Mostra la font per a Teoria d'anells

En [[àlgebra abstracta]], la '''teoria d'anells''' és l'estudi de les estructures d'anells algebraiques en la qual la suma i la multiplicació són definides i tenen propietats similars a les operacions definides per als enters. La teoria de l'anell estudia l'estructura dels anells, les seves representacions, o, en un altre llenguatge, mòduls, classes especials d'anells (anells de grup, anells de divisió, àlgebres envoltants universals), així com una sèrie de propietats que va resultar ser d'interès tant per la teoria, com per les seves aplicacions, com ara les propietats homològiques i identitats polinòmiques.{{sfn|Goodearl|Warfield|1989}} 

== Anell ==
Un anell és una terna {{nowrap|(''R'', +, ·)}} on ''R'' és un conjunt i + i · són dues operacions binàries sobre ''R'' tals que + és associativa, commutativa, té element neutre i té element [[Simetria|simètric]] i és [[Propietat associativa|associativa]] i [[Propietat distributiva|distributiva]] respecte de +. Normalment (per abús de notació) ens referirem a l'anell ''R'', entenent que sobre ''R'' hi tenim definides dues operacions + i · amb les propietats anteriors. Si en un anell ''R'' existeix un element {{nowrap|1 ∈ ''R''}} tal que {{nowrap|1 · ''a''}} = {{nowrap|''a'' · 1}} = ''a'' per a tot {{nowrap|''a'' ∈ ''R''}}, es diu que ''R'' és un anell amb unitat. Si en un anell ''R'' es compleix que {{nowrap|''a'' · ''b''}} = {{nowrap|''b'' · ''a''}} per a tots {{nowrap|''a'', ''b'' ∈ ''R''}}, es diu que ''R'' és un anell commutatiu.<ref name=CG/>

Els anells commutatius són més ben entesos que els no commutatius. La [[geometria algebraica]] i la [[Teoria de nombres algebraics|teoria algebraica]] de nombres, que proporcionen molts exemples naturals d'anells commutatius, han impulsat gran part del desenvolupament de la teoria de l'anell commutatiu, que ara, sota el nom d'[[àlgebra commutativa]], que és ara una àrea important de la matemàtica moderna. Com que aquests tres camps (geometria algebraica, teoria algebraica de nombres i àlgebra commutativa) estan tan íntimament relacionats, en general és difícil i no té cap sentit decidir a quin camp un resultat particular pertany. Per exemple, El [[Teorema dels zeros de Hilbert|Teorema dels zeros]] de Hilbert és un teorema que és fonamental per a la geometria algebraica, i es va afirmar i demostrar en termes de l'àlgebra commutativa. De la mateixa manera, l'últim teorema de Fermat s'expressa en termes de l'aritmètica elemental, que és una part de l'àlgebra commutativa, però la seva prova implica resultats profunds de la teoria algebraica de nombres i la geometria algebraica.

Els anells no commutatius són força diferents en sabor, ja que pot sorgir un comportament més inusual. Mentre que la teoria ha desenvolupat en el seu propi dret, una tendència bastant recent ha buscat en paral·lel al desenvolupament commutatiu mitjançant la construcció de la teoria de certes classes d'anells no commutatius en una forma geomètrica com si fossin anells de funcions en (inexistent) 'espais no commutatius'. Aquesta tendència es va iniciar en la dècada de 1980 amb el desenvolupament de la geometria no commutativa i amb el descobriment de grups quàntics. Ha donat lloc a una millor comprensió dels anells no commutatius, anells noetherians especialment no commutatius.<ref>{{ref-llibre |títol=An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings | editorial=Cambridge University Press |any=1989 |isbn=0521369258 |autor=K. R. Goodearl, R. B. Warfield, Jr |llengua=anglès}}</ref>

Per a les definicions d'un anell i dels conceptes bàsics i les propietats, consulteu l'anell (matemàtiques). Les definicions dels termes utilitzats en la teoria d'anells es poden trobar al glossari de la teoria d'anells.

== Anells commutatius ==
Un anell es diu commutatiu si la seva [[multiplicació]] és commutativa. Els anells commutatius s'assemblen a sistemes numèrics familiars i a diverses definicions per a anells commutatius que estan dissenyats per formalitzar propietats dels nombres enters. Els anells commutatius també són importants en la geometria algebraica. En la teoria de l'anell commutatiu, els assaig són sovint reemplaçats pels ideals, i la definició de l'ideal primer tracta de captar l'essència dels nombres primers. Els dominis integrals, els anells commutatius no trivials, on no hi ha dos elements diferents de zero es multipliquen per donar zero, per generalitzar una altra propietat dels nombres enters i per servir com l'àmbit adequat per estudiar la [[divisibilitat]]. Els dominis d'ideals principals són dominis d'integritat en el qual cada ideal pot ser generat per un sol element, una altra propietat compartida pels nombres enters. Els dominis [[Euclidiana|euclidians]] són dominis integrals en què l'algoritme d'Euclides es pot dur a terme. Exemples importants d'anells commutatius poden ser construïts com anells de polinomis i els seus anells de factors. Resum: domini euclidià => domini d'ideals principals => domini de factorització única => domini d'integritat => anell commutatiu.

