Mostra la font per a Tetràedre

{{Infotaula polítop
| nom=Tetràedre regular
| imatge = Tetrahedron.gif
| tipus=[[Sòlid platònic]]
| cares=[[Triangle]]s
| nbre_cares=4
| nbre_arestes=6
| nbre_vèrtex=4
| característica=2
| cares_per_vèrtex=3
| vèrtex_per_cara=3
| simetries=[[Simetria tetraèdrica|T<sub>d</sub>]], [[Grup alternant|A₃]], [3,3], (*332)
| dual=Tetràedre (autodual)
| propietats=[[Políedre regular|Regular]], [[Polígon convex|convex]], [[deltàedre]]
}}
Un '''tetràedre''' o '''tetraedre''' (ambdues variants són acceptades<ref>{{TERMCAT|tetraedre}}</ref>) és un [[políedre]] que té quatre [[cara (geometria)|cares]]. Amb aquest nombre de cares ha de ser forçosament un [[políedre convex]] i les cares han de ser forçosament [[triangle|triangulars]]. En cadascun dels quatre [[vèrtex (geometria)|vèrtexs]] es troben tres cares i té sis [[aresta (geometria)|arestes]]. Hom pot considerar, també, que un tetràedre és una [[piràmide]] de [[base (geometria)|base]] triangular.<ref name=gec>{{GEC|0146117|Tetràedre}}</ref>

Si les quatre cares del tetràedre són [[Triangle equilàter|triangles equilàters]], forçosament iguals entre si, el tetràedre es denomina regular. [''[[Etimologia]]'': [[Segle XVI]]: del [[grec]] ''tetraedron'', ''tetra'', 'quatre' i ''edron'', 'cara']

El tetràedre és el més simple de tots els [[Polítop convex|políedres convexos]], i l'únic que té menys de 5 cares.<ref name="MW">{{MathWorld |urlname=Tetrahedron |title=Tetrahedron}}</ref> Com tots els políedres convexos, un tetràedre es pot doblegar a partir d'un full de paper. Admet dos d'aquests [[Desenvolupament pla d'un políedre|desenvolupaments plans]].<ref name="MW"/>

El tetràedre és el cas tridimensional del concepte més general d'un [[símplex]] [[Geometria euclidiana|euclidià]].

Donat un tetràedre qualsevol, existeix una esfera (anomenada [[esfera circumscrita]]) que passa per tots els vèrtexs del tetràedre, i una altra esfera (l'[[esfera inscrita]]) que és tangent a les cares del tetràedre.

== Tetràedre regular ==
[[Fitxer:Tetrahedrons cannot fill space..PNG|miniatura|Cinc tetràedres col·locats sobre el pla, amb els seus respectius vèrtexs superiors numerats com 1, 2, 3, 4 i 5. Aquests punts s'han juntat i queda un petit espai entre els tetràedres, allà on no es troben completament els angles de les cinc arestes.]]
Un '''tetràedre regular''' és aquell que té per cares quatre [[Triangle equilàter|triangles equilàters]]. És un dels cinc [[Sòlid platònic|sòlids platònics]], coneguts des de l'antiguitat.

[[Fitxer:HC P1-P3.png|miniatura|Enrajolat cúbic alternat, combinació d'[[octàedre]]s i tetràedres]]
No es pot tessel·lar l'espai només amb tetràedres, però si s'alternen amb [[octàedre]]s regulars, formen l'[[Enrajolat de l'espai|enrajolat]] cúbic alternat, que és una tessel·lació.

El tetràedre regular és autodual, la qual cosa significa que el seu [[Políedre dual|dual]] és un altre tetràedre regular. La [[Políedre compost|composta]] formada per dos tetràedres duals és un [[estel octangle]], també conegut com a ''octàedre estelat''.

=== Fórmules per a un tetràedre regular ===
Les següents coordenades cartesianes defineixen els quatre vèrtexs d'un tetràedre amb arestes de longitud 2, centrat a l'origen:
:<math>(\pm 1, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})</math>
:<math>(0, \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2}})</math>

Un altre conjunt de coordenades estan basades en un [[cub]] [[Alternació (geometria)|alternat]] o ''demicub'' amb arestes de longitud 2. Aquesta forma té un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] {{CDD|node_h|4|node|3|node}} i [[símbol de Schläfli]] h{4,3}. En aquest cas, el tetràedre té unes arestes de longitud 2{{arrel|2}}. Si s'inverteixen aquestes coordenades, es genera el tetràedre dual, i combinats formen l'octàedre estelat, els vèrtexs del qual són els del cub original.
:Tetràedre: {{nowrap|(1, 1, 1)}},&emsp;{{nowrap|(1, −1, −1)}},&emsp;{{nowrap|(−1, 1, −1)}},&emsp;{{nowrap|(−1, −1, 1)}}
:Tetràedre dual: {{nowrap|(−1, −1, −1)}},&emsp;{{nowrap|(−1, 1, 1)}},&emsp;{{nowrap|(1, −1, 1)}},&emsp;{{nowrap|(1, 1, −1)}}

