Mostra la font per a Teorema de Noether

El '''teorema de Noether''', o el '''primer teorema de Noether''',<ref group="Nota">Això de vegades es coneix com el ''primer teorema de Noether''. Vegeu el segon '''teorema de Noether'''.</ref> estableix que tota [[Simetria en física|simetria]] [[Funció diferenciable|diferenciable]] de l'[[Acció (física)|acció]] d'un [[sistema físic]] amb [[Força conservativa|forces conservatives]] té una [[llei de conservació]] corresponent.

El teorema pot expressar de la següent manera:

{{cita|''A qualsevol simetria diferenciable generada per accions locals li correspon una i només una quantitat conservada.''}}

En altres paraules, el que afirma aquest teorema és que qualsevol simetria d'un sistema físic està associada a una magnitud física que es conserva en aquest sistema (és a dir, roman igual). El teorema permet derivar la quantitat física conservada a partir de la condició d'invariància que defineix la simetria.

El [[teorema]] va ser provat per la [[Matemàtiques|matemàtica]] [[Alemanys|alemanya]] [[Emmy Noether]] el 1915 i publicat el 1918 a [[Göttingen]],{{sfn|Noether|1918|p=235-257}} i va ser anomenat per [[Albert Einstein]] ''«monument del pensament matemàtic»'' en una carta enviada a [[David Hilbert]] en suport de la carrera de la matemàtica.{{sfn|Lederman|Hill|2008|p=73}}

<gallery mode="packed" heights="300">
Fitxer:Noether.jpg|[[Emmy Noether]] (1882-1935) va ser una matemàtica alemanya coneguda per les seves principals contribucions a l'[[àlgebra abstracta]] i la [[física teòrica]].
Fitxer:Noether theorem 1st page.png|Primera pàgina de l'article d'Emmy Noether ''Invariante Variationsprobleme'' (1918), on va demostrar el seu teorema
</gallery>

L'acció d'un sistema físic és la [[Integració|integral]] al llarg del temps d'una [[Formulació lagrangiana|funció lagrangiana]], a partir de la qual el comportament del sistema es pot determinar pel [[principi de mínima acció]]. Aquest teorema només s'aplica a simetries contínues i suaus sobre l'espai físic.

El teorema de Noether s'utilitza en la [[física teòrica]] i el [[càlcul de variacions]]. Una generalització de les formulacions sobre [[Integral de moviment|constants del moviment]] en [[Formulació lagrangiana|mecànica lagrangiana]] i [[Formulació hamiltoniana|hamiltoniana]] (desenvolupada el 1788 i el 1833, respectivament), no s'aplica als sistemes que no es poden modelar només amb un lagrangià (per exemple, sistemes amb una [[funció de dissipació de Rayleigh]]). En particular, els sistemes [[Dissipació|dissipatius]] amb [[Simetria contínua|simetries contínues]] no necessiten tenir una llei de conservació corresponent.

== Il·lustracions bàsiques i rerefons ==
A tall d'il·lustració, si un [[sistema físic]] es comporta igual independentment de com estigui orientat a l'[[espai]], el seu [[Mecànica lagrangiana|Lagrangià]] és [[Simetria|simètric]] en [[Rotació (matemàtiques)|rotacions]] contínues; a partir d'aquesta simetria, el teorema de Noether dicta que es conserva el [[moment angular]] del sistema, com a conseqüència de les seves [[Lleis de Newton|lleis del moviment]].{{sfn|José|Saletan|1988|p=126-127}} El sistema físic en si no ha de ser simètric; un [[asteroide]] irregular que cau a l'espai conserva el moment angular malgrat la seva asimetria. Són les lleis del seu moviment les que són simètriques.

Com a altre exemple, si un procés físic presenta els mateixos resultats independentment del lloc o del temps, aleshores el seu Lagrangià és simètric sota [[Translació (geometria)|translacions]] contínues en l'espai i el temps respectivament; segons el teorema de Noether, aquestes simetries expliquen les [[Llei de conservació|lleis de conservació]] del [[Quantitat de moviment|moment lineal]] i l'[[energia]] dins d'aquest sistema, respectivament.{{sfn|Hand|Finch|1998|p=23}}{{sfn|Thornton|Marion|2004|p=261}}

El teorema de Noether és important, tant per la visió que ofereix sobre les [[Llei de conservació|lleis de conservació]], com també com a eina pràctica de [[Càlcul (matemàtiques)|càlcul]]. Permet als investigadors determinar les quantitats conservades (invariants) a partir de les simetries observades d'un sistema físic.{{sfn|José|Saletan|1988|p=126-127}} Per contra, permet als investigadors considerar classes senceres de Lagrangians hipotètics amb invariants donats, per descriure un sistema físic. Com a il·lustració, suposem que es proposa una teoria física que conserva una quantitat ''X''. Un investigador pot calcular els tipus de lagrangians que conserven ''X'' mitjançant una simetria contínua. A causa del teorema de Noether, les propietats d'aquests Lagrangians proporcionen criteris addicionals per entendre les implicacions i jutjar l'adequació de la nova teoria.

Hi ha nombroses versions del teorema de Noether, amb diferents graus de generalitat. Hi ha homòlegs [[Mecànica quàntica|quàntics]] naturals d'aquest teorema, expressats en les [[Identitat de Ward-Takahashi|identitats de Ward-Takahashi]]. També existeixen generalitzacions del teorema de Noether als [[Superespai|superespais]].<ref>{{ref-publicació|cognom=De Azcárraga|nom=J. A.|cognom2=Lukierski|nom2=J.|cognom3=Vindel|nom3=P.|data=1 de juliol de 1986 |article=Superfields and canonical methods in superspace|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732386000385|publicació=Modern Physics Letters A|volum=1(4)|pàgina=293-302|doi=10.1142/S0217732386000385|bibcode=1986MPLA....1..293D|issn=0217-7323 |llengua=anglès}}</ref>

== Enunciat informal del teorema ==
Deixant de banda tots els punts tècnics, el teorema de Noether es pot afirmar de manera informal:{{sfn|Thompson|1994|p=5}}

{{cita|''Si un sistema té una propietat de simetria contínua, llavors hi ha magnituds corresponents els valors de les quals es conserven en el temps.''}}

Una versió més sofisticada del teorema que inclou [[Camp (física)|camps]] afirma que:

{{cita|''A tota [[Simetria en física|simetria]] diferenciable generada per accions locals li correspon un [[corrent conservat]].''}}

La paraula ''«simetria»'' de l'enunciat anterior es refereix amb més precisió a la [[Covariança general|covariància]] de la forma que pren una [[Llei científica|llei física]] respecte a transformacions d'un [[grup de Lie]] unidimensional que compleixen certs criteris tècnics. La [[llei de conservació]] d'una [[magnitud física]] sol expressar-se com una [[equació de continuïtat]].

La demostració formal del teorema utilitza la condició d'invariància per derivar una expressió per a un corrent associat a una magnitud física conservada. En terminologia moderna (des de c. 1980),<ref group="Nota">El terme ''«càrrega Noether»'' apareix a Seligman, ''Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City'', American Institute of Physics, 1981. Va entrar en un ús més ampli durant la dècada del 1980, com per exemple en G. Takeda en: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) ''From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman'', 1985, p. 196.</ref> la quantitat conservada s'anomena ''«càrrega de Noether»'', mentre que el flux que transporta aquesta càrrega s'anomena ''«corrent de Noether»''. El corrent de Noether es defineix [[Llevat de|llevat d'un]] [[camp vectorial]] [[Solenoide|solenoïdal]] (sense [[divergència]]).

En el context de la gravitació, l'enunciat de [[Felix Klein]] del teorema de Noether per a l'acció ''I'' estipula per als invariants:{{sfn|Byers|1998}}

{{cita|''Si una integral I és invariant sota un grup continu G'<sub>ρ</sub> amb ρ paràmetres, llavors les ρ combinacions linealment independents de les expressions lagrangianes són divergències.''}}

== Breu il·lustració i visió general del concepte ==
La idea principal darrere del teorema de Noether s'il·lustra més fàcilment amb un sistema amb una coordenada <math>q</math> i una simetria contínua <math> \varphi: q \mapsto q + \delta q </math> (<small>''fletxes grises al diagrama''</small>). Considerem qualsevol trajectòria <math>q(t)</math> (<small>''negreta al diagrama''</small>) que compleix les [[Equacions d'Euler-Lagrange|lleis del moviment]] del sistema. És a dir, l'[[Acció (física)|acció]] <math>S</math> que governa aquest sistema és [[Punt estacionari|estacionari]] en aquesta trajectòria, és a dir, no canvia sota cap [[Càlcul de variacions|variació]] local de la trajectòria. En particular, no canviaria sota una variació que aplica el flux de simetria <math>\varphi</math> en un segment temporal <math>[t_0,t_1]</math> i està immòbil fora d'aquest segment. Per mantenir la trajectòria contínua, fem servir períodes ''«d'amortització»'' de poc temps <math>\tau</math> per a la transició gradual entre els segments.

