Mostra la font per a Teoria de la representació

[[Fitxer:Hexagon_reflections.svg|miniatura|250x250px| La teoria de la representació estudia com les estructures algebraiques "actuen" sobre els objectes. Un exemple senzill és com les [[Grup diedral|simetries de polígons regulars]], que consisteixen en reflexions i rotacions, transformen el polígon.]]
'''La teoria de la representació''' és una branca de les [[matemàtiques]] que estudia [[Àlgebra abstracta|les]] [[Estructura algebraica|estructures algebraiques]] abstractes ''representant'' els seus [[Element (matemàtiques)|elements]] com a [[Aplicació lineal|transformacions lineals]] d'[[Espai vectorial|espais vectorials]]<ref>{{Ref-web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#representation|títol=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation|data=2019-08-01|obra=Math Vault|llengua=en-US|consulta=2019-12-09|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20200228211953/https://mathvault.ca/math-glossary/#representation|arxiudata=2020-02-28}}</ref> i estudia [[Mòdul|mòduls]] sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.<ref>Classic texts on representation theory include {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}. Other excellent sources are {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} and {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}</ref><ref>{{Ref-web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/representation+theory|títol=representation theory in nLab|obra=ncatlab.org|consulta=2019-12-09|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20230325200936/https://ncatlab.org/nlab/show/representation%20theory|arxiudata=2023-03-25}}</ref> En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per [[Matriu (matemàtiques)|matrius]] i les seves operacions algebraiques (per exemple, [[suma de matrius]], [[Multiplicació de matrius|multiplicació de matriu]]). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes. 

Els [[Àlgebra|objectes algebraics]] susceptibles d'aquesta descripció inclouen [[Grup (matemàtiques)|grups]], [[Àlgebra associativa|àlgebres associatius]] i [[Àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]]. La més destacada (i històricament la primera) és la [[Representació de grup|teoria de la representació de grups]], en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius.<ref>{{Harvtxt|Lam|1998}}{{Harvtxt|Borel|2001}}</ref><ref name=:0>{{Ref-web|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf|títol=Introduction to representation theory|cognom=Etingof|nom=Pavel|data=10 gener 2011|obra=www-math.mit.edu|consulta=2019-12-09|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20210506203242/http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf|arxiudata=2021-05-06}}</ref>

La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de [[Àlgebra abstracta|l'àlgebra abstracta]] a problemes en [[Àlgebra lineal|l'àlgebra lineal]], un tema ben entès.<ref name="linalg">Hi ha molts llibres de text sobre [[Espai vectorial|espais vectorials]] i [[àlgebra lineal]]. Per a un tractament avançat, vegeu {{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}}</ref> A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un [[espai de Hilbert]], es poden aplicar mètodes d'[[Anàlisi matemàtica|anàlisi]] a la teoria de grups.<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}</ref><ref name=:1>{{Ref-web|url=https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf|títol=Representation Theory|cognom=Teleman|nom=Constantin|data=2005|obra=math.berkeley.edu|consulta=2019-12-09|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20230323195404/https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf|arxiudata=2023-03-23}}</ref> La teoria de la representació també és important en [[física]] perquè, per exemple, descriu com el [[Grup de simetria|grup]] de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema.<ref name="Sternberg">{{Harvnb|Sternberg|1994}}</ref>

La teoria de la representació és generalitzada en els camps de les matemàtiques per dos motius. En primer lloc, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses:<ref>{{Harvnb|Lam|1998|p=372}}</ref> a més del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:

* il·lumina i generalitza [[Anàlisi de Fourier|l'anàlisi de Fourier]] mitjançant [[Anàlisi harmònica|l'anàlisi harmònica]],<ref name="Folland">{{Harvnb|Folland|1995}}</ref>
* està connectat a la [[geometria]] mitjançant la teoria invariant i el [[Programa d'Erlangen|programa Erlangen]],<ref>{{Harvnb|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvnb|Olver|1999}}, {{Harvnb|Sharpe|1997}}</ref>
* té un impacte en la teoria de nombres a través de formes automòrfiques i el programa Langlands.<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}, {{Harvnb|Gelbart|1984}}</ref>