[[Fitxer:Вписанный тетраэдр.svg|miniatura|Tetràedre regular ''ABCD'' i la seva esfera circumscrita]]
Per a un tetràedre regular amb arestes de longitud ''a'':
{|class=wikitable
|width=300|[[Àrea]] de les cares
|align=center|<math>A_0={\sqrt{3}\over4}a^2</math>
|-
|Àrea de la superfície<ref name="Cox">{{ref-llibre|nom=Harold Scott MacDonald|cognom=Coxeter|enllaçautor=Donald Coxeter|títol=Regular Polytopes|editorial=Methuen and Co.|any=1948|capítol=Table I(i)}}</ref>
|align=center|<math>A=4\,A_0={\sqrt{3}}a^2</math>
|-
|Altura de la piràmide<ref>{{ref-web|cognom=Köller|nom=Jürgen|url=http://www.mathematische-basteleien.de/tetrahedron.htm|títol=Tetrahedron|editor=Mathematische Basteleien|any=2001}}</ref>
|align=center|<math>h={\sqrt{6}\over3}a=\sqrt{2\over3}\,a</math>
|-
|Distància entre arestes oposades
|align=center|<math>l={1\over\sqrt{2}}\,a</math>
|-
|[[Volum]]<ref name="Cox"/>
|align=center|<math>V={1\over3} A_0h ={\sqrt{2}\over12}a^3={a^3\over{6\sqrt{2}}}</math>
|-
|Angle cara-vèrtex-aresta
|align=center|<math>\arccos\left({1 \over \sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{2})</math><br>(aprox. 54,7356°)
|-
|Angle cara-aresta-cara<ref name="Cox"/>
|align=center|<math>\arccos\left({1 \over 3}\right) = \arctan(2\sqrt{2})</math><br>(aprox. 70,5288°)
|-
|Angle central de les arestes,<ref>{{ref-web|url=http://maze5.net/?page_id=367|títol=Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron|editor=Maze5.net|consulta=2016-08-13|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20181003122307/http://maze5.net/?page_id=367|arxiudata=2018-10-03}}</ref><ref name="pubs.acs.org">{{ref-publicació|url=http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ed022p145?journalCode=jceda8|títol=Valence Angle of the Tetrahedral Carbon Atom|nom=W. E.|cognom=Brittin|publicació=J. Chem. Educ.|any=1945|volum=22|exemplar=3|pàgina=145}}</ref> conegut com ''angle tetraèdric''
|align=center|<math>\arccos\left({-1\over3}\right) = 2\arctan(\sqrt{2})</math><br>(aprox. 109,4712°)
|-
|[[Angle sòlid]] en un vèrtex, comprès per una cara
|align=center|<math>\arccos\left({23\over27}\right)</math><br>(aprox. 0,55129 [[estereoradian]]s)
|-
|Radi de l'[[esfera circumscrita]]<ref name="Cox"/>
|align=center|<math>R={\sqrt{6}\over4}a=\sqrt{3\over8}\,a</math>
|-
|Radi de l'[[esfera inscrita]] tangent a les cares<ref name="Cox"/>
|align=center|<math>r={1\over3}R={a\over\sqrt{24}}</math>
|-
|Radi de la [[interesfera]] tangent a les cares<ref name="Cox"/>
|align=center|<math>r_M=\sqrt{rR}={a\over\sqrt{8}}</math>
|-
|Radi de les [[Exesfera|exesferes]]
|align=center|<math>r_E={a\over\sqrt{6}}</math>
|-
|Distància al centre de l'exesfera des del vèrtex oposat
|align=center|<math>d_{VE}={\sqrt{6}\over2}a={\sqrt{3\over2}}a</math>
|}

Respecte al pla de la base, el [[Pendent (matemàtiques)|pendent]] d'una cara (2{{arrel|2}}) és el doble que el d'una aresta ({{arrel|2}}), ja que la distància ''horitzontal'' coberta des de la base fins al vèrtex superior al llarg d'una aresta és el doble que al llarg de la [[Mitjana (geometria)|mitjana]] d'una cara. En altres paraules, si ''C'' és el [[baricentre]] de la base, la distància des de ''C'' fins a un vèrtex de la base és el doble que la de ''C'' al punt mitjà d'una aresta de la base. Això és una conseqüència del fet que les mitjanes d'un triangle s'intersecten en el seu baricentre, i aquest punt divideix cada mitjana en dos segments, un amb el doble de longitud que l'altre.

Donat un tetràedre regular amb arestes de longitud ''a'', amb una esfera circumscrita de radi ''R'', i distàncies ''d''<sub>''i''</sub> des d'un punt arbitrari de l'espai tridimensional als seus quatre vèrtexs, es té:<ref>{{ref-web|cognom=Park|nom=Poo-Sung|títol=Regular polytope distances|editor=[[Forum Geometricorum]] 16|any=2016|pàgines=227-232|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|format={{pdf}}|consulta=2016-08-13|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20201106015327/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|arxiudata=2020-11-06}}</ref>
:<math>\begin{align}
&\frac{\sum_{i=1}^4d_i^4}{4} + \frac{16R^4}{9}= \\
&\quad =\left(\frac{\sum_{i=1}^4d_i^2}{4} + \frac{2R^2}{3}\right)^2;
\end{align}</math>
:<math>4(a^4 + \sum_{i=1}^4 d_i^4) = (a^2 + \sum_{i=1}^4 d_i^2)^2.</math>

=== Isometries del tetràedre regular ===
[[Fitxer:Symmetries of the tetrahedron.svg|miniatura|Les rotacions pròpies (rotació d'ordre 3 sobre un vèrtex i una cara, i d'ordre 2 sobre dues arestes) i pla de reflexió (a través de dues cares i una aresta) en el grup de simetries del tetràedre regular]]
Els vèrtexs d'un [[cub]] es poden agrupar en dos grups de 4, cadascun d'ells formant un tetràedre regular (vegeu més amunt, i també l'[[:Fitxer:Tetraeder animation with cube.gif|animació]], que il·lustren un dels dos tetràedres del cub). Les [[Simetria#Simetria en matemàtiques|simetries]] d'un tetràedre regular corresponen a la meitat de les simetries d'un cub: aquelles que envien cada tetràedre a ell mateix, i no a l'altre.

El tetràedre és l'únic sòlid platònic que no es transforma en ell mateix per una [[simetria central]].

El tetràedre regular té 24 [[Isometria|isometries]], que configuren el [[grup de simetries]] '''T<sub>d</sub>''', [3,3], (*332), [[Isomorfisme|isomorf]] al [[grup simètric]] ''S''₄. Es poden classificar de la següent manera:
* '''T''', [3,3]<sup>+</sup>, (332) és isomorf al [[grup alternant]] ''A''₄ (la identitat i 11 rotacions pròpies) amb les següents [[Classe de conjugaxió|classes de conjugació]] (entre parèntesis es donen les permutacions dels vèrtexs, o corresponentment, les cares, i la [[Quaternions i rotació a l'espai|representació en quaternions unitaris]]):
** identitat (identitat; 1)
** rotació al voltant d'un eix que passa per un vèrtex, perpendicular al pla oposat, per un angle de ±120°: 4 eixos, 2 per eix, combinats {{nowrap|8 ((1 2 3)}}, etc.; {{nowrap|(1 ± ''i'' ± ''j'' ± ''k'') / 2)}}
** rotació per un angle de 180° tal que un eix s'envia a l'eix oposat: {{nowrap|3 ((1 2)(3 4)}}, etc.; {{nowrap|''i'', ''j'', ''k''}})
* reflexions respecte un pla perpendicular a una aresta: 6
* reflexions respecte un pla combinades amb una rotació de 90° al voltant d'un eix perpendicular al pla: 3 eixos, 2 per eix, un total de 6; equivalentment, són rotacions de 90° combinades amb una inversió (que envia '''x''' a −'''x'''): les rotacions corresponen a les del cub al voltant d'eixos que passen per dues cares oposades