<gallery mode="packed" heights="500">
Fitxer:Noether theorem scheme.png|Gràfic que il·lustra el teorema de Noether per a una simetria de coordenades
</gallery>

El canvi total en l'acció <math>S</math> ara inclou els canvis produïts per cada interval en la recreació. Les parts, on la variació mateixa s'esvaeix, no ofereixen cap <math>\Delta S</math>. La part mitjana tampoc canvia l'acció, perquè la seva transformació <math>\varphi</math> és una simetria i, per tant, conserva el Lagrangià <math>L</math> i l'acció <math display="inline"> S = \int L </math>. Les úniques parts restants són les peces ''«d'amortització»''. A grans trets, contribueixen principalment a través de la seva ''«''inclinació''»'' <math>\dot{q}\rightarrow \dot{q}\pm \delta q / \tau</math>.

Això canvia el Lagrangià per <math>\Delta L \approx \bigl(\partial L/\partial \dot{q}\bigr)\Delta \dot{q} </math>, que s'integra a
<math display="block">\Delta S =
 \int \Delta L \approx \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Delta \dot{q} \approx
 \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\left(\pm \frac{\delta q}{\tau}\right) \approx
 \ \pm\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q =
 \pm\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi.
</math>

Aquests últims termes, avaluats al voltant dels punts finals <math>t_0</math>i <math>t_1</math>, haurien de cancel·lar-se mútuament per tal de fer el canvi total de l'acció <math>\Delta S</math> sigui zero, com s'esperaria si la trajectòria fos una solució. Això és

<math display="block">
 \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi\right)(t_0) =
 \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \varphi\right)(t_1),
</math>

que significa que la quantitat <math>\left(\partial L /\partial \dot{q}\right)\varphi</math> es conserva, que és la conclusió del teorema de Noether. Per exemple, si les translacions pures de <math>q</math> per una constant són la simetria, llavors la quantitat conservada esdevé just <math>\left(\partial L/\partial \dot{q}\right) = p</math>, l'impuls canònic.

Els casos més generals segueixen la mateixa idea:
* Quan més coordenades <math>q_r</math> pateixin una transformació de simetria <math>q_r \mapsto q_r + \varphi_r</math>, els seus efectes se sumen per linealitat a una quantitat conservada <math display="inline">\sum_r \left(\partial L/\partial \dot{q}_r\right)\varphi_r</math>.
* Quan hi ha transformacions de temps <math>t \mapsto t + T</math>, fan que els segments ''«d'amortització»'' aportin els dos termes següents a <math>\Delta S</math>:
<math display="block">\Delta S \approx
 \pm \left(TL + \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r}\Delta \dot{q}_r\right) \approx
 \pm T \left(L - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r}\dot{q}_r\right),
</math>
:el primer terme es deu a l'estirament en la dimensió temporal del segment ''«d'amortització»'' (que canvia la mida del domini d'integració), i el segon és a causa de la seva ''«inclinació»'' igual que en el cas exemplar. Junts afegeixen un sumand <math display="inline">T \left(L - \sum_r \left(\partial L/\partial \dot{q}_r\right)\dot{q}_r\right)</math> a la quantitat conservada.
* Finalment, quan en lloc d'una trajectòria <math>q(t)</math> es consideren camps sencers <math>\psi(q_r,t)</math>, l'argument substitueix 
** l'interval <math>[t_0,t_1]</math> amb una regió delimitada <math>U</math> del domini <math>(q_r,t)</math>,
** els punts finals <math>t_0</math> i <math>t_1</math> amb el límit <math>\partial U</math> de la regió,
** i la seva contribució a <math>\Delta S</math> s'interpreta com un flux d'un [[corrent conservat]] <math>j_r</math>, que es construeix d'una manera anàloga a la definició prèvia d'una quantitat conservada.
:Ara, la contribució zero de ''«l'amortització»'' <math>\partial U</math>a <math>\Delta S</math> s'interpreta com la desaparició del flux total del corrent <math>j_r</math> a través de <math>\partial U</math>. Aquest és el sentit en què es conserva: quant ''«flueix»'' cap a dins, igual que ''«flueix»'' cap a fora.

== Context històric ==
{{AP|Constant del moviment|Llei de conservació}}
Una [[llei de conservació]] estableix que alguna quantitat ''X'' en la descripció matemàtica de l'evolució d'un sistema es manté constant al llarg del seu moviment: és invariant. Matemàticament, la relació de canvi de ''X'' (la seva [[derivada]] respecte al temps) és zero, 

:<math>\frac{dX}{dt} = \dot{X} = 0 ~.</math>

Es diu que aquestes quantitats es conserven; sovint s'anomenen [[Integral de moviment|constants del moviment]] (tot i que el [[moviment]] ''per se'' no ha d'estar implicat, només l'evolució en el temps). Per exemple, si l'[[energia]] d'un sistema es conserva, la seva energia és [[Invariant (física)|invariant]] en tot moment, la qual cosa imposa una restricció al moviment del sistema i pot ajudar a resoldre'l. A part de les idees que aquestes constants del moviment donen a la naturalesa d'un sistema, són una eina de càlcul útil; per exemple, una solució aproximada es pot corregir trobant l'estat més proper que compleixi les lleis de conservació adequades.

Les primeres constants del moviment descobertes van ser el ''[[Quantitat de moviment|momentum]]'' i l'[[energia cinètica]], que van ser proposades al segle {{XVII}} per [[René Descartes]] i [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] sobre la base d'experiments de [[col·lisió]], i perfeccionades pels investigadors posteriors. [[Isaac Newton]] va ser el primer a enunciar la conservació de l'impuls en la seva forma moderna, i va demostrar que era una conseqüència de la [[tercera llei de Newton]]. Segons la [[relativitat general]], les [[Llei de conservació|lleis de conservació]] del [[Quantitat de moviment|moment lineal]], l'[[energia]] i el [[moment angular]] només són exactament certes globalment quan s'expressen en termes de la suma del [[tensor d'energia-moment]] (tensor d'energia no gravitacional) i el [[Pseudotensor estrès-energia-momentum|pseudotensor de Landau-Lifshitz]] (tensor d'energia gravitacional). La conservació local del moment lineal i l'energia no gravitacionals en un marc de referència en [[caiguda lliure]] s'expressa mitjançant la desaparició de la [[divergència]] [[Covariància|covariant]] del tensor d'energia-moment. Una altra quantitat conservada important, descoberta en estudis de la [[mecànica celeste]] dels [[Objecte astronòmic|cossos astronòmics]], és el [[Vector de Runge-Lenz|vector de Laplace-Runge-Lenz]].

A finals del segle {{XVIII}} i principis del {{XIX}}, els [[Física|físics]] van desenvolupar mètodes més sistemàtics per descobrir invariants. Un avenç important es va produir el 1788 amb el desenvolupament de la [[Formulació lagrangiana|mecànica lagrangiana]], que està relacionada amb el [[principi de mínima acció]]. En aquest enfocament, l'estat del sistema és pot descriure mitjançant qualsevol tipus de [[coordenades generalitzades]] '''q'''; les lleis del moviment no cal expressar-se en un [[sistema de coordenades cartesianes]], com era habitual en la [[Mecànica clàssica|mecànica newtoniana]]. L'acció es defineix com la integral de temps ''I'' d'una funció coneguda com a ''L lagrangiana''

:<math>I = \int L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \, dt ~,</math>

on el punt sobre '''q''' indica la [[Ràtio|relació]] de canvi de les coordenades '''q''',

:<math>\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} ~.</math>

El [[principi de Hamilton]] estableix que la [[Trajectòria (cinemàtica)|trajectòria]] física '''q'''(''t'') (la que realment fa el sistema) és una trajectòria per a la qual les variacions infinitesimals d'aquesta trajectòria no provoquen cap canvi en ''I'', almenys fins al primer ordre. Aquest principi dona lloc a les [[equacions d'Euler-Lagrange]],

:<math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} ~.</math>

Així, si una de les coordenades, per exemple ''q<sub>k</sub>'', no apareix al Lagrangià, el costat dret de l'equació és zero i el costat esquerre requereix que

:<math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) = \frac{dp_k}{dt} = 0~,</math>

on el ''[[Quantitat de moviment|momentum]]''

:<math> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </math>

es conserva durant tot el moviment (a la trajectòria física).