=== Geometria algebraica ===
La geometria algebraica és en molts sentits la imatge especular de l'àlgebra commutativa. Un esquema es construeix per pujar anells en algun sentit. [[Alexander Grothendieck]] va donar les definicions decisives dels objectes utilitzats en la [[geometria algebraica]]. Va definir l'espectre d'un [[anell commutatiu]] com l'espai d'ideals primers amb [[topologia de Zariski]], però augmenta amb una garba dels anells: per a cada conjunt Zariski-obert assigna un anell commutatiu, considerat com l'anell de ''[[funcions polinòmiques]]'' definit en aquest conjunt. Aquests objectes són els ''esquemes afins''; un esquema general que s'obté llavors ''enganxant'' diversos d'aquests esquemes afins, en analogia amb el fet que les varietats generals es poden obtenir enganxant varietats.

== Anells no commutatius ==
Els anells no commutatius semblen anells de matrius en molts aspectes. Seguint el model de la geometria algebraica, recentment s'han fet intents per definir la geometria no commutativa basant-se en els anells no commutatius. Els anells no commutatius i les àlgebres associatives (anells que també són [[Espai vectorial|espais vectorials]]) s'estudien sovint a través de les seves categories de mòduls. Un mòdul sobre un anell és un grup abelià que l'anell actua com un anell d'[[Endomorfisme|endomorfismes]], molt semblant a la manera que els camps de vies (dominis d'integritat en què cada element diferent de zero és invertible) actuen en els espais vectorials. Els exemples d'anells no commutatius es donen per anells de matrius quadrades o més generalment per anells d'endomorfismes de grups abelians o mòduls, i per anells monoide.

=== Teoria de representació ===
La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que es basa en gran manera dels anells no commutatius. Estudia les estructures algebraiques abstractes mitjançant la representació dels seus elements com transformacions lineals d'espais vectorials i mòduls d'estudis sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.<ref>{{Ref-publicació|article=The Genesis of the Abstract Ring Concept|url=https://www.jstor.org/stable/2974935?origin=crossref|publicació=The American Mathematical Monthly|data=1996-05|pàgines=417|volum=103|exemplar=5|doi=10.2307/2974935|nom=Israel|cognom=Kleiner}}</ref> En essència, una representació algebraica fa que un objecte abstracte sigui més concret mitjançant la descripció dels seus elements de matrius i les operacions algebraiques en termes de la suma de matrius i multiplicació de la matriu, que és no [[Propietat commutativa|commutatiu]]. Els objectes algebraics susceptibles de tal descripció inclou grups, les àlgebres associatives i àlgebres de Lie. La més prominent d'aquests (i històricament el primer) és la teoria de la representació dels grups, en els quals elements d'un grup estan representats per matrius invertibles de manera que l'operació del grup és la multiplicació de matrius.

== Aplicacions ==
=== L'anell d'enters d'un cos de nombres ===
L'anell d'enters d'un [[cos dels nombres algebraics]] <math>K</math> és l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] de tots els [[Enter algebraic|enters algebraics]] continguts en <math>K</math>.{{sfn|Alaca|Williams|2003|loc=Defs. 6.1.2-3|p=110}} Un enter algebraic és una [[Arrel d'una funció|arrel]] d'un [[polinomi mònic]] amb [[coeficient]]s [[enter]]s: <math>x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0</math>.{{sfn|Alaca|Williams|2003|loc=Defs. 4.1.1-2|p=74}} Es denota sovint aquest anell com <math>O_K</math> o <math>\mathcal O_K</math>. Com que tot [[enter]] pertany a <math>K</math> i és un element enter de <math>K</math>, l'anell <math>\mathbb{Z}</math> és sempre un subanell de <math>O_K</math>.