=== Projeccions ortogonals del tetràedre regular ===
El teteàedre regular té dues [[Projecció ortogonal|projeccions ortogonals]] especials, una de centrada en un vèrtex (o, equivalentment, en una cara), i una altra de centrada en una aresta. La primera correspon al [[pla de Coxeter]] A₂.
{| class=wikitable
|+ [[Projecció ortogonal]]
!Centrada en →
!Cara/vèrtex
!Aresta
|- align=center
! Imatge
|[[Fitxer:3-simplex t0 A2.svg|100px]]
|[[Fitxer:3-simplex t0.svg|100px]]
|- align=center
!Simetria<br>projectiva
![3]
![4]
|}

=== Secció d'un tetràedre regular ===
[[Fitxer:Regular_tetrahedron_square_cross_section.png|miniatura|Una secció central d'un tetràedre regular és un [[Quadrat (polígon)|quadrat]].]]
Les dues arestes oposades d'un tetràedre regular defineixen un conjunt de plans paral·lels. Quan un d'aquests plans intersecta el tetràedre, la [[Secció (geometria)|secció]] resultant és un [[rectangle]].<ref>{{ref-web|url=http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/espacio/sectetra.html|títol=Secciones en un tetraedro|data=23 octubre 2008|consulta=9 agost 2016|editor=MatematicasVisuales.com|nom=Roberto|cognom=Cardil}}</ref> Quan el pla que intersecta està prop d'una de les arestes, el rectangle és llarg i estret. Quan aquest pla es troba a meitat de camí de les dues arestes, la intersecció és un [[Quadrat (polígon)|quadrat]]. La relació d'aspecte del rectangle s'inverteix quan se supera aquest punt mitjà. En aquest punt mitjà on la intersecció és un quadrat, els segments de la secció amb el tetràedre tenen la mateixa longitud, i recorren les quatre cares del tetràedre. Si es bisecta el tetràedre en aquest pla, les dues meitats esdevenen [[Falca (geometria)|falques]].
[[Fitxer:Tetragonal disphenoid diagram.png|miniatura|Un disfenoide tetragonal, vist ortogonalment a les dues arestes verdes.]]
Aquesta propietat també és certa per als [[Disfenoide|disfenoides tetragonals]], quan s'aplica als dos parells d'arestes especials.

=== Tessel·lació esfèrica ===
El tetràedre també es pot representar com una [[tessel·lació esfèrica]], i projectada sobre el pla mitjançant una [[projecció estereogràfica]]. Aquesta projecció és [[Transformació conforme|conforme]], és a dir, conserva els angles però no les àrees ni les longituds. Les línies rectes sobre l'esfera es projecten com a arcs de circumferència sobre el pla.
{|class=wikitable
|- align=center
|[[Fitxer:Uniform tiling 332-t2.svg|160px]]
|[[Fitxer:Tetrahedron stereographic projection.svg|160px]]
|-
![[Projecció ortogràfica]]
!colspan=1|[[Projecció estereogràfica]]
|}

== Altres casos especials ==
{{imatge múltiple
 |direcció = horizontal
 |peu= <nowiki />
 |imatge1= Tetrahedral subgroup tree.png
 |peu1= Relacions del subgrup de simetries tetraèdriques
 |amplada1 = 200
 |imatge2= Tetrahedron symmetry tree.png
 |peu2= Simetries tetraèdriques il·lustrades en diagrames tetraèdrics
 |amplada2 = 200
}}
Un '''tetràedre isòsceles''', també anomenat [[disfenoide]], és un tetràedre on les quatre cares són triangles [[Angles congruents|congruents]]. Si es poden col·locar còpies idèntiques d'un tetràedre de tal manera que ocupin tot l'espai tridimensional (sense deixar espais buits), llavors hom diu que el tetràedre ''[[Enrajolat de l'espai|enrajola l'espai]]''.

[[Fitxer:2D-simplex.svg|miniatura|Es pot construir un tetràedre trirrectangular a partir d'un [[Octant (geometria)|octant]] coordenat i un pla que talli els tres eixos, com:<br />''x''>0<br />''y''>0<br />''z''>0<br />i ''x''/''a''+''y''/''b''+''z''/''c''<1]]
En un [[tetràedre trirectangular]] hi ha un vèrtex on les tres cares incidents formen [[Angle recte|angles rectes]]. Si els tres parells d'arestes oposades d'un tetràedre són [[perpendicular]]s, llavors hom diu que es tracta d'un [[tetràedre ortocèntric]]. Quan només hi ha un parell d'arestes perpendiculars, se l'anomena '''tetràedre semiortocèntric'''. Un '''tetràedre isodinàmic''' és aquell on les [[Ceviana|cevianes]] que uneixen els vèrtexs als [[incentre]]s de les cares oposades són concurrents, i un '''tetràedre isogònic''' té cevianes concurrents que uneixen els vèrtexs cap als punts de contacte de les cares oposades amb l'[[esfera inscrita]] del tetràedre.