Així, l'absència de la coordenada ''«ignorable»'' ''q<sub>k</sub>'' del lagrangià implica que el lagrangià no es veu afectat pels canvis o transformacions de ''q<sub>k</sub>''; el Lagrangià és [[Invariant (física)|invariant]], i es diu que presenta una [[Simetria en física|simetria]] sota aquestes transformacions. Aquesta és la idea [[llavor]] generalitzada en el teorema de Noether.

Al segle {{XIX}} es van desenvolupar diversos mètodes alternatius per trobar quantitats conservades, especialment per [[William Rowan Hamilton]]. Per exemple, va desenvolupar una teoria de [[Transformació canònica|transformacions canòniques]] que va permetre canviar les coordenades de manera que algunes coordenades van desaparèixer del Lagrangià, donant lloc a moments canònics conservats. Un altre enfocament, i potser el més eficient per trobar quantitats conservades, és l'[[equació de Hamilton-Jacobi]].

== Expressió matemàtica ==
{{VT|Teoria de les pertorbacions}}

=== Forma simple utilitzant pertorbacions ===
L'essència del teorema de Noether és generalitzar la noció de [[Sistema de coordenades|coordenades]] ''«ignorables»''.

Es pot suposar que la ''L lagrangiana'' definida anteriorment és [[Invariant (fisica)|invariant]] sota petites pertorbacions (deformacions) de la variable temporal ''t'' i les [[coordenades generalitzades]] '''''q'''''. Un pot escriure
:<math>\begin{align}
 t &\rightarrow t^{\prime} = t + \delta t \\
 \mathbf{q} &\rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q} ~,
\end{align}</math>

on les pertorbacions ''δt'' i ''δ'''''q''' són petites, però variables. Per a generalitat, suposem que hi ha (per exemple) ''N'' aquestes [[Simetria en física|transformacions de simetria]] de l'acció, és a dir, transformacions que deixen l'acció sense canvis; etiquetades per un índex ''r'' =&nbsp;1, 2, 3, ..., ''N''.

Aleshores, la pertorbació resultant es pot escriure com una suma lineal dels tipus individuals de pertorbacions,
:<math>\begin{align}
 \delta t &= \sum_r \varepsilon_r T_r \\
 \delta \mathbf{q} &= \sum_r \varepsilon_r \mathbf{Q}_r ~,
\end{align}</math>

on ''ε''<sub>''r''</sub> són coeficients de paràmetres [[Mètodes infinitesimals|infinitesimals]] corresponents a cadascun: 

* [[Grup de Lie|generador]] ''T<sub>r</sub>'' d'[[Operador d'evolució temporal|evolució temporal]], i

* [[Grup de Lie|generador]] '''Q'''<sub>''r''</sub> de les [[coordenades generalitzades]].

Per a les [[Translació (física)|translacions]], '''Q'''<sub>''r''</sub> és una constant amb unitats de [[longitud]]; per a les [[Rotació|rotacions]], és una expressió lineal en les components de '''q''', i els paràmetres formen un [[angle]].

Utilitzant aquestes definicions, [[Emmy Noether]] va demostrar que les ''N'' quantitats
:<math>\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r</math>

es conserven ([[Integral de moviment|constants del moviment]]).

==== Exemples ====
'''I. Invariància temporal'''

Per exemple, considerem un [[Lagrangià]] que no depèn del [[temps]], és a dir, que és [[Invariant (física)|invariant]] ([[Simetria en física|simètric]]) sota canvis ''t'' → ''t'' + δ''t'', sense cap canvi en les coordenades '''q'''. En aquest cas, ''N'' = 1, ''T'' = 1 i ''Q'' = 0; la quantitat conservada corresponent és l'[[energia]] total ''H,''{{sfn|Lanczos|1970|p=401-403}}

:<math>H = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L. </math>

'''II. Invariància translacional'''
Considerem un lagrangià que no depèn d'una coordenada ''q''<sub>''k''</sub> (''«ignorable»'', com s'ha explicat més amunt); per tant és invariant (simètric) sota els canvis ''q''<sub>''k''</sub> → ''q''<sub>''k''</sub> + ''δq''<sub>''k''</sub>. En aquest cas, ''N'' = 1, ''T'' = 0 i ''Q<sub>k</sub>'' = 1; la quantitat conservada és el ''[[Quantitat de moviment|momentum]]'' corresponent ''p''<sub>''k,''</sub>{{sfn|Lanczos|1970|p=403-404}}

:<math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}.</math>

En la [[relativitat especial]] i en la [[relativitat general]], aquestes lleis de conservació aparentment separades són aspectes d'una única llei de conservació, la del [[Tensor d'energia-moment|tensor de tensió-energia]],{{sfn|Goldstein|1980|p=592-593}} que es deriva a la secció següent.

'''III. Invariància rotacional'''
La conservació del [[moment angular]] '''L''' = '''r''' × '''p''' és anàloga a la seva contrapart del [[Quantitat de moviment|moment lineal]].{{sfn|Lanczos|1970|p=404-405}} Se suposa que la simetria del Lagrangià és rotacional, és a dir, que el Lagrangià no depèn de l'orientació absoluta del sistema físic a l'espai. Per a la concreció, suposem que el Lagrangià no canvia amb petites rotacions d'un angle ''δθ'' al voltant d'un eix '''n'''; aquesta rotació transforma les [[Sistema de coordenades cartesianes|coordenades cartesianes]] per l'equació

:<math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\theta \, \mathbf{n} \times \mathbf{r}.</math>

Com que el temps no s'està transformant, ''T'' = 0 i ''N'' = 1. Prenent ''δθ'' com a paràmetre ''ε'' i les coordenades cartesianes '''r''' com a [[coordenades generalitzades]] '''q''', les variables '''Q''' corresponents vénen donades per

:<math>\mathbf{Q} = \mathbf{n} \times \mathbf{r}.</math>

Aleshores el teorema de Noether diu que es conserva la següent quantitat:
:<math>
\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q} = 
\mathbf{p} \cdot \left(\mathbf{n} \times \mathbf{r} \right) = 
\mathbf{n} \cdot \left(\mathbf{r} \times \mathbf{p} \right) = 
\mathbf{n} \cdot \mathbf{L}.
</math>

En altres paraules, es conserva la component del moment angular '''L''' al llarg de l'eix '''n'''. I si '''n''' és arbitrari, és a dir, si el sistema és insensible a qualsevol rotació, aleshores cada component de '''L''' es conserva; en resum, es conserva el moment angular.

=== Versió de la teoria de camps ===
Encara que és útil per dret propi, la versió del teorema de Noether que s'acaba de donar és un cas especial de la versió general derivada l'any 1915. Per donar el gust del teorema general, actualment es dona una versió del teorema de Noether per a camps continus en [[espaitemps]] de quatre dimensions. Com que els problemes de teoria de camps són més comuns en la [[física moderna]] que els problemes de [[mecànica]], aquesta versió de teoria de camps és la versió més utilitzada (o implementada amb més freqüència) del teorema de Noether.

Sigui un conjunt de [[Camp (física)|camps]] diferenciables <math>\varphi</math> definit en tot l'espai i el temps; per exemple, la [[temperatura]] <math>T(\mathbf{x}, t)</math> seria representatiu d'aquest camp, sent un nombre definit en cada lloc i moment. El [[principi de mínima acció]] es pot aplicar a aquests camps, però ara l'acció és integral en l'espai i el temps

:<math>\mathcal{S} = \int \mathcal{L} \left(\varphi, \partial_\mu \varphi, x^\mu \right) \, d^4 x</math>

(el teorema es pot generalitzar encara més al cas en què el Lagrangià depèn de fins a la [[derivada]] enèsima, i també es pot formular utilitzant [[Feix de jets|feixos de jet]]).