En segon lloc, hi ha diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes es poden estudiar mitjançant mètodes de [[geometria algebraica]], [[Mòdul|teoria de mòduls]][[Teoria analítica de nombres|, teoria de nombres analítics]], [[geometria diferencial]], teoria d'operadors, combinatòria algebraica i [[topologia]].<ref>See the previous footnotes and also {{Harvtxt|Borel|2001}}</ref>

L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la [[teoria de categories]].<ref name="SSA">{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}</ref> Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a [[Functor|functors]] des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.<ref name=:0/> Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.

== Definicions i conceptes ==
Sigui ''V'' un [[espai vectorial]] en el [[Cos (matemàtiques)|cos]] '''F'''.<ref name=linalg/> Per exemple, suposant que ''V'' és '''R'''<sup>''n''</sup> o '''C'''<sup>''n''</sup>, l'espai ''n''-dimensional estàndard de vectors columna en els nombres [[nombre real|reals]] o [[nombre complex|complexos]], respectivament. En aquest cas, la idea de la teoria de la representació és fer concreta l'[[àlgebra abstracta]] usant ''n'' &veces; ''n'' [[matriu (matemàtiques)|matrius]] de nombres reals o complexos.

Existeixen tres tipus d'objectes algebraics sobre els quals es pot realitzar això: [[Grup (matemàtiques)|grup]], [[Àlgebra associativa|àlgebres associatives]] i [[Àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]].<ref>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}, {{Harvnb|Humphreys|1972a}}</ref><ref name=:0/>

* El conjunt de totes les ''n'' matrius ''[[Matriu invertible|invertible]]s'' ''n'' <math>\times</math> ''n'' és un grup respecte la [[multiplicació de matrius]], i la [[Representació de grup|teoria de representació de grups]] analitza un grup mitjançant la descripció ("representació") dels seus elements en funció de les seves matrius invertibles.
* La suma i la multiplicació de matrius formen un grup de ''totes'' les ''n'' matrius ''n'' vegades en una àlgebra associativa i, per tant, existeix una teoria de representació d'àlgebres associatives corresponent.

* Si se substitueix la multiplicació de matrius ''MN'' pel [[Commutador (matemàtiques)|Commutador]] de matrius ''MN'' &minus; ''NM'', llavors les ''n'' &veces; ''n'' matrius es converteixen en una àlgebra de Lie, que dona lloc a una representació d'àlgebres de Lie.

Això és generalitzable a tot camp '''F''' i a tot espai vectorial ''V'' en '''F''', amb [[Aplicació lineal|mapes lineals]] substituint les matrius i la [[composició de funcions]] substituint la multiplicació de matrius: existeix un grup [[Grup_lineal_general#Espais_vectorials|GL(''V'','''F''')]] de [[Aplicació lineal|automorfismes]] de ''V'', una àlgebra associativa End<sub>'''F'''</sub>(''V'') de tots els endomorfismes de ''V'', i una àlgebra de Lie corresponent '''gl'''(''V'','''F''').

