Mostra la font per a Teoria de nombres algebraics

[[Fitxer:Disqvisitiones-800.jpg|miniatura|Portada de la primera edició de [[Disquisitiones arithmeticae]], una de les obres originàries de la teoria de nombres algebraics moderna]]
La '''teoria de nombres algebraics''' és una branca de la [[teoria de nombres]] en què el concepte de [[nombre]] s'estén al de [[nombre algebraic|nombres algebraics]], que són les [[arrel (matemàtiques)|arrels]] dels [[polinomi]]s no nuls amb [[coeficient]]s [[nombre racional|racionals]]. El procediment consisteix a considerar un [[Anell (matemàtiques)|anell]] d'enters algebraics ''O'' en un [[cos de nombres algebraics]] ''K''/'''Q''', i estudiar les seves propietats algebraiques, com la [[factorització]], el comportament dels [[Ideal (matemàtiques)|ideals]] i les extensions de [[Cos (matemàtiques)|cossos]]. Amb aquesta estructura, pot succeir que les propietats familiars dels [[Nombre enter|enters]], com la [[Anell factorial|factorització única]], no siguin certes. L'avantatge de les eines desenvolupades originàriament (la [[teoria de Galois]], la [[cohomologia de grups]], les [[Representació de grup|representacions de grups]] i les [[Funció L|funcions ''L'']]) és que permet tractar amb nous fenòmens i, tot i així, recuperar part del comportament usual dels enters.

== Història de la teoria de nombres algebraics ==
=== Diofant ===
Els inicis de la teoria de nombres algebraics es pot remuntar a les [[Equació diofàntica|equacions diofàntiques]],{{sfn|Stark|1970|pp=145-146}} anomenades així pel matemàtic del {{segle|III}} [[Diofant d'Alexandria]], que va estudiar-les, i va desenvolupar mètodes per resoldre'n alguns tipus. Un problema diofàntic típic és trobar dos enters ''x'' i ''y'' tals que la seva suma sigui igual a un cert nombre ''A'', i la suma dels seus quadrats sigui igual a un cert nombre ''B'':
:<math>A = x + y</math>
:<math>B = x^2 + y^2</math>.

Les equacions diofàntiques han estat objecte d'estudi durant milers d'anys. Per exemple, les solucions a l'equació diofàntica quadràtica ''x''² + ''y''² = ''z''² ve donada per les [[Terna pitagòrica|ternes pitagòriques]], que ja eren conegudes pels babilonis (c. 1800 aC).{{sfn|Aczel|1996|pp=14-15}} Algunes de les primeres solucions a equacions diofàntiques lineals, com 26''x'' + 65''y'' = 13, es poden trobar utilitzant l'[[algorisme d'Euclides]] (c. {{segle|V|-}}).{{sfn|Stark|1970|pp=44-47}}

L'obra més important de Diofant fou l{{'}}''[[Arithmetica]]'', de la qual només se'n conserva una part.

=== Fermat ===
L'[[últim teorema de Fermat]] fou [[conjectura]]t per [[Pierre de Fermat]] l'any 1637, quan va escriure al marge d'una còpia d{{'}}''[[Arithmetica]]'' que havia trobat una demostració que era massa llarga perquè cabés al marge. No es va publicar cap demostració general fins a l'any 1995, tot i els esforços de nombrosos matemàtics durant els 358 anys posteriors. El fet que aquest problema estigués tant de temps sense resoldre va estimular el desenvolupament de la teoria de nombres algebraics durant el {{segle|XIX}} i la demostració del [[teorema de Taniyama-Shimura]] en el {{segle|XX}}.

=== Gauss ===
Una de les obres fundacionals de la teoria de nombres algebraics, ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' ({{la}} ''Investigacions aritmètiques'') és un llibre de text sobre [[teoria de nombres]] escrit en [[llatí]]<ref>{{ref-llibre|isbn=9780300094732|títol=Disquisitiones Arithmeticae|editorial=Yale University Press|nom=Carl Friedrich|cognom=Gauss|enllaçautor=Carl Friedrich Gauss|editor=Arthur A. Clarke (traductor, 1965)|any=1798}}</ref> per [[Carl Friedrich Gauss]] l'any 1798 quan Gauss tenia 21 anys, i publicat per primer cop l'any 1801. En aquest llibre, Gauss recopila resultats de teoria de nombres obtinguts per matemàtics com [[Fermat]], [[Euler]], [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], i hi afegeix nous resultats propis. Abans de la publicació de ''Disquisitiones'', la teoria de nombres consistia d'una col·lecció de teoremes i conjectures aïllats. Gauss va recopilar l'obra dels seus predecessors, juntament amb la seva pròpia obra, en un marc sistemàtic, va completar-los, va corregir demostracions incoherents, i va ampliar aquesta àrea d'estudi en diversos àmbits.