=== Isometries dels tetràedres irregulars ===
Les [[Isometria|isometries]] d'un tetràedre irregular (sense etiquetar) depenen de la geometria del tetràedre; hom pot distingir 7 casos. En cada cas, es forma un [[grup puntual de simetria]] tridimensional. Poden existir altres dues isometries (C₃, [3]<sup>+</sup>), i (S₄, [2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]) si s'hi inclou un etiquetatge de les cares o de les arestes. A continuació es llisten els diagrames tetraèdrics per a cada tipus, on les arestes estan acolorides per equivalència isomètrica, i es mantenen en gris en el cas d'arestes úniques.
{| class=wikitable style="text-align:center; width:750px;"
!colspan=4|Nom del tetràedre
!rowspan=3|Diagrama<br />d'equivalència<br />d'arestes
!rowspan=3|Descripció
|-
!colspan=4|[[Simetria]]
|-
![[Notació de Schoenflies|Schoen.]]
![[Notació de Coxeter|Cox.]]
![[Notació orbifold notation|Orb.]]
![[Ordre de simetria|Ord.]]
|-
!colspan=4|Tetràedre regular
|rowspan=2|[[Fitxer:Regular tetrahedron diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Quatre triangles '''equilàters'''</center>Forma el grup de simetria ''T''<sub>d</sub>, isomorf al [[grup simètric]] ''S''₄. Un tetràedre regular té un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] {{CDD|node_1|3|node|3|node}} i [[símbol de Schläfli]] {3,3}.
|-
||''T''<sub>d</sub><br />''T''||[3,3]<br />[3,3]<sup>+</sup>||*332<br />332|| 24<br />12
|-
!colspan=4|[[Piràmide]] triangular
|rowspan=2|[[Fitxer:Isosceles trigonal pyramid diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Un triangle '''equilàter''' a la base i tres cares iguals formades per triangles '''isòsceles'''</center>Admet 6 isometries, corresponents a les 6 isometries de la base. Vistes com a permutacions dels vèrtexs, aquestes 6 isometries són la identitat 1, (123), (132), (12), (13) i (23), que configuren el grup de simetries ''C''<sub>3v</sub>, isomorf al [[grup simètric]] ''S''₃. Una piràmide triangular té símbol de Schläfli {3}∨( ).
|-
||''C''<sub>3v</sub><br />C₃ ||[3]<br />[3]<sup>+</sup> || *33<br />33 ||6<br />3

|-
!colspan=4|Esfenoide [[Simetria especular|especular]]
|rowspan=2|[[Fitxer:Sphenoid diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Dos triangles '''escalens''' iguals amb una aresta comuna a la base</center>Aquest cas té dos parells d'arestes iguals (1,3), (1,4) i (2,3), (2,4); la resta d'arestes no són iguals. Les dues úniques simetries són 1 i la reflexió (34), la qual cosa configura el grup ''C''<sub>s</sub>, isomorf al [[grup cíclic]] '''Z'''₂.
|-
|''C''<sub>s</sub><br />=''C''<sub>1h</sub><br />=''C''<sub>1v</sub>||[ ] ||*|| 2

|-
!colspan=4|Tetràedre irregular<br />(sense simetries)
|rowspan=2|[[Fitxer:Scalene tetrahedron diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Quatre triangles desiguals</center>La seva única isometria és la identitat, i el grup de simetria és el [[grup trivial]]. Un tetràedre irregular té símbol de Schläfli ( )∨( )∨( )∨( ).
|-
|C<sub>1</sub>||[ ]<sup>+</sup>||1||1

|-
|colspan=6 bgcolor="f0a0a0" |'''[[Disfenoide]]s''' (quatre triangles iguals)
|-
!colspan=4|[[Disfenoide tetragonal]]
|rowspan=2|[[Fitxer:Tetragonal disphenoid diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Quatre triangles '''isòsceles''' iguals</center>Té 8 isometries. Si les arestes (1,2) i (3,4) tenen longituds diferents a les altres quatre arestes, llavors les 8 isometries són la identitat 1, les reflexions (12) i (34), les rotacions de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23) i les rotacions impròpies de 90° (1234) i (1432), les quals configuren el grup de simetries ''D''<sub>2d</sub>. Un disfenoide tetragonal té diagrama de Coxeter-Dynkin {{CDD|node_h|2x|node_h|4|node}} i símbol de Schläfli s{2,4}.
|-
|''D''<sub>2d</sub><br />S₄ ||[2<sup>+</sup>,4]<br />[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] ||2*2<br />2×|| 8<br />4
|-
!colspan=4|[[Disfenoide romboïdal]]
|rowspan=2|[[Fitxer:Rhombic disphenoid diagram.png|60px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Quatre triangles '''escalens''' iguals</center>Té 4 isometries: la identitat 1 i les rotacions de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). Aquest és el [[grup de Klein]] ''V''₄ o '''Z'''₂², present com el grup puntual ''D''₂. Un disfenoide romboïdal té diagrama de Coxeter-Dynkin {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} i símbol de Schläfli sr{2,2}.
|-
|''D''₂ ||[2,2]<sup>+</sup> ||222||4

|-
|colspan=6 bgcolor="f0a0a0" |'''Disfenoides generalitzats''' (2 parells de triangles iguals)
|-
!colspan=4|[[Disfenoide digonal]]
|rowspan=2|[[Fitxer:Digonal disphenoid diagram2.png|80px]]<br />[[Fitxer:Digonal disphenoid diagram.png|80px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Dos parells de triangles '''isòsceles''' iguals</center>Això significa dues arestes oposades (1,2) i (3,4) que són perpendiculars però amb longituds diferents, i llavors les 4 isometries són la identitat 1, les reflexions (12) i (34) i la rotació de 180° (12)(34). El grup de simetries és ''C''<sub>2v</sub>, isomorf al [[grup de Klein]] ''V''₄. Un disfenoide digonal té símbol de Schläfli { }∨{ }.
|-
|''C''<sub>2v</sub><br />''C''₂ ||[2]<br />[2]<sup>+</sup> ||*22<br />22||4<br />2

|-
!colspan=4|Disfenoide fíl·lic
|rowspan=2|[[Fitxer:Half-turn tetrahedron diagram.png|80px]]<br /> [[Fitxer:Half-turn tetrahedron diagram2.png|80px]]
|rowspan=2 align=left|<center>Dos parells iguals de triangles '''escalens''' o '''isòsceles'''</center>Aquest cas té dos parells d'arestes iguals, (1,3), (2,4) i (1,4), (2,3), però la resta d'arestes són desiguals. Les dues úniques simetries són la identita 1 i la rotació (12)(34), les quals configuren el grup ''C''₂, isomorf al [[grup cíclic]] '''Z'''₂.
|-
|''C''₂ ||[2]<sup>+</sup> ||22 ||2
|}

== Propietats generals ==
=== Volum ===
El volum d'un tetràedre ve donat per la fórmula clàssica per al volum d'una piràmide:
:<math>V = \frac{1}{3} A_0\,h</math>
on ''A''<sub>0</sub> és l'àrea de la [[Base (geometria)|base]] i ''h'' és l'[[Altura (dimensió)|altura]] des de la base fins al vèrtex superior. Aquesta expressió és vàlida per a cadascuna de les quatre eleccions de la base, de tal manera que les distàncies dels vèrtexs a les seves respectives cares oposades són inversament proporcionals a les àrees d'aquestes cares.