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{citar ref|títol= Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups|nom=J. L.|cognom= Alperin|enllaçautor=J. L. Alperin|editorial=Cambridge University Press|any= 1986|isbn=978-0-521-44926-7}}.
* {{citar ref|nom=V.|cognom=Bargmann|títol=Irreducible unitary representations of the Lorenz group|publicació= [[Annals of Mathematics]]|volum=48|any=1947|pàgines=568–640|doi=10.2307/1969129|exemplar=3|jstor=1969129}}.
* {{citar ref|títol=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups|nom=Armand|cognom= Borel|enllaçautor=Armand Borel|editorial=American Mathematical Society|any= 2001|isbn=978-0-8218-0288-5}}.
* {{citar ref|títol=Automorphic Forms, Representations, and L-functions|nom1=Armand |cognom1=Borel|nom2= W.|cognom2=Casselman|editorial=American Mathematical Society|any= 1979|isbn=978-0-8218-1435-2}}.
* {{citar ref|títol=Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras|nom1=Charles W.|cognom1=Curtis|enllaçautor1=Charles W. Curtis|nom2=Irving|cognom2=Reiner|enllaçautor2=Irving Reiner|editorial=John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)|any=1962|isbn=978-0-470-18975-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/representationth11curt}}.<!---citation template accepts only one isbn---(ISBN 978-0821840665)--->
* {{citar ref|nom=Stephen|cognom=Gelbart|enllaçautor= Stephen Gelbart |títol=An Elementary Introduction to the Langlands Program|publicació=Bulletin of the American Mathematical Society|volum=10|exemplar=2|any=1984|pàgines=177–219|doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6|doi-access=free}}.
* {{citar ref|títol=A Course in Abstract Harmonic Analysis|nom=Gerald B.|cognom= Folland|editorial=CRC Press|any= 1995|isbn=978-0-8493-8490-5}}.
* {{Fulton-Harris}}.
* {{citar ref|cognom2=Wallach|nom2=Nolan R.|cognom1=Goodman|nom1=Roe|any=1998|títol=Representations and Invariants of the Classical Groups|editorial= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-66348-9}}.
* {{citar ref|nom1=Gordon|cognom1=James|author-link2=Martin Liebeck |cognom2=Liebeck|nom2= Martin |títol=Representations and Characters of Finite Groups |lloc=Cambridge |editorial=Cambridge University Press |any=1993 | isbn=978-0-521-44590-0}}.
* {{citar ref|cognom=Hall|nom=Brian C.|títol=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edició=2a edició|series=Graduate Texts in Mathematics|volum=222|editorial=Springer|any=2015|isbn= 978-3319134666}}
* {{citar ref|nom=Sigurdur|cognom=Helgason|enllaçautor=Sigurdur Helgason|títol=Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces|editorial=Academic Press|any=1978|isbn=978-0-12-338460-7}}
* {{citar ref|títol=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|nom=James E.|cognom=Humphreys|editorial=Birkhäuser|any=1972a|isbn=978-0-387-90053-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame}}.
* {{citar ref|cognom1=Humphreys |nom1=James E. |títol=Linear Algebraic Groups |editorial=[[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90108-4 |mr=0396773 |any=1972b |volum=21}}
* {{citar ref|títol=Representations of Algebraic Groups|nom=Jens Carsten|cognom= Jantzen|editorial=American Mathematical Society|any= 2003|isbn=978-0-8218-3527-2}}.
* {{citar ref|cognom=Kac|nom= Victor G.|enllaçautor=Victor Kac|títol= Lie superalgebras|publicació= [[Advances in Mathematics]]|volum= 26 |any=1977|exemplar= 1|pàgines=8–96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|doi-access=free}}.
* {{citar ref|cognom=Kac|nom= Victor G.|títol=Infinite Dimensional Lie Algebras|edició=3rd|editorial=Cambridge University Press|any= 1990|isbn=978-0-521-46693-6}}.
* {{citar ref|títol=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples|nom=Anthony W.|cognom= Knapp|enllaçautor=Anthony Knapp|editorial= Princeton University Press|any= 2001|isbn=978-0-691-09089-4}}.
* {{citar ref|títol=Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals|nom=Shoon Kyung|cognom=Kim|editorial=Cambridge University Press|any= 1999|isbn=978-0-521-64062-6}}.
* {{citar ref|títol=Linear Algebra and Geometry|nom1=A. I.|cognom1=Kostrikin|enllaçautor=Alexei Kostrikin|nom2=Yuri I.|cognom2= Manin|enllaçautor2=Yuri Manin|editorial=Taylor & Francis|any= 1997|isbn=978-90-5699-049-7}}.