''Disquisitiones'' fou el punt de partida per l'obra d'altres matemàtics europeus del {{segle|XIX}}, com [[Ernst Kummer]], [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] i [[Richard Dedekind]]. Moltes de les anotacions proporcionades per Gauss són, de fet, anuncis d'investigacions posteriors seves, algunes de les quals continuen sense ser publicades. Aquestes aportacions van resultar críptiques als seus col·legues contemporanis; actualment es poden llegir com a l'inici de les teories de les [[Funció L|funcions ''L'']] i la [[multiplicació complexa]], en particular.

=== Dirichlet ===
En dues publicacions de 1838 i 1839, [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] va demostrar la primera [[fórmula de classe numèrica]], per a [[Forma quadràtica|formes quadràtiques]] (posteriorment refinada pel seu estudiant Kronecker). La fórmula, a la que Jacobi es va referir com un resultat que "tocava el súmmum de la perspicàcia humana", va obrir el camí per a resultats semblants sobre [[Cos de nombres algebraics|cossos de nombres]] més generals.<ref name=Elstrodt>{{ref-publicació | cognom = Elstrodt | nom = Jürgen | publicació = Clay Mathematics Proceedings | títol = The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) | any = 2007 | url = http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | format = {{pdf}} | consulta = 2016-08-15 | arxiuurl = https://web.archive.org/web/20210522140235/https://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | arxiudata = 2021-05-22 }}</ref> Basat en la seva recerca sobre l'estructura del [[grup unitari]] dels [[Cos quadràtic|cossos quadràtics]], va demostrar el [[teorema de les unitats de Dirichlet]], un resultat fonamental sobre teoria de nombres algebraics.<ref name=Kanemitsu>{{ref-llibre| editor = Shigeru Kanemitsu, Chaohua Jia (editors) | títol=Number theoretic methods: future trends | any=2002| editorial=Springer | isbn= 978-1-4020-1080-4| pàgines= 271–274}}</ref>

Dirichlet va utilitzar el [[principi de les caselles]] en la demostració d'un teorema sobre [[aproximació diofàntica]], posteriorment anomenat [[teorema d'aproximació de Dirichlet]] en el seu honor. També va publicar importants contribucions a l'[[últim teorema de Fermat]], per al qual va demostrar els casos ''n'' =&nbsp;5 i ''n'' =&nbsp;14, així com per a la llei de reciprocitat biquadràtica.<ref name=Elstrodt/> El [[problema del divisor de Dirichlet]], per al qual va trobar els primers resultats, encara és un problema sense resoldre, tot i les contribucions posteriors d'altres investigadors.

=== Dedekind ===
L'estudi de [[Richard Dedekind]] sobre l'obra de Dirichlet el va portar al seu estudi sobre cossos de nombres algebraics i [[Ideal (matemàtiques)|ideals]]. L'any 1863, va publicar les lectures de Dirichlet's sobre [[teoria de nombres]] en ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' ({{de}} "Lectures sobre Teoria de Nombres"), sobre el que s'ha escrit:
{{citació
|Although the book is assuredly based on Dirichlet's lectures, and although Dedekind himself referred to the book throughout his life as Dirichlet's, the book itself was entirely written by Dedekind, for the most part after Dirichlet's death.
| Harold M. Edwards | Dedekind's Invention of Ideals<ref>{{ref-publicació|cognom=Edwards|nom=Harold M.|títol=Dedekind's Invention of Ideals|publicació=Bulletin of The London Mathematical Society|volum=15|exemplar=1|pàgines=8-17|any=1983|doi=10.1112/blms/15.1.8}}</ref>
|col2=Encara que el llibre està certament basat en les lectures de Dirichlet, i encara que el propi Dedekind, durant la seva vida, es refereix al llibre com a obra de Dirichlet, realment el llibre fou escrit completament per Dedekind, i la major part després de la mort de Dirichlet.
|llengua1={{en}}
|llengua2={{ca}}
}}
Les edicions de 1879 i de 1894 de les ''Vorlesungen'' incloïen suplements que introduïen la noció d'ideal, fonamental a la [[teoria d'anells]] (encara que el terme "Anell", introduït posteriorment per [[David Hilbert|Hilbert]], no apareix en l'obra de Dedekind). Dedekind va definir un [[Ideal (matemàtiques)|ideal]] com un subconjunt d'un conjunt de nombres, format per [[Enter algebraic|enters algebraics]] que satisfan equacions polinòmiques a coeficients [[Nombre enter|enters]]. Aquest concepte va patir desenvolupaments posteriors gràcies a Hilbert i, especialment, a [[Emmy Noether]]. Els ideals generalitzen els [[Nombre ideal|nombres ideals]] d'[[Ernst Kummer]], ideats com a part de l'intent de Kummer l'any 1843 de demostrar l'[[últim teorema de Fermat]].