Si la base del tetràedre d'altura <math>h</math> és regular i de costat <math>L</math>, el seu volum és <ref name="pye">{{cita publicació |cognom=Sapiña |nom=R. |títol=Àrea i volum d'un tetràedre|url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/volumen/piramide/tetraedro/calculadora-area-volumen-formulas.html |issn=2659-9899 |consulta= 09 de juliol de 2020 |idioma=es |publicació = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>
:<math>V = h\cdot L^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}</math>

Donat un tetràedre amb vèrtexs
{{nowrap|'''a''' {{=}} (''a''<sub>1</sub>, ''a''₂, ''a''₃)}},
{{nowrap|'''b''' {{=}} (''b''<sub>1</sub>, ''b''₂, ''b''₃)}},
{{nowrap|'''c''' {{=}} (''c''<sub>1</sub>, ''c''₂, ''c''₃)}} i
{{nowrap|'''d''' {{=}} (''d''<sub>1</sub>, ''d''₂, ''d''₃)}}, el seu volum és {{nowrap|{{sfrac|1|6}}{{!}}[[Determinant (matemàtiques)|det]] ('''a''' − '''d''', '''b''' − '''d''', '''c''' − '''d'''){{!}}}}, o qualsevol altra combinació de parells de vèrtexs que formin un [[Graf (matemàtiques)|graf]] simplement connex. L'expressió per al volum es pot escriure aleshores com un [[producte escalar]] i un [[producte exterior]], de la forma:
:<math>V = \frac { |(\mathbf{a}-\mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b}-\mathbf{d}) \times (\mathbf{c}-\mathbf{d}))| } {6}.</math>

Si s'escull el sistema de coordenades de tal manera que l'origen coincideixi amb el vèrtex '''d''', llavors '''d''' = 0, i per tant:
:<math>V = \frac { |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| } {6}</math>,
on '''a''', '''b''' i '''c''' representen tres arestes que es troben a un vèrtex, i {{nowrap|'''a''' · ('''b''' × '''c''')}} és un [[Producte mixt|triple producte escalar]]. Si es compara aquesta expressió amb la fórmula utilitzada per calcular el volum d'un [[paral·lelepípede]], es pot concloure que el volum d'un tetràedre és {{sfrac|1|6}} del volum d'un paral·lelepípede que comparteixi tres arestes convergents amb el tetràedre.

Hom pot representar el valor absolut del triple producte escalar com els valors absoluts dels següents determinants:
:<math>6 \cdot V =\begin{Vmatrix}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c}
\end{Vmatrix}</math>
o
:<math>6 \cdot V =\begin{Vmatrix}
\mathbf{a} \\ \mathbf{b} \\ \mathbf{c}
\end{Vmatrix}</math>
on <math>\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3)</math> està expressat com a vector fila o vector columna, i anàlogament per '''b''' i '''c'''.

Per tant,
:<math>36 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}
\mathbf{a^2} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b^2} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{c^2}
\end{vmatrix}</math>
on <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab\cos{\gamma}</math>, etc., la qual cosa resulta en:
:<math>V = \frac {abc} {6} \sqrt{1 + 2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}}</math>,
on ''α'', ''β'', ''γ'' són els angles dels plans incidents en el vèrtex '''d'''. L'angle ''α'' està delimitat per les dues arestes que connecten el vèrtex '''d''' amb els vèrtexs '''b''' i '''c'''. Anàlogament, l'angle ''β'' està definit pels vèrtexs '''a''' i '''c''', i l'angle ''γ'' està definit per les posicions dels vèrtexs '''a''' i '''b'''.

Donades les distàncies entre els vèrtexs d'un tetràedre, hom pot calcular-ne el volum mitjançant els [[determinants de Cayley-Menger]]:
:<math>288 \cdot V^2 =
\begin{vmatrix}
 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
 1 & d_{12}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0 & d_{34}^2 \\
 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0
\end{vmatrix}</math>
on els subíndexs ''i'', ''j'' ∈ {1, 2, 3, 4} representen els vèrtexs {'''a''', '''b''', '''c''', '''d'''}, i ''d''<sub>''ij''</sub> és la distància dos a dos entre ells; és a dir, la longitud de l'aresta que connecta els dos vèrtexs. Si el càlcul del determinant és negatiu, això vol dir que no és possible construir un tetràedre amb les distàncies donades. Aquesta fórmula, de vegades coneguda com la [[fórmula de Tartaglia]], es deu essencialment al [[pintor]] [[Piero della Francesca]], del {{segle|XV}}, com una anàloga tridimensional de la [[fórmula d'Heró]] del {{segle|I}} per a l'àrea d'un triangle.<ref>{{ref-web|url=http://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm|títol=Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant|editor=MathPages.com|consulta=11 agost 2016}}</ref>

==== Fórmula d'Heró per al volum d'un tetràedre ====
Si ''U'', ''V'', ''W'', ''u'', ''v'', ''w'' són les longituds de les sis arestes d'un tetràedre (on ''U'', ''V'', ''W'' formen un triangle; ''u'' és oposada a ''U'', i així successivament), llavors:<ref>{{ref-web|cognom=Kahan|nom=William M.|url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf|format={{pdf}}|títol=What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?|pàgines=16–17|consulta=11 agost 2016}}</ref>
:<math>
\text{volum} = \frac{\sqrt {\,(- a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
on
: <math>
\begin{align}
 a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W).
\end{align}
</math>

==== Divisor de volums ====
Un pla que divideixi dues arestes oposades d'un tetràedre amb una certa proporció també divideix el volum del tetràedre amb la mateixa proporció. Així, qualsevol pla que contingui una [[bimitjana]] (un segment que connecta els punts mitjos de dues arestes oposades) d'un tetràedre [[Bisectriu|bisecta]] el volum del tetràedre.<ref>{{mathworld |urlname=Tetrahedron |title=Tetrahedron}}</ref>{{sfn|Altshiller-Court|1979|p=89–90|loc=«Chapter 4. The tetrahedron»}}

