math>f'(x_0) \le 0</math>. Per altra banda quan <math>h \in (-\delta,0)</math> es compleix que

:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0</math>

Altre cop el límit quan <math>\displaystyle h</math> tendeix a zero per l'esquerra existeix i és igual a <math>\displaystyle f'(x_0)</math> per tant resulta que <math>f'(x_0) \ge 0</math>.

En conclusió ha de ser <math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>.

== Referències ==
{{referències}}

== Vegeu també ==
* [[Punt d'inflexió]]

{{ORDENA:Teorema De Fermat (Punts Estacionaris)}}
[[Categoria:Derivació]]
[[Categoria:Matemàtica aplicada]]
[[Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica|Fermat (punts estacionaris)]]