Una transformació contínua dels camps <math>\varphi</math> es pot escriure infinitesimalment com

:<math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon \Psi,</math>

on <math>\Psi</math> és en general una funció que pot dependre de tots dos (<math>x^\mu</math> i <math>\varphi</math>). La condició per <math>\Psi</math> per generar una simetria física és que l'acció <math>\mathcal{S}</math> es deixa invariable. Això serà certament cert si la densitat lagrangiana <math>\mathcal{L}</math> es deixa invariant, però també serà cert si el Lagrangià canvia per una divergència,

:<math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon \partial_\mu \Lambda^\mu,</math>

ja que la integral d'una divergència esdevé un terme límit segons el [[teorema de la divergència]]. Un sistema descrit per una acció determinada pot tenir múltiples simetries independents d'aquest tipus, indexades per <math>r = 1, 2, \ldots, N,</math> de manera que la transformació de simetria més general s'escriuria com

:<math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon_r \Psi_r,</math>

amb la conseqüència

:<math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon_r \partial_\mu \Lambda^\mu_r.</math>

Per a aquests sistemes, el teorema de Noether afirma que n'hi ha <math>N</math> densitats de [[Corrent conservat|corrent conservades]]

:<math>j^\nu_r = \Lambda^\nu_r - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}} \cdot \Psi_r</math>

(on s'entén que el producte escalat contrau els índexs de camp, no l'índex <math>\nu</math> o l'index <math>r</math>).

En aquests casos, la [[llei de conservació]] s'expressa de manera quadridimensional

:<math>\partial_\nu j^\nu = 0,</math>

que expressa la idea que la quantitat d'una quantitat conservada dins d'una [[esfera]] no pot canviar a menys que una part d'ella surti fora de l'esfera. Per exemple, es conserva la [[càrrega elèctrica]]; la quantitat de càrrega dins d'una esfera no pot canviar tret que part de la càrrega surti de l'esfera.

Com a exemple, considerem un sistema físic de camps que es comporta igual sota les translacions en el temps i l'espai, tal com s'ha considerat anteriorment; en altres paraules, <math>L \left(\boldsymbol\varphi, \partial_\mu{\boldsymbol\varphi}, x^\mu \right)</math> és constant en el seu tercer argument. En aquest cas, ''N'' =&nbsp;4, un per a cada [[dimensió]] d'espai i temps. Una traducció infinitesimal a l'espai, <math>x^\mu \mapsto x^\mu + \varepsilon_r \delta^\mu_r</math> (amb <math>\delta</math> que denota la [[delta de Kronecker]]), afecta els camps com <math>\varphi(x^\mu) \mapsto \varphi\left(x^\mu - \varepsilon_r \delta^\mu_r\right)</math>; és a dir, tornar a etiquetar les coordenades equival a deixar les coordenades al seu lloc mentre es tradueix el propi camp, que al seu torn equival a transformar el camp substituint-ne el valor en cada punt <math>x^\mu</math> amb el valor al punt <math>x^\mu - \varepsilon X^\mu</math> aplicant «darrere» d'ell <math>x^\mu</math> que seria mapejat pel desplaçament infinitesimal considerat. Com que això és infinitesimal, podem escriure aquesta transformació com

:<math>\Psi_r = -\delta^\mu_r \partial_\mu \varphi.</math>

La densitat lagrangiana es transforma de la mateixa manera, <math>\mathcal{L}\left(x^\mu\right) \mapsto \mathcal{L}\left(x^\mu - \varepsilon_r \delta^\mu_r\right)</math>, així

:<math>\Lambda^\mu_r = -\delta^\mu_r \mathcal{L}</math>

i, per tant, el teorema de Noether correspon a la llei de conservació del [[tensor d'energia-moment]] ''T''<sub>''μ''</sub><sup>''ν''</sup>,{{sfn|Goldstein|1980|p=592-593}} on hem utilitzat <math>\mu</math> en lloc de <math>r</math>. És a dir, utilitzant l'expressió donada anteriorment i recollint els quatre corrents conservats (un per a cada <math>\mu</math>) en un tensor <math>T</math>, el teorema de Noether dona

:<math>
 T_\mu{}^\nu =
 -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} + \delta^\sigma_\mu \partial_\sigma \varphi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}} =
 \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}}\right) \cdot \varphi_{,\mu} - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}
</math>

amb

:<math>T_\mu{}^\nu{}_{,\nu} = 0</math>

que vam reanomenar <math>\mu</math> com <math>\sigma</math> en un pas intermedi per evitar conflictes. No obstant això, el <math>T</math> obtingut d'aquesta manera pot diferir del tensor simètric utilitzat com a terme font en relativitat general (''vegeu [[Tensor d'energia-moment|tensor energia-moment canònic]]'').

Per contra, la conservació de la [[càrrega elèctrica]] es pot derivar considerant ''Ψ'' lineal en els camps ''φ'' més que en les derivades.{{sfn|Goldstein|1980|pp=593-594}} En [[mecànica quàntica]], l'[[amplitud de probabilitat]] ''ψ''('''x''') de trobar una partícula en un punt '''x''' és un camp complex ''φ'', perquè atribueix un [[nombre complex]] a cada punt de l'espai i el temps. L'amplitud de probabilitat en si és físicament no mesurable; només la probabilitat ''p'' = |''ψ''|<sup>2</sup> es pot inferir d'un conjunt de mesures. Per tant, el sistema és invariant sota transformacions del camp ''ψ'' i el seu camp [[Conjugat|complex conjugat]] ''ψ''<sup>*</sup> que deixa |''ψ''|<sup>2</sup> sense canvis, com ara

:<math>\psi \rightarrow e^{i\theta} \psi\ ,\ \psi^{*} \rightarrow e^{-i\theta} \psi^{*}~,</math>

una rotació complexa. En el límit quan la fase ''θ'' es torna infinitesimament petita, ''δθ'', es pot prendre com a paràmetre ''ε'', mentre que els ''Ψ'' són iguals a ''iψ'' i −''iψ''*, respectivament. Un exemple específic és l'[[equació de Klein-Gordon]], la versió [[Relativitat especial|relativistament correcta]] de l'[[equació de Schrödinger]] per a partícules sense [[espín]], que té la densitat lagrangiana.

:<math>L = \partial_{\nu}\psi \partial_{\mu}\psi^{*} \eta^{\nu \mu} + m^2 \psi \psi^{*}.</math>

En aquest cas, el teorema de Noether estableix que el corrent conservat (∂&nbsp;⋅ ''j'' =&nbsp;0) és igual a

:<math>j^\nu = i \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\mu} \psi^{*} - \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x^\mu} \psi \right) \eta^{\nu \mu}~,</math>

que, quan es multiplica per la càrrega d'aquesta espècie de partícula, és igual a la densitat de [[corrent elèctric]] deguda a aquest tipus de partícula. Aquesta ''«invariància de gauge»'' va ser observada per primera vegada per [[Hermann Weyl]], i és una de les [[Teoria de gauge|simetries de gauge]] prototip de la [[física]].

== Derivacions ==
=== Una variable independent ===
Considerem el cas més simple, un sistema amb una variable independent, el [[temps]]. Suposem que les variables dependents '''q''' són tals que la integral d'acció

<math display="block">I = \int_{t_1}^{t_2} L [\mathbf{q} [t], \dot{\mathbf{q}} [t], t] \, dt </math>

és invariant sota variacions infinitesimals breus en les variables dependents. En altres paraules, compleixen les [[equacions d'Euler-Lagrange]]

:<math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} [t] = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} [t].</math>

I suposem que la integral és invariant sota una simetria contínua. Matemàticament, aquesta simetria es representa com un [[Flux (matemàtiques)|flux]], '''φ''', que actua sobre les variables de la següent manera

:<math>\begin{align}
 t &\rightarrow t' = t + \varepsilon T \\
 \mathbf{q} [t] &\rightarrow \mathbf{q}' [t'] = \varphi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \varphi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon]
\end{align}</math>

on ''ε'' és una variable real que indica la quantitat de flux, i ''T'' és una constant real (que podria ser zero) que indica quant es desplaça el flux en el temps.

:<math>
\dot{\mathbf{q}} [t] \rightarrow \dot{\mathbf{q}}' [t'] = \frac{d}{dt} \varphi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T]
.</math>

La integral d'acció flueix a

:<math>
\begin{align}
I' [\varepsilon] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} L [\mathbf{q}'[t'], \dot{\mathbf{q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt]
& = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} L [\varphi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon], \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T], t'] \, dt'
\end{align}
</math>

que es pot considerar en funció de ''ε''. Calculant la [[derivada]] a ''ε' = 0'' i utilitzant la [[Regla de Leibniz (regla del producte generalitzada)|regla de Leibniz]], obtenim

:<math>
\begin{align}
0 = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \left(- \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} \right) + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left(- \frac{\partial^2 \varphi}{(\partial \mathbf{q})^2} {\dot{\mathbf{q}}}^2 T + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} -
\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} T \right) \, dt.
\end{align}
</math>

Es pot observar que les equacions d'Euler-Lagrange impliquen

:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T \right) 
& = \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \\[6pt]
& = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left(\frac{\partial^2 \varphi}{(\partial \mathbf{q})^2} \dot{\mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T.
\end{align}
</math>

Substituint això a l'equació anterior, s'obté

:<math>
\begin{align}
0 = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} \, dt.
\end{align}
</math>

Novament utilitzant les equacions d'Euler-Lagrange obtenim

:<math>
\frac{d}{d t} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} \right) 
= \left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}
= \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}.
</math>

Substituint això a l'equació anterior, s'obté

:<math>
\begin{align}
0 = {} & L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} [t_2] - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} [t_1].
\end{align}
</math>

D'on es pot veure això

:<math>\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}</math>

és una constant del moviment, és a dir, és una magnitud conservada. Com que φ['''q''', 0] = '''q'''φ, obtenim<math>\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{q}} = 1</math> i així la quantitat conservada es simplifica a

:<math>\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \dot{\mathbf{q}} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}.</math>

Per evitar una complicació excessiva de les fórmules, aquesta derivació suposa que el flux no canvia a mesura que passa el temps. El mateix resultat es pot obtenir en el cas més general.