=== Hilbert ===
[[David Hilbert]] va unificar l'àrea d'estudi de la teoria de nombres algebraics amb el seu tractat de 1897 ''Zahlbericht'' ({{de}} literalment, ''informe sobre els nombres''). També, l'any 1770, va resoldre el [[problema de Waring]], un resultat significatiu sobre teoria de nombres. En aquest cas, va utilitzar una demostració sobre l{{'}}''existència'' de solucions al problema, però no va donar cap mètode explícit per a trobar-les.<ref>{{ref-llibre|cognom=Reid|nom=Constance|any=1996|títol=Hilbert|editorial=[[Springer Science and Business Media|Springer]]|isbn=0-387-94674-8|col·lecció=Copernicus Series}}</ref>

Va realitzar una sèrie de conjectures sobre [[teoria de cossos de classes]]. Aquests conceptes van tenir una gran influència posterior, i el seu llegat es pot veure en els noms del [[cos de classes de Hilbert]] i del [[símbol de Hilbert]] en la [[teoria dels cossos de classes locals]]. Aquests resultats van ser demostrats al voltant de 1930, després de les investigacions del japonès [[Teiji Takagi]].

=== Artin ===
[[Emil Artin]] va establir la [[llei de reciprocitat d'Artin]] en una col·lecció de publicacions (de 1924, 1927 i 1930). Aquesta llei és un teorema general en [[teoria de nombres]] que forma una part central de la [[teoria de cossos de classes]] global.<ref>{{ref-llibre|nom=Helmut|cognom=Hasse|enllaçautor=Helmut Hasse|capítol=History of Class Field Theory|títol=Algebraic Number Theory|editor=[[J.W.S. Cassels|John William Scott Cassels]], [[Albrecht Frölich]] (editors)|editorial=Academic Press|any=1967|pàgines=266-279}}</ref> El terme "llei de reciprocitat" es refereix a una generalització d'una llarga sèrie de resultats sobre teoria de nombres, des de la [[llei de reciprocitat quadràtica]] i les lleis de reciprocitat d'[[Ferdinand Eisenstein|Eisenstein]] i [[Ernst Kummer|Kummer]] fins a la fórmula del producte de [[David Hilbert|Hilbert]] per al [[símbol de Hilbert]]. El resultat d'Artin va proporcionar una solució parcial al [[Novè problema de Hilbert|novè]] [[Problemes de Hilbert|problema de Hilbert]].

=== Teoria moderna ===
Al voltant de 1955, els matemàtics japonesos [[Goro Shimura]] i [[Yutaka Taniyama]] van observar una possible relació entre dues branques de les matemàtiques aparentment independents, les [[Corba el·líptica|corbes el·líptiques]] i les [[Forma modular|formes modulars]]. El [[teorema de Taniyama-Shimura]] (en aquella època conegut com a [[conjectura]]) afirma que tota corba el·líptica és [[Corba el·líptica modular|modular]], en el sentit de què se li pot associar una única [[forma modular]].

Inicialment, es va considerar que era poc probable que aquest teorema fos cert, però es va prendre de manera més seriosa quan [[André Weil]] va trobar proves que li donaven suport, encara que no el demostraven, de moment; com a resultat, aquesta conjectura "increïble"<ref name="Singh">{{ref-llibre|títol=Fermat's Last Theorem|nom=Simon|cognom=Singh|any=1997|editorial=Fourth Estate Ltd|isbn=978-1857025217}}</ref> era coneguda com la conjectura de Taniyama-Shimura-Weil. Va formar part del [[programa de Langlands]], una llista de conjectures importants que necessitaven ser demostrades o refusades.