=== L'anell de coordenades d'una varietat algebraica ===
Sigui ''X'' una varietat algebraica afina, llavors el conjunt de totes les funcions regulars en ''X'' forma un anell anomenat anell de coordenades de ''X''. Per a varietats projectives, hi ha un anell anàleg anomenat l'anell de coordenades homogènies. Aquests anells són essencialment el mateix que les varietats: es corresponen d'una forma essencialment única. Això es pot veure ja sigui a través del [[Teorema dels zeros de Hilbert|''Nullstellensatz'' de Hilbert]] o a través de construccions esquemàtiques-teòriques.

=== L'anell d'invariants ===
Una qüestió bàsica (i potser la més fonamental) en la teoria d'invariants clàssica és la de trobar i estudiar polinomis en l'anell de polinomis <math>k[V]</math> que siguin invariants respect l'acció d'un grup finit (o més generalment reductiu) ''G'' en ''V''. L'exemple principal és el de l'anell de polinomis simètrics: els polinomis simètrics són polinomis que són invariants respecte la permutació de la variable. El teorema fonamental dels polinomis simètrics afirma que aquest anell és <math>R[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]</math> on <math>\sigma_i</math> són polinomis simètrics elementals.

== Història ==
La fundació de la teoria d'anells es pot atribuir a [[Emmy Noether]], qui en la [[dècada de 1920]] va unificar i estructurar resultats i conceptes de la teoria d'[[invariant]]s i d'[[àlgebra de dimensió finita|àlgebres de dimensió finita]] d'autors com ara Hilbert, Wedderburn, Artin i altres, creant la teoria d'anells moderna.<ref name=CG>{{ref-publicació |cognom=Cedó Giné |nom=Ferran |títol=La conjectura de Köthe: un dels problemes oberts més antics de la teoria d'anells |publicació=Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques |data=2009 |pàgines=86 |volum=24 |exemplar=2}}</ref> El fonamental per al desenvolupament d'aquests temes van ser els anells d'enters en camps de nombres algebraics i camps de funcions algebraiques, i els anells de polinomis en dues o més variables. La teoria de l'anell no commutatiu va començar amb intents d'estendre els nombres complexos a diversos sistemes numèrics hipercomplexos. La gènesi de la teoria d'anells commutatius i no commutatius es remunta a principis del {{segle|XIX}}, mentre que el seu venciment només es va aconseguir en la tercera dècada del {{segle|XX}}.

Emmy Noether va publicar l'any 1921 un article insigne anomenat ''Idealtheorie in Ringbereichen'', en què va analitzar la condició de la cadena ascendent respecte dels ideals matemàtics. El notable algebrista [[Irving Kaplansky]] va qualificar aquesta obra de "revolucionària";{{Sfn |Kimberling|1981|p=18}} la publicació va donar lloc al terme "[[anell noetherià]]", molts altres objectes matemàtics van acabar rebent el nom de ''[[Noetherià]]''.{{Sfn |Kimberling|1981|p=18}}<ref>{{citation|last= Dick|first= Auguste|author-link=Auguste Dick|title= Emmy Noether: 1882–1935| publisher= [[Birkhäuser]] | year = 1981| isbn =3-7643-3019-8 | translator-first= H. I. | translator-last= Blocher}}, p. 44–45.</ref>

Més precisament, [[William Rowan Hamilton]] va proposar els [[quaternió|quaternions]] i biquaternions; [[James Cockle]] va presentar nombres bicomplexos i quaternions companys; i [[William Kingdon Clifford]] era un entusiasta de ''split biquaternions'', que ell va anomenar motors algebraics. Aquestes àlgebres no commutatives i les àlgebres de Lie no associatives, van ser estudiades en l'àlgebra universal abans que el tema es dividís en determinats tipus d'estructures matemàtiques. Un senyal de reorganització va ser l'ús de sumes directes per descriure l'estructura algebraica.