=== Derivació teòrica de camps ===
El teorema de Noether també es pot derivar per a camps tensorials ''φ''<sup>''A''</sup> on l'índex ''A'' oscil·la entre els diferents components dels diferents camps tensorials. Aquestes magnituds de camp són funcions definides en un espai de [[Quarta dimensió|quatre dimensions]] els punts del qual estan etiquetats per coordenades ''x''<sup>μ</sup> on l'índex ''μ'' oscil·la al llarg del temps (''μ'' =&nbsp;0) i tres dimensions espacials (''μ'' =&nbsp;1, 2, 3). Aquestes quatre coordenades són les variables independents; i els valors dels camps a cada esdeveniment són les variables dependents. Sota una transformació infinitesimal, s'escriu la variació de les coordenades

:<math>x^\mu \rightarrow \xi^\mu = x^\mu + \delta x^\mu</math>

mentre que la transformació de les variables de camp s'expressa com

:<math>\varphi^A \rightarrow \alpha^A \left(\xi^\mu\right) = \varphi^A \left(x^\mu\right) + \delta \varphi^A \left(x^\mu\right)\,.</math>

Segons aquesta definició, les variacions de camp ''δφ''<sup>''A''</sup> resulten de dos factors: canvis intrínsecs en el propi camp i canvis de coordenades, ja que el camp transformat ''α''<sup>''A''</sup> depèn de les coordenades transformades ξ<sup>μ</sup>. Per aïllar els canvis intrínsecs, es pot definir la variació de camp en un sol punt ''x''<sup>μ</sup>

:<math>\alpha^A \left(x^\mu\right) = \varphi^A \left(x^\mu\right) + \bar{\delta} \varphi^A \left(x^\mu\right)\,.</math>

Si es canvien les coordenades, el límit de la regió de l'espai-temps sobre la qual s'està integrant el Lagrangià també canvia; el límit original i la seva versió transformada es denoten com a Ω i Ω’, respectivament.

El teorema de Noether comença amb el supòsit que una transformació específica de les coordenades i variables de camp no canvia l'[[Acció (física)|acció]], que es defineix com la integral de la densitat lagrangiana sobre la regió donada de l'espai-temps. Expressada matemàticament, aquesta suposició es pot escriure com

:<math>\int_{\Omega^\prime} L \left(\alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, \xi^\mu \right) d^4\xi - \int_{\Omega} L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) d^{4}x = 0</math>

on el subíndex de coma indica una [[derivada parcial]] respecte a les coordenades que segueixen la coma, per exemple

:<math>{\varphi^A}_{,\sigma} = \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\sigma}\,.</math>

Com que ξ és una variable simulada d'integració, i com que el canvi en el límit Ω és infinitesimal per suposició, les dues integrals es poden combinar utilitzant la versió en quatre dimensions del [[teorema de la divergència]] en la forma següent

:<math>
 \int_\Omega \left\{ 
 \left[ L \left(\alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - 
 L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \right] +
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left[ L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma \right]
 \right\} d^4 x = 0
\,.</math>

La diferència en Lagrangians es pot escriure a primer ordre en les variacions infinitesimals com

:<math>
 \left[
 L \left(\alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - 
 L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right)
 \right] = 
 \frac{\partial L}{\partial \varphi^A} \bar{\delta} \varphi^A + 
 \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma}
\,.</math>

Tanmateix, com que les variacions es defineixen en el mateix punt descrit anteriorment, la variació i la derivada es poden fer en ordre invers; es [[Propietat commutativa|commuta]]

:<math>
 \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma} = 
 \bar{\delta} \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\sigma} = 
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left(\bar{\delta} \varphi^A\right)
\,.</math>

Utilitzant les equacions de camp d'Euler-Lagrange

:<math>
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left(\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) =
 \frac{\partial L}{\partial\varphi^A}
</math>

la diferència en lagrangians es pot escriure ordenadament com

:<math>\begin{align}
 &\left[ L \left(\alpha^A, {\alpha^A}_{,\nu}, x^\mu \right) - L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \right] \\[4pt]
 ={} &\frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left(\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) \bar{\delta} \varphi^A + \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} {\varphi^A}_{,\sigma}
 = \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left(\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A \right).
\end{align}</math>

Així, el canvi en l'acció es pot escriure com

:<math>
 \int_\Omega \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left\{
 \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A + 
 L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma
 \right\} d^{4}x = 0
\,.</math>

Com que això és vàlid per a qualsevol regió Ω, l'integrand ha de ser zero

:<math>
 \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left\{
 \frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \bar{\delta} \varphi^A + 
 L \left(\varphi^A, {\varphi^A}_{,\nu}, x^\mu \right) \delta x^\sigma
 \right\} = 0
\,.</math>

Per a qualsevol combinació de les diverses transformacions de simetria, es pot escriure la pertorbació

:<math>\begin{align}
 \delta x^{\mu} &= \varepsilon X^\mu \\
 \delta \varphi^A &= \varepsilon \Psi^A = \bar{\delta} \varphi^A + \varepsilon \mathcal{L}_X \varphi^A
\end{align}</math>

on <math>\mathcal{L}_X \varphi^A</math> és la [[derivada de Lie]] φ<sup>''A''</sup> en la direcció ''X''<sup>''μ''</sup>. Llavors ''φ''<sup>''A''</sup> és un escalar o <math>{X^\mu}_{,\nu} = 0 </math>,

:<math>\mathcal{L}_X \varphi^A = \frac{\partial \varphi^A}{\partial x^\mu} X^\mu\,.</math>

Aquestes equacions impliquen que la variació de camp presa en un punt és igual

:<math>\bar{\delta} \varphi^A = \varepsilon \Psi^A - \varepsilon \mathcal{L}_X \varphi^A\,.</math>

Diferenciant la divergència anterior respecte a ''ε'' a ''ε'' =&nbsp;0 i canviant el signe s'obté la llei de conservació

:<math>\frac{\partial}{\partial x^\sigma} j^\sigma = 0</math>

on el corrent conservat és igual

:<math>
 j^\sigma = 
 \left[\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \mathcal{L}_X \varphi^A - L \, X^\sigma\right]
 - \left(\frac{\partial L}{\partial {\varphi^A}_{,\sigma}} \right) \Psi^A\,.
</math>

=== Derivació col·lector/feix de fibres ===
Suposem que tenim una [[Varietat riemanniana|varietat Riemanniana]] orientada a ''n''-dimensions, ''M'' i una varietat objectiva ''T''. Sigui <math>\mathcal{C}</math> sigui l'[[espai de configuració]] de [[Funció suau|funcions suaus]] de ''M'' a ''T''. (Més generalment, podem tenir seccions suaus d'un [[Fibrat|feix de fibres]] sobre ''M''.)

Alguns exemples d'aquesta ''M'' en física inclouen:
* En [[mecànica clàssica]], en la [[formulació hamiltoniana]], ''M'' és la [[Varietat (matemàtiques)|varietat]] unidimensional <math>\mathbb{R}</math>, que representa el temps i l'espai objectiu és el [[fibrat cotangent]] d'espai de posicions generalitzades.
* En [[teoria de camps]], ''M'' és la [[Varietat (matemàtiques)|varietat]] [[espaitemps]] i l'espai objectiu és el conjunt de valors que els camps poden prendre en un punt donat. Per exemple, si hi ha ''m'' [[Camp escalar|camps escalars]] de [[Nombre real|valor real]], <math>\varphi_1,\ldots,\varphi_m</math>, aleshores la varietat objectiu és <math>\mathbb{R}^{m}</math>. Si el camp és un [[camp vectorial]] real, aleshores la varietat objectiu és [[Isomorfisme|isomòrfica]] a <math>\mathbb{R}^{3}</math>.