==== Volum no euclidià ====
Quan un tetràedre està immers en l'[[espai hiperbòlic]] o en [[geometria esfèrica]] tridimensional, els [[Angle díedre|angles dièdrics]] del tetràedre determinen la seva forma i, per tant, el seu volum. En aquests casos, el volum ve determinat per la ''fórmula de Murakami-Yano''.<ref>{{ref-publicació | cognom=Murakami | nom=Jun | cognom2=Yano | nom2=Masakazu | títol=On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron | url=http://intlpress.com/CAG/CAG-v13.php | mr=2154824 | any=2005 | publicació=Communications in Analysis and Geometry | issn=1019-8385 | volum=13 | exemplar=2 | pàgines=379–400 | consulta=2016-08-13 | arxiuurl=https://web.archive.org/web/20120410073420/http://intlpress.com/CAG/CAG-v13.php#v13n2 | arxiudata=2012-04-10 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120410073420/http://intlpress.com/CAG/CAG-v13.php |date=2012-04-10 }}</ref> Tanmateix, en l'espai euclidià, el procés d'escalar un tetràedre canvia el seu volum però no els seus angles dièdrics i, per tant, no pot existir cap fórmula anàloga.

=== Distància entre les arestes ===
Dues arestes oposades qualssevol d'un tetràedre estan contingudes en dues [[rectes que es creuen]], i la distància entre les arestes es defineix com la distància entre les dues rectes que es creuen. Sigui ''d'' la distància entre les rectes formades per les arestes oposades '''a''' i {{nowrap|'''b''' − '''c'''}}.<ref group="nota">
Per tal de calcular la distància entre dues rectes que es creuen, hom pot expressar les dues rectes mitjançant vectors:
: <math> \mathbf{x} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}</math>;
: <math> \mathbf{y} = \mathbf{c} + \mu \mathbf{d}</math>.
Aquí, el vector {{math|'''x'''}} de dimensió 1×3 representa un punt arbitrari de la recta que passa per un cert punt {{math|'''a'''}}, i {{math|'''b'''}} representa la direcció de la recta, i el valor del paràmetre [[Nombre real|real]] <math>\lambda</math> determina el punt concret sobre la recta; anàlogament per un punt arbitrari {{math|'''y'''}} sobre la recta que passa pel punt {{math|'''c'''}} amb direcció {{math|'''d'''}}.

El [[producte vectorial]] de '''b''' i '''d''' és perpendicular a les rectes, de la mateixa manera que el [[vector unitari]]
: <math> \mathbf{n} = \frac{\mathbf{b} \times \mathbf{d}}{|\mathbf{b} \times \mathbf{d}|} </math>
(si |'''b''' × '''d'''| és zero, les rectes són paral·leles i no es pot utilitzar aquest mètode). Aleshores la distància entre les rectes és: (vegeu l'article [http://mathworld.wolfram.com/Line-LineDistance.html ''Line-Line Distance'' a MathWorld])
: <math> d = |\mathbf{n} \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{a})|</math>.
</ref> Llavors una altra expressió per al volum és:
:<math>V = \frac {d |(\mathbf{a} \times \mathbf{(b-c)})| } {6}</math>.

=== Propietats anàlogues a les del triangle ===
El tetràedre té moltes propietats anàlogues a les del triangle, incloent-hi l'existència de l'esfera inscrita, l'esfera circumscrita, el tetràedre medial i les exesferes. Té, respectivament, els centres coneguts com a incentre, circumcentre, excentres, [[Circumferència de Spieker|centre de Spieker]] i punts com el baricentre. Tanmateix, en general no existeix el concepte d'ortocentre, en el sentit del punt on s'intersecten les altures.<ref>{{ref-publicació|cognom=Havlicek |nom=Hans |cognom2=Weiß |nom2=Gunter |títol=Altitudes of a tetrahedron and traceless quadratic forms |publicació=[[American Mathematical Monthly]] |volum=110 |exemplar=8 |pàgines=679–693 |any=2003 |url=http://www.geometrie.tuwien.ac.at/havlicek/pub/hoehen.pdf |format={{pdf}}|doi=10.2307/3647851 |jstor=3647851}}</ref>

[[Gaspard Monge]] va descobrir un centre que existeix a qualsevol tetràedre, conegut actualment com a '''punt de Monge''': és el punt on s'intersecten els sis plans mitjos d'un tetràedre.<ref>{{ref-publicació|url=https://www.jstor.org/stable/3219320|títol=Gaspard Monge and the Monge Point of the Tetrahedron|nom=Robert Alan|cognom=Crabbs|publicació=Mathematics Magazine|volum=76|exemplar=3|mes=juny|any=2003|pàgines=193-203|editor=Mathematical Association of America|doi=10.2307/3219320}}</ref><ref>{{MathWorld |urlname=MongePoint |title=Monge Point}}</ref>{{sfn|Altshiller-Court|1979|p=69–71|loc=«§4.2c. The Monge Point»}} Es defineix un pla mig com un pla ortogonal a una aresta que connecta dos vèrtexs, i que també conté el baricentre d'una aresta oposada, formada per la connexió dels altres dos vèrtexs. En el cas que s'intersectin les altures del tetràedre, llavors coincideixen el punt de Monge i l'ortocentre, donant lloc així a la classe del [[tetràedre ortocèntric]].

Un segment ortogonal a una cara traçat des del punt de Monge intercepta la cara en el punt mitjà del segment traçat entre l'ortocentre de la cara i el peu de l'altura del vèrtex oposat.

El segment que uneix un vèrtex d'un tetràedre amb el [[baricentre]] de la cara oposada s'anomena ''mitjana'', i el segment que uneix els punts mitjos de dues arestes oposades s'anomena ''bimitjana'' del tetràedre. Així, un tetràedre té 4 mitjanes i 3 bimedianes. Aquests 7 segments són concurrents en un punt anomenat ''centroide'' o ''baricentre'' del tetràedre.<ref>{{ref-llibre|cognom=Leung|nom=Kam-tim|cognom2=Suen|nom2=Suk-nam|títol=Vectors, matrices and geometry|editorial=Hong Kong University Press|any=1994|pàgines=53–54|isbn=9789622093607}}</ref> El centroide d'un tetràedre és el punt mitjà entre el seu punt de Monge i el circumcentre. Aquests punts determinen la ''recta d'Euler'' del tetràedre, anàloga a la [[recta d'Euler]] d'un triangle.