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{cite book | last1=Alaca | first1=Saban | last2=Williams | first2=Kenneth S.| title = Introductory Algebraic Number Theory | year=2003 | publisher=[[Cambridge University Press]] | url=https://www.cambridge.org/core/books/introductory-algebraic-number-theory/9F53B233CD4D717B1A31ECD117FFEA7D | isbn=9780511791260}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Allenby
 | nom= R. B. J. T.
 |edició= Second
 | isbn = 0-7131-3476-3
 | mr = 1144518
 |pàgina= [https://archive.org/details/ringsfieldsgroup0000alle/page/ xxvi+383]
 | editorial = Edward Arnold, London
 | títol= Rings, Fields and Groups
 | any = 1991
 | url = https://archive.org/details/ringsfieldsgroup0000alle/page/
 }}
* {{ref-llibre
 | cognom1 = Blyth | nom1 = T.S.
 | cognom2 = Robertson | nom2 = E.F.
 | isbn = 0-521-27288-2
 | editorial = [[Cambridge University Press]] |lloc= Cambridge
 | títol= Groups, Rings and Fields: Algebra through practice, Book 3
 | any = 1985}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Faith | nom= Carl
 | isbn = 0-8218-0993-8
 | mr = 1657671
 | editorial = American Mathematical Society |lloc= Providence, RI
 | series = Mathematical Surveys and Monographs
 | títol= Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra
 | volum= 65
 | any = 1999}}
* {{ref-llibre
 | cognom1 = Goodearl
 | nom1 = K. R.
 | cognom2 = Warfield
 | nom2 = R. B. Jr.
 | isbn = 0-521-36086-2
 | mr = 1020298
 | editorial = [[Cambridge University Press]]
 |lloc= Cambridge
 | series = London Mathematical Society Student Texts
 | títol= An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings
 | volum= 16
 | any = 1989
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/introductiontono0000good
 }}
* {{ref-llibre
 | cognom= Judson
 | nom= Thomas W.
 | títol= Abstract Algebra: Theory and Applications
 | url= https://abstract.ups.edu
 | any= 1997
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190830160822/https://abstract.ups.edu/ |date=2019-08-30 }}
* {{ref-llibre
 | cognom= Kimberling | nom= Clark |enllaçautor= Clark Kimberling
 | editor1-cognom= Brewer | editor1-nom= James W
 | editor2-cognom= Smith | editor2-nom= Martha K
 |citació= Emmy Noether and Her Influence
 |pàgines= 3–61
 | editorial = [[Marcel Dekker]]
 | títol= Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work
 | any = 1981}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Lam | nom= T. Y.
 | doi = 10.1007/978-1-4612-0525-8
 | isbn = 0-387-98428-3
 | mr = 1653294
 | editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Nova York| series = Graduate Texts in Mathematics
 | títol= Lectures on Modules and Rings
 | volum= 189
 | any = 1999}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Lam | nom= T. Y.
 | doi = 10.1007/978-1-4419-8616-0
 |edició= Second
 | isbn = 0-387-95183-0
 | mr = 1838439
 | editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Nova York| series = Graduate Texts in Mathematics
 | títol= A First Course in Noncommutative Rings
 | volum= 131
 | any = 2001}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Lam | nom= T. Y.
 |edició= Second
 | isbn = 0-387-00500-5
 | mr = 2003255
 | editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Nova York| series = Problem Books in Mathematics
 | títol= Exercises in Classical Ring Theory
 | any = 2003}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Matsumura | nom= Hideyuki
 |edició= Second 
 | isbn = 0-521-36764-6 
 | mr = 1011461
 | editorial = Cambridge University Press |lloc= Cambridge, UK.
 | series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
 | títol= Commutative Ring Theory
 | volum= 8
 | any = 1989}}
* {{ref-llibre
 | cognom1 = McConnell | nom1 = J. C.
 | cognom2 = Robson | nom2 = J. C.
 | doi = 10.1090/gsm/030
 | isbn = 0-8218-2169-5
 | mr = 1811901
 | editorial = American Mathematical Society |lloc= Providence, RI
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | títol= Noncommutative Noetherian Rings
 | volum= 30
 | any = 2001}}
* {{ref-llibre
 | cognom1 = O'Connor | nom1 = J. J.
 | cognom2 = Robertson | nom2 = E. F.
 |citació= The development of ring theory
 | contribution-url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory
 | data= setembre 2004
 | títol= MacTutor History of Mathematics Archive}}
* {{ref-llibre
 | cognom= Pierce
 | nom= Richard S.
 | isbn = 0-387-90693-2
 | mr = 674652
 | editorial = [[Springer-Verlag]]
 |lloc=Nova York| series = Graduate Texts in Mathematics
 | títol= Associative Algebras
 | volum= 88
 | any = 1982
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
 }}
* {{ref-llibre
 | cognom= Rowen | nom= Louis H.
 | isbn = 0-12-599841-4
 | mr = 940245
 | editorial = Academic Press |lloc= Boston, MA
 | series = Pure and Applied Mathematics
 | títol= Ring Theory, Vol. I
 | volum= 127
 | any = 1988}}. Vol. II, Pure and Applied Mathematics 128, {{isbn|0-12-599842-2}}.
* {{ref-llibre
 | cognom= Weibel | nom= Charles A.
 | isbn = 978-0-8218-9132-2
 | mr = 3076731
 | editorial = American Mathematical Society |lloc= Providence, RI
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | títol= The K-book: An introduction to algebraic K-theory
 | url = https://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
 | volum= 145
 | any = 2013}}

{{Commonscat}}

[[Categoria:Teoria d'anells| ]]