Ara suposem que hi ha un [[Funcional (matemàtiques)|funcional]]

:<math>\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R},</math>

anomenada l'[[Acció (física)|acció]] (aporta valors <math>\mathbb{R}</math>, enlloc de <math>\mathbb{C}</math>; això és per raons físiques i no és important per a aquesta prova).

Per arribar a la versió habitual del teorema de Noether, necessitem restriccions addicionals a l'acció. Suposem que <math>\mathcal{S}[\varphi]</math> és la [[Integració|integral]] sobre ''M'' d'una [[funció]]

:<math>\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x)</math>

anomenada [[Lagrangià|densitat lagrangiana]], depenent de φ, la seva [[derivada]] i la posició. En altres paraules, per a ''φ'' en <math>\mathcal{C}</math>

:<math> \mathcal{S}[\varphi]\,=\,\int_M \mathcal{L}[\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x),x] \, d^{n}x.</math>

Suposem que se'ns donen [[Condició de frontera|condicions de frontera]], és a dir, una especificació del valor de ''φ'' a la [[Frontera (topologia)|frontera]] si ''M'' és [[Espai compacte|compacte]], o algun [[límit]] de ''φ'' quan x s'acosta a ∞. Aleshores el [[Topologia traça|subespai]] de <math>\mathcal{C}</math> format per funcions ''φ'' tals que totes les [[Derivada funcional|derivades funcionals]] de <math>\mathcal{S}</math> a φ són zero, és a dir:

:<math>\frac{\delta \mathcal{S}[\varphi]}{\delta \varphi(x)}\approx 0</math>

i que φ compleix les condicions de frontera donades, és el subespai de les solucions ''[[On shell i off shell|on shell]]'' (''Vegeu [[principi de mínima acció]]'').

Ara, suposem que tenim una [[transformació infinitesimal]] activada <math>\mathcal{C}</math>, generada per una derivació funcional ''Q'', tal que
:<math>Q \left[ \int_N \mathcal{L} \, \mathrm{d}^n x \right] \approx \int_{\partial N} f^\mu [\varphi(x),\partial\varphi,\partial\partial\varphi,\ldots] \, ds_\mu </math>

per a totes les subvarietats compactes ''N'', o en altres paraules,

:<math>Q[\mathcal{L}(x)]\approx\partial_\mu f^\mu(x)</math>

per a tot ''x'', on establim

:<math>\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}[\varphi(x), \partial_\mu \varphi(x),x].</math>

Si això s'aplica [[On shell i off shell|''on shell'' i ''off shell'']], diem que Q genera una simetria ''off shell''. Si això només s'aplica a ''on shell'', diem que Q genera una simetria ''on shel''l. Aleshores, diem que ''Q'' és un generador d'un [[grup de Lie]] de simetria d'un paràmetre.

Ara, per a qualsevol ''N'', a causa del teorema d'[[Equacions d'Euler-Lagrange|Euler-Lagrange]], ''[[On shell i off shell|on shell]]'' (i només ''on shell''), tenim

:<math>
\begin{align}
Q\left[\int_N \mathcal{L} \, \mathrm{d}^nx \right]
& =\int_N \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)} \right]Q[\varphi] \, \mathrm{d}^nx + \int_{\partial N} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi] \, \mathrm{d}s_\mu \\
& \approx\int_{\partial N} f^\mu \, \mathrm{d}s_\mu.
\end{align}
</math>

Com que això és cert per a qualsevol ''N'', tenim

:<math>\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi]-f^\mu\right]\approx 0.</math>

Però aquesta és l'[[equació de continuïtat]] del corrent <math>J^\mu</math> definit per:{{sfn|Peskin|Schoeder|1995|p=18}}

:<math>J^\mu\,=\,\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}Q[\varphi]-f^\mu,</math>

que s'anomena ''«corrent de Noether»'' associat a la simetria. L'equació de continuïtat ens diu que si [[Integració|integrem]] aquest corrent sobre una porció [[Espaitemps|semblant a un espai]], obtenim una [[Llei de conservació|quantitat conservada]] anomenada ''«càrrega de Noether»'' (sempre que, per descomptat, si ''M'' no és compacta, els corrents cauen prou ràpid a l'[[infinit]]).

=== Comentaris ===
El teorema de Noether és un teorema ''[[On shell i off shell|on shell]]'': es basa en l'ús de les [[Equació de moviment|equacions de moviment]] (el camí clàssic). Reflecteix la relació entre les condicions de límit i el principi variacional. Suposant que no hi ha termes de límit en l'acció, el teorema de Noether implica això

: <math>\int_{\partial N} J^\mu ds_{\mu} \approx 0.</math>

Els anàlegs quàntics del teorema de Noether que inclouen valors d'expectativa (per exemple, <math display="inline">\left\langle\int d^{4}x~\partial \cdot \textbf{J} \right\rangle = 0</math>) sondejant quantitats ''[[On shell i off shell|off shell]]'' així com les [[Identitat de Ward-Takahashi|identitats de Ward-Takahashi]].

=== Generalització a àlgebres de Lie ===
Suposem que tenim dues derivacions de simetria ''Q''<sub>1</sub> i ''Q''₂. Llavors, [''Q''<sub>1</sub>, ''Q''₂] també és una derivació de simetria. Vegem-ho explícitament. Sigui
<math display="block">Q_1[\mathcal{L}]\approx \partial_\mu f_1^\mu</math>
i
<math display="block">Q_2[\mathcal{L}]\approx \partial_\mu f_2^\mu</math>

Llavors,
<math display="block">[Q_1,Q_2][\mathcal{L}] = Q_1[Q_2[\mathcal{L}]]-Q_2[Q_1[\mathcal{L}]]\approx\partial_\mu f_{12}^\mu</math>
on ''f''₁₂&nbsp;= ''Q''<sub>1</sub>[''f''₂<sup>''μ''</sup>]&nbsp;− ''Q''₂[''f''<sub>1</sub><sup>''μ''</sup>]. Així,
<math display="block">j_{12}^\mu = \left(\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varphi)} \mathcal{L}\right)(Q_1[Q_2[\varphi]] - Q_2[Q_1[\varphi]])-f_{12}^\mu.</math>

Això mostra que podem estendre el teorema de Noether a [[Àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]] més grans d'una manera natural.

=== Generalització de la prova ===
Això s'aplica a qualsevol derivació de simetria local ''Q'' que compleixi ''QS'' ≈&nbsp;0, i també a accions diferenciables funcionals locals més generals, incloses aquelles en què el Lagrangià depèn de derivades superiors dels camps. Sigui ''ε'' qualsevol funció suau arbitrària de la varietat espai-temps (o temps) de manera que el tancament del seu suport estigui disjunt del límit. ''ε'' és una [[Distribució (matemàtiques)|funció de test]]. Aleshores, a causa del principi variacional (que no s'aplica a la frontera), la distribució de derivació ''q'' generada per ''q''[''ε''][Φ(''x'')] = ''ε''(''x'')''Q''[Φ(''x'')] satisfà ''q''[''ε''][''S'']&nbsp;≈&nbsp;0 per a cada ''ε'', o de manera més compacta, ''q''(''x'')[''S'']&nbsp;≈ 0q per a tot ''x'' que no estigui al límit (però s'ha de recordar que ''q(x)'' és una abreviatura per a una ''distribució'' de derivació, no una derivació parametritzada per ''x'' en general). Aquesta és la generalització del teorema de Noether.

Per veure com es relaciona la generalització amb la versió donada anteriorment, suposem que l'acció és la integral espai-temps d'un lagrangià que només depèn de φ i les seves primeres derivades. També, suposem

:<math>Q[\mathcal{L}]\approx\partial_\mu f^\mu</math>

Llavors,

:<math>
\begin{align}
q[\varepsilon][\mathcal{S}] & = \int q[\varepsilon][\mathcal{L}] d^{n} x \\[6pt]
& = \int \left\{ \left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\mathcal{L}\right) \varepsilon Q[\varphi]+ \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \varphi)}\mathcal{L}\right]\partial_\mu(\varepsilon Q[\varphi]) \right\} d^{n} x \\[6pt]
& = \int \left\{ \varepsilon Q[\mathcal{L}] + \partial_{\mu}\varepsilon \left[\frac{\partial}{\partial \left(\partial_\mu \varphi\right)} \mathcal{L} \right] Q[\varphi] \right\} \, d^{n} x \\[6pt]
& \approx \int \varepsilon \partial_\mu \left\{f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varphi)}\mathcal{L}\right]Q[\varphi]\right\} \, d^{n} x
\end{align}
</math>

per a tot <math>\varepsilon</math>.