* {{citar ref|títol=Representations of finite groups: a hundred years|nom=T. Y.|cognom=Lam|publicació=Notices of the AMS|volum= 45|exemplar= 3,4|any=1998|pàgines=[https://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf 361–372 (Part I)], [https://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf 465–474 (Part II)]}}.
* Yurii I. Lyubich. ''Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups''. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
* {{citar ref|cognom1=Mumford |nom1=David |enllaçautor1=David Mumford |cognom2=Fogarty |nom2=J. |cognom3=Kirwan |nom3=F. |títol=Geometric invariant theory |editorial=[[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York |edició=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=0214602<!--(1st ed. 1965)--> |any=1994 |volum=34}}; {{MathSciNet|id=0719371}} (2nd ed.); {{MathSciNet | id = 1304906}}(3rd ed.)
* {{citar ref|cognom=Olver|nom= Peter J. |enllaçautor=Peter J. Olver |títol=Classical invariant theory |lloc=Cambridge |editorial=Cambridge University Press |any=1999 | isbn= 978-0-521-55821-1}}.
* {{citar ref|nom1=F.|cognom1=Peter|nom2=Hermann|cognom2=Weyl|títol=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|publicació=[[Mathematische Annalen]]|volum=97|any=1927|exemplar=1|pàgines=737–755|doi=10.1007/BF01447892|doi-access=free|s2cid=120013521|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|url-status=dead|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20140819143253/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|arxiudata=2014-08-19|títol=Còpia arxivada|consulta=2021-10-14|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20140819143253/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|arxiudata=2014-08-19}}.
* {{citar ref|nom=Lev S.|cognom= Pontrjagin|enllaçautor=Lev Pontryagin|títol=The theory of topological commutative groups|publicació=[[Annals of Mathematics]]|volum=35|any= 1934|pàgines= 361–388|doi=10.2307/1968438|exemplar=2|jstor=1968438}}.
* {{citar ref|títol=Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups|nom1=Paul|cognom1= Sally|enllaçautor1=Paul Sally|nom2= David A.|cognom2= Vogan|enllaçautor2=David Vogan|editorial=American Mathematical Society|any=1989|isbn=978-0-8218-1526-7}}.
* {{citar ref|enllaçautor=Jean-Pierre Serre |nom=Jean-Pierre |cognom=Serre |títol=Linear Representations of Finite Groups |editorial=Springer-Verlag |any=1977 | isbn=978-0387901909 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr}}.
* {{citar ref|títol= Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program|nom=Richard W.|cognom= Sharpe|editorial=Springer|any= 1997|isbn= 978-0-387-94732-7}}.
* {{citar ref|títol=Elements of the Representation Theory of Associative Algebras|nom1=Daniel|cognom1= Simson|nom2= Andrzej|cognom2=Skowronski|nom3= Ibrahim|cognom3= Assem|editorial= Cambridge University Press|any= 2007|isbn=978-0-521-88218-7}}.
* {{citar ref|títol=Group Theory and Physics|nom=Shlomo|cognom=Sternberg|enllaçautor=Shlomo Sternberg|editorial=Cambridge University Press|any=1994|isbn=978-0-521-55885-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/grouptheoryphysi0000ster}}.
* {{ref-llibre|títol=Group Theory in Physics|edició=1st|lloc=New Jersey·London·Singapore·Hong Kong|any=1985|isbn=978-9971966577|editorial=[[World Scientific Publishing|World Scientific]]|cognom=Tung|nom=Wu-Ki}}
* {{citar ref|títol= Gruppentheorie und Quantenmechanik|nom=Hermann|cognom= Weyl|enllaçautor=Hermann Weyl|edició=The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931|editorial= S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)|any=1928|isbn=978-0-486-60269-1}}.
* {{citar ref|títol=The Classical Groups: Their Invariants and Representations|nom=Hermann|cognom= Weyl|any=1946|edició=2a edició|editorial= Princeton University Press (reprinted 1997)| isbn= 978-0-691-05756-9}}.
* {{citar ref|nom= Eugene P.|cognom=Wigner|enllaçautor=Eugene Wigner|títol=On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group|publicació=[[Annals of Mathematics]]|volum=40|pàgines=149–204|any=1939|doi=10.2307/1968551|exemplar=1|jstor= 1968551}}.

[[Categoria:Àlgebra abstracta]]
[[Categoria:Matemàtiques]]