La [[circumferència dels nou punts]] d'un triangle general té la seva anàloga en l'esfera circumscrita del tetràedre medial d'un tetràedre: és l{{'}}'''esfera dels dotze punts''' que, a més de passar pels baricentres de les quatre cares del tetràedre de referència, també passa per quatre ''punts d'Euler'' «substituts», a un terç de la distància desvdel punt de Monge cap a cadascun dels quatre vèrtexs. Finalment, passa pels quatre punts base de les rectes ortogonals traçades des de cada punt d'Euler fins a la cara que no conté el vèrtex que ha generat el corresponent punt d'Euler.<ref>{{ref-web |cognom=Outudee |nom=Somluck |cognom2=New |nom2=Stephen |títol=The Various Kinds of Centres of Simplices |editor=Dept of Mathematics, Chulalongkorn University, Bangkok |url=http://www.math.sc.chula.ac.th/ICAA2002/pages/Somluck_Outudee.pdf |format={{pdf}} |consulta=12 agost 2016 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20090227143222/http://www.math.sc.chula.ac.th/ICAA2002/pages/Somluck_Outudee.pdf |arxiudata=27 de febrer 2009 }}</ref>

El centre ''T'' de l'esfera dels dotze punts també pertany a la recta d'Euler. Al contrari que el seu anàleg triangular, aquest centre està a un terç de distància entre el punt de Monge ''M'' i el circumcentre. Addicionalment, si es traça una recta per ''T'' que sigui ortogonal a una cara, aquesta recta és coplanar amb altres dues rectes ortogonals a la mateixa cara: la primera és una recta ortogonal que passa pel corresponent punt d'Euler associat a la cara escollida. La segona és una recta ortogonal que passa pel baricentre de la cara escollida. Aquesta recta ortogonal que passa pel centre dels dotze punts és equidistant entre la recta ortogonal del punt d'Euler i la recta ortogonal del baricentre. És més, donada una cara qualsevol, el centre dels dotze punts és equidistant entre el corresponent punt d'Euler i l'ortocentre de la cara escollida.

El radi de l'esfera dels dotze punts és igual a un terç del radi de l'esfera circumscrita del tetràedre de referència.

Existeix una relació entre els angles que formen les cares d'un tetràedre general, que ve donada per l'expressió:<ref>{{ref-web |nom=Daniel |cognom=Audet |títol=Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger |url=http://archimede.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/mai11/Chronique_note_math.mai11.pdf |format={{pdf}}|editor=Bulletin Association mathématique du Québec|mes=maig|any=2011 |consulta=12 agost 2016}}</ref>
:<math>\begin{vmatrix} -1 & \cos{(\alpha_{12})} & \cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{14})}\\
\cos{(\alpha_{12})} & -1 & \cos{(\alpha_{23})} & \cos{(\alpha_{24})} \\
\cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{23})} & -1 & \cos{(\alpha_{34})} \\
\cos{(\alpha_{14})} & \cos{(\alpha_{24})} & \cos{(\alpha_{34})} & -1 \\ \end{vmatrix} = 0\,</math>
on ''α{{sub|ij}}'' és l'angle comprès entre la cara ''i'' i la cara ''j''.

=== Relacions geomètriques ===
Un tetràedre és un 3-[[símplex]]. Al contrari que els altres sòlids platònics, tots els vèrtexs d'un tetràedre regular són mútuament equidistants (de fet, són l'únic arranjament possible de quatre punts equidistants a l'espai tridimensional).

Un tetràedre és una [[piràmide]] triangular, i el tetràedre regular és [[Políedre dual|autodual]].

Un tetràedre regular es pot incloure dintre d'un [[cub]] de dues formes, de manera que cada vèrtex del tetràedre és un vèrtex del cub, i cada aresta del tetràedre és una diagonal d'una de les cares del cub. Per a una d'aquestes formes d'inclusió, les [[coordenades cartesianes]] dels vèrtexs del tetràedre són:

:(+1, +1, +1),
:(−1, −1, +1),
:(−1, +1, −1),
:(+1, −1, −1).

Això proporciona un tetràedre amb arestes de longitud 2{{arrel|2}}, i centrat a l'origen. Per tal d'obtenir l'altre tetràedre (que és [[Políedre dual|dual]] a l'anterior), només cal canviar de signe totes les coordenades. La combinació de tots els vèrtexs d'aquests dos tetràedres sumen els vèrtexs del cub, la qual cosa demostra que el tetràedre regular és un 3-demicub.

[[Fitxer:Compound of two tetrahedra.png|miniatura|L'[[estel octangle]]]]
El volum d'aquest tetràedre és un terç del volum del cub. Si es combinen aquests dos tetràedres, hom obté un [[políedre compost]] anomenat [[estel octangle]].

L'interior de l'estel octangle és un [[octàedre]], i recíprocament, un octàedre regular és el resultat d'escapçar, d'un tetràedre regular, quatre tetràedres regulars de la meitat de la mida lineal.

La immersió anterior divideix el cub en cinc tetràedres, un dels quals és regular. De fet, cinc és el mínim nombre de tetràedres que calen per compondre un cub.

La inscripció del tetràedre dins del [[compost de cinc cubs]] regular proporciona dos compostos regulars més, que contenen cinc i deu tetràedres.