De manera més general, si el lagrangià depèn de derivades superiors, aleshores

:<math>
 \partial_\mu\left[
 f^\mu
 - \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \varphi)} \mathcal{L} \right] Q[\varphi]
 - 2\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \varphi)} \mathcal{L}\right]\partial_\nu Q[\varphi]
 + \partial_\nu\left[\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \varphi)}\mathcal{L}\right] Q[\varphi]\right]
 - \,\dotsm
 \right] \approx 0.
</math>

== Exemples ==
=== Exemple 1: Conservació de l'energia ===
Observant el cas concret d'una partícula newtoniana de massa ''m'', coordenada ''x'', que es mou sota la influència d'un potencial ''V'', coordinada pel temps ''t''. L'acció, ''S'', és:

:<math>\begin{align}
 \mathcal{S}[x] & = \int L\left[x(t),\dot{x}(t)\right] \, dt \\
 & = \int \left(\frac m 2 \sum_{i=1}^3\dot{x}_i^2 - V(x(t))\right) \, dt.
\end{align}</math>

El primer terme entre parèntesis és l'[[energia cinètica]] de la partícula, mentre que el segon és la seva [[energia potencial]]. Considerem el generador de translacions temporals Q = d/dt. En altres paraules, <math>Q[x(t)] = \dot{x}(t)</math>. La coordenada ''x'' té una dependència explícita del temps, mentre que ''V'' no; en conseqüència:

:<math>Q[L] =
 \frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 - V(x)\right] =
 m \sum_i\dot{x}_i\ddot{x}_i - \sum_i\frac{\partial V(x)}{\partial x_i}\dot{x}_i
</math>

i ho podem posar

:<math>L = \frac{m}{2} \sum_i\dot{x}_i^2 - V(x).</math>

Llavors,

:<math>\begin{align}
 j & = \sum_{i=1}^3\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}Q[x_i] - L \\
 & = m \sum_i\dot{x}_i^2 - \left[\frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 - V(x)\right] \\[3pt]
 & = \frac{m}{2}\sum_i\dot{x}_i^2 + V(x).
\end{align}</math>

El costat dret és l'energia, i el teorema de Noether diu <math>dj/dt = 0</math> (és a dir, el principi de conservació de l'energia és una conseqüència de la invariància sota les translacions temporals).

De manera més general, si el lagrangià no depèn explícitament del temps, la quantitat

:<math>\sum_{i=1}^3 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\dot{x_i} - L</math>

(anomenat [[Mecànica hamiltoniana|Hamiltonià]]) es conserva.

=== Exemple 2: Conservació del centre de la quantitat de moviment ===
Encara tenint en compte el temps unidimensional, deixem

:<math>\begin{align}
 \mathcal{S}\left[\vec{x}\right]
 & = \int \mathcal{L}\left[\vec{x}(t), \dot{\vec{x}}(t)\right] dt \\[3pt]
 & = \int \left[\sum^N_{\alpha=1} \frac{m_\alpha}{2}\left(\dot{\vec{x}}_\alpha\right)^2 - \sum_{\alpha<\beta} V_{\alpha\beta}\left(\vec{x}_\beta - \vec{x}_\alpha\right)\right] dt,
\end{align}</math>

o <math>N</math> partícules newtonianes on el potencial només depèn per parelles del desplaçament relatiu.

Per a <math>\vec{Q}</math>, considerem el generador de transformacions galileanes (és a dir, un canvi en el [[Sistema de referència|marc de referència]]). En altres paraules,

:<math>Q_i\left[x^j_\alpha(t)\right] = t \delta^j_i.</math>

I

:<math>\begin{align}
 Q_i[\mathcal{L}]
 & = \sum_\alpha m_\alpha \dot{x}_\alpha^i - \sum_{\alpha<\beta}t \partial_i V_{\alpha\beta}\left(\vec{x}_\beta - \vec{x}_\alpha\right) \\
 & = \sum_\alpha m_\alpha \dot{x}_\alpha^i.
\end{align}</math>

Això té la forma de <math display="inline">\frac{d}{dt}\sum_\alpha m_\alpha x^i_\alpha</math> i ho podem posar

:<math>\vec{f} = \sum_\alpha m_\alpha \vec{x}_\alpha.</math>

Llavors,

:<math>\begin{align}
 \vec{j} & = \sum_\alpha \left(\frac{\partial}{\partial \dot{\vec{x}}_\alpha} \mathcal{L}\right)\cdot\vec{Q}\left[\vec{x}_\alpha\right] - \vec{f} \\[6pt]
 & = \sum_\alpha \left(m_\alpha \dot{\vec{x}}_\alpha t - m_\alpha \vec{x}_\alpha\right) \\[3pt]
 & = \vec{P}t - M\vec{x}_{CM}
\end{align}</math>

on <math>\vec{P}</math> és el ''[[Quantitat de moviment|momentum]]'' total, ''M'' és la [[massa]] total i <math>\vec{x}_{CM}</math> és el [[Centre de massa|centre de masses]]. El teorema de Noether diu:

:<math>\frac{d\vec{j}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{P} - M \dot{\vec{x}}_{CM} = 0.</math>

=== Exemple 3: Transformació conforme ===
Els dos exemples 1 i 2 són sobre una varietat unidimensional (temps). Un exemple que implica l'espai-temps és una [[transformació conforme]] d'un [[camp escalar]] real sense massa amb un [[Interacció quàrtica|potencial quàrtic]] en (3 + 1)-[[espai-temps de Minkowski]].

:<math>\begin{align}
 \mathcal{S}[\varphi]
 & = \int \mathcal{L}\left[\varphi (x), \partial_\mu \varphi (x)\right] d^4 x \\[3pt]
 & = \int \left(\frac{1}{2}\partial^\mu \varphi \partial_\mu \varphi - \lambda \varphi^4\right) d^4 x
\end{align}</math>

Per a ''Q'', considereu el generador d'un reescalat espai-temps. En altres paraules,

:<math>Q[\varphi(x)] = x^\mu\partial_\mu \varphi(x) + \varphi(x). </math>

El segon terme a la dreta es deu al ''«pes conformat»'' de <math>\varphi</math>. I

:<math>Q[\mathcal{L}] = \partial^\mu\varphi\left(\partial_\mu\varphi + x^\nu\partial_\mu\partial_\nu\varphi + \partial_\mu\varphi\right) - 4\lambda\varphi^3\left(x^\mu\partial_\mu\varphi + \varphi\right).</math>

Això té la forma de

:<math>\partial_\mu\left[\frac{1}{2}x^\mu\partial^\nu\varphi\partial_\nu\varphi - \lambda x^\mu \varphi^4 \right] = \partial_\mu\left(x^\mu\mathcal{L}\right)</math>

(on hem realitzat un canvi d'índexs ficticis) així s'estableix

:<math>f^\mu = x^\mu\mathcal{L}.</math>

Llavors

:<math>\begin{align}
 j^\mu & = \left[\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\mathcal{L}\right]Q[\varphi]-f^\mu \\
 & = \partial^\mu\varphi\left(x^\nu\partial_\nu\varphi + \varphi\right) - x^\mu\left(\frac 1 2 \partial^\nu\varphi\partial_\nu\varphi - \lambda\varphi^4\right).
\end{align}</math>

El teorema de Noether diu <math>\partial_\mu j^\mu = 0</math> (com es pot comprovar explícitament substituint les equacions d'Euler-Lagrange al costat esquerre).

Si un intenta trobar l'anàleg [[Identitat de Ward-Takahashi|Ward-Takahashi]] d'aquesta equació, es troba amb un problema a causa d'[[Anomalia (física)|anomalies]].

== Aplicacions ==
L'aplicació del teorema de Noether permet als [[Físic|físics]] obtenir coneixements potents sobre qualsevol teoria general de la física, només analitzant les diverses transformacions que farien invariant la forma de les lleis implicades. Per exemple:
* la invariància dels sistemes físics respecte a la [[Translació (física)|translació]] espacial (és a dir, que les [[Llei de la física|lleis de la física]] no varien amb les ubicacions a l'espai) dona la llei de conservació del [[Quantitat de moviment|moment lineal]];
* la invariància respecte a la [[Rotació (matemàtiques)|rotació]] dona la llei de conservació del [[moment angular]];
* la invariància respecte a la translació del [[temps]] dona la coneguda [[llei de la conservació de l'energia]].