Entre 1993 i 1994, [[Andrew Wiles]] va proporcionar una [[Demostració (matemàtiques)|demostració]] del [[teorema de Taniyama-Shimura]] per al cas de corbes el·líptiques semiestables, que, juntament amb el [[teorema de Ribet]], proporcionaven una demostració de l'[[últim teorema de Fermat]]. Tant l'últim teorema de Fermat com el teorema de Taniyama-Shimura eren considerats gairebé universalment com a indemostrables pels matemàtics contemporanis (en el sentit que es considerava que eren impossibles, o pràcticament impossibles, de demostrar amb el coneixement que es tenia a l'època). Wiles va anunciar per primer cop la seva demostració el juny de 1993<ref name=nyt>{{ref-notícia|cognom=Kolata|nom=Gina|títol=At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery|url=http://www.nytimes.com/1993/06/24/us/at-last-shout-of-eureka-in-age-old-math-mystery.html|consulta=15 agost 2016|publicació=The New York Times|data=24 juny 1993}}</ref> en una versió que aviat es va veure que tenia un error en un punt clar. Aquesta demostració va ser corregida pel mateix Wiles, en part en col·laboració amb [[Richard Lawrence Taylor]], i la versió final i globalment acceptada fou completada el setembre de 1994, i formalment publicada en 1995. La demostració utilitza moltes tècniques de la [[geometria algebraica]] i de la [[teoria de nombres]], i té moltes ramificacions en aquestes branques de les matemàtiques. També utilitza construccions habituals de la geometria algebraica moderna, com la [[Categoria (matemàtiques)|categoria]] dels [[Esquema (matemàtiques)|esquemes]] i la [[teoria d'Iwasawa]], a més d'altres tècniques del {{segle|XX}} inaccessibles per a Fermat.

== Nocions bàsiques ==
=== Factorització única i el grup de classes d'ideals ===
Una de les primeres propietats de '''Z''' que deixa de ser certa en l'[[anell d'enters]] ''O'' d'un cos de nombres algebraics ''K'' és la factorització única d'enters en [[Nombre primer|nombres primers]]. Els nombres primers de '''Z''' es generalitzen a [[Element irreductible|elements irreductibles]] de ''O'', i encara que, en alguns casos, existeix una factorització única dels elements de ''O'' en elements irreductibles (com en el cas dels [[Enter de Gauss|enters de Gauss]] '''Z'''[i]), també pot haver-hi casos en què aquesta propietat no sigui certa, com en el cas de '''Z'''[{{arrel|-5}}], on:
:<math> 6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5})</math>.
El [[grup de classes d'ideals]] de ''O'' és una mesura de quant falla la factorització única d'element; en particular, el grup de classes d'ideals és [[Grup trivial|trivial]] [[si i només si]] ''O'' és un [[domini de factorització única]].

=== Factorització d'ideals primers en extensions ===
Hom pot recuperar parcialment la factorització única per ''O'' si té la propietat de la factorització única d{{'}}''ideals'' en [[Ideal primer|ideals primers]] (és a dir, si és un [[domini de Dedekind]]). Això fa que l'estudi dels ideals primers de ''O'' sigui particularment important. Aquest és un altre concepte que canvia entre '''Z''' i ''O'': els nombres primers, que [[Ideal principal|generen]] els ideals primers de '''Z''' (de fet, tot ideal primer simple de '''Z''' és de la forma (''p''):=''p'''''Z''' per a algun nombre primer ''p''), poden no generar els ideals primers de ''O''. Per exemple, en l'anell dels enters de Gauss, l'ideal 2'''Z'''[i] no és un ideal primer; en efecte:
:<math>2\mathbf{Z}[i]=\left((1+i)\mathbf{Z}[i]\right)^2</math>.
Per altra banda, l'ideal 3'''Z'''[i] sí que és un ideal primer. La resposta completa per als enters de Gauss s'obté utilitzant el [[teorema de la suma de dos quadrats]] de Fermat: si ''p'' és un nombre primer senar,
* <math>p\mathbf{Z}[i]</math> és un ideal primer si <math>p\equiv 3 \pmod{4}</math>,
* <math>p\mathbf{Z}[i]</math> no és un ideal primer si <math>p\equiv 1 \pmod{4}</math>.
La generalització d'aquest resultat senzill a anells d'enters més generals és un problema bàsic en teoria de nombres algebraics. La [[teoria de cossos de classes]] aconsegueix aquesta generalització quan ''K'' és una [[extensió abeliana]] de '''Q''' (és a dir, una [[extensió de Galois]] amb un [[grup de Galois]] [[Grup abelià|abelià]]).