En la [[teoria quàntica de camps]], l'anàleg al teorema de Noether, la [[identitat de Ward-Takahashi]], produeix lleis de conservació addicionals, com ara la conservació de la [[càrrega elèctrica]] a partir de la invariància respecte a un canvi en el factor de fase del camp [[Nombre complex|complex]] de la [[partícula carregada]] i el [[Teoria de gauge|gauge]] associat del [[potencial elèctric]] i del [[potencial vectorial]].

La càrrega de Noether també s'utilitza per calcular l'[[entropia]] dels [[Mètrica de Schwarzschild|forats negres estacionaris]].{{sfn|Iyer|Wald|1995|p=4430-4439}}

== Notes ==
<references group="Nota"/>

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
{{Div col|cols=2}}
* {{ref-llibre |cognom=Badin | isbn=978-3-319-59694-5 |nom=Gualtiero |cognom2=Crisciani |nom2=Fulvio |títol=Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics (Mechanics, Symmetries and Conservation Laws) |editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |any=2018 |pàgina=218 | doi= 10.1007/978-3-319-59695-2|s2cid=125902566 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Baez |nom=John |enllaçautor=John Baez |títol=Noether's Theorem in a Nutshell |url=http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html |obra=UC Riverside |any=2002 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Byers |nom=Nina |títol=E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws |any=1998 |llengua=anglès |url=https://arxiv.org/abs/physics/9807044 |obra=[[Universitat Cornell]]}} A ''Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether'', celebrat del 2 al 4 de desembre de 1996, a la Universitat Bar-Ilan, Israel, apèndix B.
* {{ref-publicació |cognom=Cuesta |nom=Vladimir |nom2=Merced |cognom2=Montesinos |nom3=José David |cognom3=Vergara |article=Gauge invariance of the action principle for gauge systems with noncanonical symplectic structures |publicació=[[Physical Review D]] |volum=76(2) |pàgina=025025 |any=2007 |doi=10.1103/PhysRevD.76.025025 |bibcode = 2007PhRvD..76b5025C |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Goldstein |nom=Herbert |enllaçautor=Herbert Goldstein |any=1980 |títol= Classical Mechanics |editorial=Addison-Wesley |lloc=Reading, MA |isbn= 0-201-02918-9 |pàgina=588-596 |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Hanca |nom=J. |cognom2=Tulejab |nom2=S. |cognom3=Hancova |nom3= M. |article=Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem |publicació=American Journal of Physics |volum=72(4) |pàgina=428-435 |any=2004 |doi= 10.1119/1.1591764|url=http://www.eftaylor.com/pub/symmetry.html|bibcode = 2004AmJPh..72..428H |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Hand |nom=Louis N. |url=https://www.worldcat.org/oclc/37903527 |títol=Analytical Mechanics |cognom2=Finch |nom2=Janet D. |any=1998 |editorial=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-57327-0 |lloc=Cambridge |oclc=37903527|llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Iyer |nom=Vivek |nom2=Robert M. |cognom2=Wald |doi=10.1103/PhysRevD.52.4430 |publicació=[[Physical Review D]] |article=A comparison of Noether charge and Euclidean methods for Computing the Entropy of Stationary Black Holes |volum=52(8) |any=1995 |pmid=10019667 |arxiv=gr-qc/9503052|bibcode = 1995PhRvD..52.4430I |s2cid=2588285 |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Johnson |nom=Tristan |article=Noether's Theorem: Symmetry and Conservation |publicació=Honors Theses |any=2016 |url=https://digitalworks.union.edu/theses/163/ |editorial= Union College |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=José |nom=Jorge V. |url=https://www.worldcat.org/oclc/857769535 |títol=Classical Dynamics: A Contemporary Approach |cognom2=Saletan |nom2=Eugene J. |any=1998 |editorial=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-139-64890-5 |lloc=Cambridge |oclc=857769535 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom = Kosmann-Schwarzbach |nom = Yvette | enllaçautor = Yvette Kosmann-Schwarzbach |títol = The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century |editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |col·lecció = Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |any = 2010 | isbn = 978-0-387-87867-6 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Lanczos| enllaçautor= Cornelius Lanczos |nom=C. |any = 1970 |títol = The Variational Principles of Mechanics | editorial = Dover Publications |lloc=Nova York| isbn = 0-486-65067-7 |pàgina = 401-405 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |llengua=anglès |nom=Leon |cognom=Lederman|enllaçautor=Leon M. Lederman |nom2=Christopher T. |cognom2=Hill |enllaçautor2=Christopher T. Hill |títol=Symmetry and the Beautiful Universe |editorial=Prometheus Book |any=2008 |isbn=978-1-59102-575-7 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Leone |nom=Raphaël |títol=On the wonderfulness of Noether's theorems, 100 years later, and Routh reduction |data=11 d'abril 2018|url=https://arxiv.org/abs/1804.01714 |llengua=anglès |obra=[[Universitat Cornell]]}}
* {{ref-publicació |cognom=Montesinos |nom=Merced |nom2=Ernesto |cognom2=Flores |publicació=Revista Mexicana de Física |article=Symmetric energy–momentum tensor in Maxwell, Yang–Mills, and Proca theories obtained using only Noether's theorem |volum=52(1) |pàgina=29-36 |any=2006 |url=http://rmf.smf.mx/pdf/rmf/52/1/52_1_29.pdf |format={{PDF}} |arxiv=hep-th/0602190 |bibcode=2006RMxF...52...29M |llengua=anglès |consulta=2022-10-14 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20160304023543/http://rmf.smf.mx/pdf/rmf/52/1/52_1_29.pdf |arxiudata=2016-03-04 }}
* {{ref-publicació |cognom=Moser |nom=Seth |article=Understanding Noether's Theorem by Visualizing the Lagrangian |publicació=Physics Capstone Projects |data=21 d'abril 2020 |pàgina=1-12 |url=https://digitalcommons.usu.edu/phys_capstoneproject/86/ |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom = Neuenschwander |nom = Dwight E. |títol = Emmy Noether's Wonderful Theorem |editorial = Johns Hopkins University Press |any = 2010 | isbn = 978-0-8018-9694-1 |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Noether |nom=Emmy |enllaçautor=Emmy Noether |any=1971 |títol=Invariant Variation Problems |publicació=Transport Theory and Statistical Physics |volum=1(3) |pàgina=186-207 |arxiv=physics/0503066 |doi=10.1080/00411457108231446 |bibcode = 1971TTSP....1..186N |s2cid=119019843 |llengua=anglès}} (Original en {{ref-publicació |cognom= Noether |nom=E. |any = 1918 |títol = Invariante Variationsprobleme |publicació = Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |col·lecció=Mathematisch-Physikalische Klasse |url= https://eudml.org/doc/59024 |llengua=alemany}})
* {{ref-llibre |cognom = Olver |nom = Peter |enllaçautor=Peter J. Olver |títol = Applications of Lie groups to differential equations |editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | col·lecció = Graduate Texts in Mathematics | volum = 107 |any = 1993 | isbn = 0-387-95000-1 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |títol=An Introduction to Quantum Field Theory |cognom=Peskin |nom=Michael E. |nom2=Daniel V. |cognom2=Schroeder |editorial=Basic Books |isbn=0-201-50397-2 |any=1995 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Quigg |nom=Chris |data=9 de juliol de 2019 |títol=Colloquium: A Century of Noether's Theorem |llengua=anglès |url=https://arxiv.org/abs/1902.01989 |obra=[[Universitat Cornell]]}}
* {{ref-llibre |cognom = Sardanashvily |nom = G. | enllaçautor=Gennadi Sardanashvily |títol = Noether's Theorems. Applications in Mechanics and Field Theory |editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |any = 2016 | isbn = 978-94-6239-171-0 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Thompson |nom=W. J. |títol=Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems |editorial=Wiley |any=1994 |isbn=0-471-55264-X |volum=1 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Thornton |nom=Stephen T. |títol=Classical dynamics of particles and systems |cognom2=Marion |nom2=Jerry B. |any=2004 |editorial=Brooks/Cole, Cengage Learning |isbn=978-0-534-40896-1 |lloc=Boston, MA |oclc=759172774 |llengua=anglès}}
{{Div col end}}

== Vegeu també ==
{{Div col|cols=2}}
* [[Bosó de Goldstone]]
* [[Càrrega (física)]]
* [[Invariant]]
* [[Llei de conservació]]
* [[Simetria en física]]
* [[Teoria de gauge]]
{{Div col end}}

{{ORDENA:Teorema De Noether}}
[[Categoria:Simetria]]
[[Categoria:Lleis de conservació]]