=== Unitats ===
El [[teorema fonamental de l'aritmètica]] descriu l'estructura multiplicativa de '''Z'''. Afirma que qualsevol enter no nul es pot escriure (essencialment) de manera unívoca com un producte de potències [[Nombre primer|primeres]] i ±1. La factorització única d'ideals de l'anell ''O'' recupera part d'aquesta descripció, pèro falla a l'hora d'identificar el factor ±1. Els enters 1 i -1 són els [[Element invertible|elements invertibles]] (és a dir, les ''unitats'') de '''Z'''. Més en general, els elements invertibles de ''O'' formen un grup amb la multiplicació, anomenat ''grup de les unitats'' de ''O'', i denotat per ''O''<sup>×</sup>. Aquest grup pot ser molt més gran que el [[grup cíclic]] d'ordre 2 format per les unitats de '''Z'''. El [[teorema de les unitats de Dirichlet]] descriu l'estructura abstracta del grup de les unitats com un grup abelià. També és possible donar un enunciat més precís sobre l'estructura de ''O''<sup>×</sup> ⊗<sub>'''Z'''</sub> '''Q''' com a [[mòdul de Galois]] per al grup de Galois de ''K''/'''Q'''.{{sfn|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000|loc=Proposition VIII.8.6.11}} La grandària del grup de les unitats, i la seva estructura de reticle, proporcionen una informació numèrica important sobre ''O'', com es pot veure en la [[fórmula de classe numèrica]].

== Resultats principals ==
=== El grup de classes és finit ===
Un dels resultats clàssics de la teoria de nombres algebraics és que el grup de classes d'ideals d'un cos de nombres algebraics ''K'' és finit. L'ordre del grup de classes rep el nom de ''nombre de classe'', i s'acostuma a denotar per la lletra ''h''.

=== Teorema de les unitats de Dirichlet ===
{{article principal|Teorema de les unitats de Dirichlet}}
El teorema de les unitats de Dirichlet proporciona una descripció de l'estructura del grup multiplicatiu de les unitats ''O''<sup>×</sup> dins l'anell d'enters ''O''. Més específicament, afirma que ''O''<sup>×</sup> és isomorf a ''G'' × '''Z'''<sup>''r''</sup>, on ''G'' és el grup cíclic finit consistent de totes les arrels de la unitat de ''O'', i ''r'' = ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''r''₂&nbsp;−&nbsp;1 (on ''r''<sub>1</sub> denota el nombre d'immersions reals, i ''r''₂ representa en nombre de parells d'immersions no reals conjugades de ''K''). En altres paraules, ''O''<sup>×</sup> és un [[grup abelià finitament generat]] de [[Rang d'un grup abelià|rang]] ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''r''₂&nbsp;−&nbsp;1, on la torsió consisteix només de les arrels de la unitat de ''O''.

=== Lleis de reciprocitat ===
En termes del [[símbol de Legendre]], la llei de reciprocitat quadràtica per a primers senars positius afirma que:
:<math> \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}</math>.

Una '''llei de reciprocitat''' és una generalització de la [[llei de reciprocitat quadràtica]].

Hi ha diverses maneres d'expressar les lleis de reciprocitat. Les primeres d'aquestes lleis trobades en el {{segle|XIX}} estaven expressades habitualment en termes d'un ''símbol de residus de potències'' (''p''/''q'') que generalitzava el [[Símbol de Legendre|símbol de reciprocitat quadràtica]], el qual descriu quan un [[nombre primer]] és un residu de potència ''n''-sima [[Aritmètica modular|mòdul]] un altre primer, i proporciona una relació entre (''p''/''q'') i (''q''/''p''). [[David Hilbert|Hilbert]] va reformular les lleis de reciprocitat dient que un producte sobre ''p'' de [[Símbol de Hilbert|símbols de Hilbert]] (''a'',''b''/''p''), quan pren valors sobre les arrels de la unitat, és igual a 1. La llei de reciprocitat reformulada per [[Emil Artin|Artin]] afirma que el símbol d'Artin dels ideals cap a elements d'un [[grup de Galois]] és trivial sobre un cert subgrup. Algunes generalitzacions més recents expressen les lleis de reciprocitat utilitzant la cohomologia de grups o representacions de grups adèlics o ''K''-grups algebraics, i és complicat veure la seva relació amb la llei de reciprocitat quadràtica original.

=== Fórmula de classe numèrica ===
La ''fórmula de classe numèrica'' relaciona molts invariants importants d'un [[cos de nombres]] amb un valor especial de la seva [[funció zeta de Dedekind]].

== Àrees relacionades ==
La teoria de nombres algebraics interactua amb moltes altres disciplines matemàtiques. Utilitza eines de l'[[àlgebra homològica]]. Gràcies a l'analogia dels cossos de funcions amb els cossos de nombres, utilitza també tècniques de la [[geometria algebraica]]. Addicionalment, hom coneix com a [[geometria aritmètica]] l'estudi d'esquemes de dimensions superiors sobre '''Z''', en comptes d'anells de nombres. La teoria de nombres algebraics també s'utilitza en l'estudi de les 3-varietats hiperbòliques aritmètiques.

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre| cognom=Neukirch | nom=Jürgen | cognom2=Schmidt | nom2=Alexander| cognom3=Wingberg | nom3=Kay| títol=Cohomology of Number Fields | editorial=[[Springer-Verlag]] | lloc=Berlín| col·lecció=''Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften''
| volum=323 | any=2000 | edició=1a edició| isbn=978-3-540-66671-4 | zbl=0948.11001 | mr=1737196}}
* {{ref-llibre|nom=Harold M.|cognom=Stark|any=1970|títol=An introduction to number theory|col·lecció=Markham mathematics series|editorial=Markham Pub. Co.|lloc=Universitat de Michigan|isbn=9780841010147}}
* {{ref-llibre|cognom=Aczel|nom=Amir|títol=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem|data=30 setembre 1996|editorial=Four Walls Eight Windows|isbn=978-1-56858-077-7}}

=== Bibliografia addicional ===
* {{ref-llibre|nom=Kenneth|cognom=Ireland|nom2=Michael|cognom2=Rosen|títol=A Classical Introduction to Modern Number Theory|edició=2a edició|editorial=Springer-Verlag|any=1990|isbn=978-1-4419-3094-1|col·lecció=Graduate Texts in Mathematics|volum=84|doi=10.1007/978-1-4757-2103-4}}
* {{ref-llibre|nom=Ian|cognom=Stewart|enllaçautor=Ian Stewart (matemàtic)|nom2=David O.|cognom2=Tall|títol=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem|editorial=A. K. Peters|any=2002|isbn=978-1568811192}}
* {{ref-llibre|nom=Daniel A.|cognom=Marcus|títol=Number Fields|url=http://wstein.org/edu/2010/581b/books/marcus-number_fields.pdf|format={{pdf}}|editorial=Springer Verlag|any=1977|isbn=3-540-90279-1|consulta=2016-08-15|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20160222012622/http://wstein.org/edu/2010/581b/books/marcus-number_fields.pdf|arxiudata=2016-02-22}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160222012622/http://wstein.org/edu/2010/581b/books/marcus-number_fields.pdf |date=2016-02-22 }}
* {{ref-llibre| cognom=Fröhlich| nom=Albrecht| enllaçautor=Albrecht Fröhlich| cognom2=Taylor| nom2=Martin J.| títol=Algebraic number theory| editorial=[[Cambridge University Press]]| any=1993| col·lecció=Cambridge Studies in Advanced Mathematics| volum=27| isbn=0-521-43834-9| mr=1215934}}
* {{ref-llibre| cognom=Lang| nom=Serge| enllaçautor=Serge Lang| títol=Algebraic number theory| edició=2a edició| editor=[[Springer-Verlag]]| any=1994| col·lecció=[[Graduate Texts in Mathematics]]| volum=110| lloc=Nova York| isbn=978-0-387-94225-4| mr=1282723}}
* {{ref-llibre| cognom=Neukirch| nom=Jürgen| títol=Algebraic Number Theory| editorial=[[Springer-Verlag]]| lloc=Berlín| col·lecció=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften| isbn=978-3-540-65399-8| id={{MathSciNet | id = 1697859}}| zbl=0956.11021 | any=1999| volum=322}}

== Vegeu també ==
* [[Anell adèlic]]
* [[Enters de Gauss]]
* [[Teoria d'Iwasawa]]

== Enllaços externs ==
* {{springer|title=Algebraic number theory|id=p/a011600}}

{{ORDENA:Teoria De Nombres Algebraics}}
[[Categoria:Àlgebra]]
[[Categoria:Teoria de nombres|*]]