No es pot [[Enrajolat de l'espai|enrajolar l'espai]] només amb tetràedres regulars, encara que sembla que [[Aristòtil]] va afirmar que sí que era possible; sí que es poden combinar dos tetràedres regulars amb un octàedre per formar un [[rombòedre]], que sí que proporciona una tessel·lació de l'espai. Tanmateix, existeixen diversos tetràedres irregulars que poden enrajolar l'espai, com [[disfenoide tetragonal]]. La llista completa és un problema obert.<ref>{{ref-publicació
 | doi = 10.2307/2689983
 | cognom = Senechal | nom = Marjorie 
 | títol = Which tetrahedra fill space?
 | any = 1981
 | publicació = [[Mathematics Magazine]]
 | volum = 54
 | exemplar = 5
 | pàgines = 227–243
 | editor= Mathematical Association of America
 | jstor = 2689983
}}</ref>

Si es relaxa la condició de què tots els tetràedres hagin de tenir la mateixa forma, hom pot tessel·lar l'espai de diverses maneres. Per exemple, hom pot dividir un octàedre en quatre tetràedres idèntics i combinar-los de nou amb dos tetràedres regulars.<ref group="nota">Aquests dos tipus de tetràedres tenen el mateix volum.</ref>

El tetràedre és l'únic [[políedre uniforme]] que no té cares paral·leles.

=== Un teorema dels sinus per als tetràedres i l'espai de totes les figures dels tetràedres ===
[[Fitxer:Tetra.svg|miniatura|Extensió a un tetraedre del teorema del sinus]]
Un corol·lari del conegut [[teorema del sinus]] és que, en un tetràedre amb vèrtexs ''O'', ''A'', ''B'', ''C'', es té:
:<math>\begin{align}
&\sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA = \\
= \, &\sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.
\end{align}</math>

Hom pot interpretar els dos membres d'aquesta igualtat com a orientacions en sentit horari i en sentit antihorari de la superfície.

Si se substitueix el vèrtex ''O'' per un vèrtex qualsevol dels quatre, hom obté quatre identitats, però almenys tres d'elles són independents: si les parts "del sentit horari" de tres d'elles es multipliquen, i el producte s'iguala al producte de les parts "del sentit antihorari" de les mateixes tres identitats, i llavors se'n cancel·len els factors comuns, el resultat és la quarta identitat.

Tres angles qualssevol són els angles d'algun triangle [[si i només si]] la seva suma és 180° (π [[radian]]s). Té sentit preguntar-se quina és la condició necessària i suficient perquè 12 angles qualssevol siguin els 12 angles d'algun tetràedre: clarament, la suma dels angles d'una cara qualsevol del tetràedre han de sumar 180°. Com que hi ha quatre d'aquests triangles, tenim 4 restriccions sobre les sumes dels angles, i el nombre de [[Graus de llibertat (estadística)|graus de llibertat]] passa de 12 a 8. Les quatre relacions que proporciona aquest teorema dels sinus redueix encara més el nombre de graus de llibertat, que passen de 8 a 5 (no a 4, perquè la quarta restricció no és independent de les altres tres). Així l'espai de totes les figures possibles del tetràedre té dimensió 5.<ref>{{ref-publicació|títol=Is There a "Most Chiral Tetrahedron"? |nom=André |cognom=Rassat |nom2=Patrick W. |cognom2=Fowler |publicació=Chemistry: A European Journal |volum=10 |exemplar=24 |pàgines=6575–6580 |any=2004 |doi=10.1002/chem.200400869}}</ref>

=== Teorema del cosinus per als tetràedres ===
Siguin <math>\{P_1,P_2,P_3,P_4\}</math> els punts d'un tetràedre. Sigui <math>\Delta_i</math> l'àrea de la cara oposada al vèrtex <math>P_i</math>, i sigui <math>\theta_{ij}</math> l'angle dièdric format per les dues cares del tetràedre adjacents a l'aresta <math>P_{i}P_j</math>.

El [[teorema del cosinus]] per a aquest tetràedre,<ref>{{ref-publicació|url = http://icms.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/41198.pdf|format = {{pdf}}|títol = The Law of Cosines in a Tetrahedron|cognom = Lee|nom = Jung Rye|mes = juny|any = 1997|publicació = J. Korea Soc. Math. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math.|consulta = 13 agost 2016|volum = 4|exemplar = 1|issn = 1226-0657|pàgines = 1-6|arxiuurl = https://web.archive.org/web/20160825173314/http://icms.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/41198.pdf|arxiudata = 25 d’agost 2016}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160825173314/http://icms.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/41198.pdf |date=25 d’agost 2016 }}</ref> que relaciona les àrees de les cares del tetràedre amb els angles dièdrics en un vèrtex, ve donat per la següent relació:
: <math>\Delta_i^2 = \Delta_j^2 + \Delta_k^2 + \Delta_l^2 - 2(\Delta_j\Delta_k\cos\theta_{il} + \Delta_j\Delta_l \cos\theta_{ik} + \Delta_k\Delta_l \cos\theta_{ij})</math>.

=== Punt interior ===
Sigui ''P'' un punt interior qualsevol d'un tetràedre de volum ''V'', amb vèrtexs ''A'', ''B'', ''C'' i ''D'', i amb àrees de les respectives cares oposades ''F''<sub>''a''</sub>, ''F''<sub>''b''</sub>, ''F''<sub>''c''</sub> i ''F''<sub>''d''</sub>. Aleshores:{{sfn|Crux Mathematicorum|2006|ref=Crux|p=62|loc=Problema 1609}}
:<math>PA \cdot F_a + PB \cdot F_b + PC \cdot F_c + PD \cdot F_d \geq 9V</math>.

Donats els vèrtexs ''A'', ''B'', ''C'' i ''D'', un punt interior ''P'', i els peus ''J'', ''K'', ''L'' i ''M'' de les perpendiculars per ''P'' a les cares,{{sfn|Crux Mathematicorum|2006|ref=Crux|p=226|loc=Problema 215}}
:<math>PA+PB+PC+PD \geq 3(PJ+PK+PL+PM)</math>.

=== Radi intern ===
Si denotem per ''r'' el radi de l'esfera inscrita d'un tetràedre, i els radis de les [[Incentre|circumferències inscrites]] a cadascuna de les cares per ''r''<sub>''i''</sub>, amb ''i''= 1, 2, 3, 4, es té:{{sfn|Crux Mathematicorum|2006|ref=Crux|p=81|loc=Problema 1990}}
:<math>\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r_4^2} \leq \frac{2}{r^2}</math>,
on la igualtat es compleix si i només si el tetràedre és regular.

=== Cares ===
La suma de les àrees de tres cares qualssevol és més gran que l'àrea de la quarta cara.{{sfn|Crux Mathematicorum|2006|ref=Crux|p=225|loc=Problema 159}}

== Tetràedres enters ==
Existeixen tetràedres amb longituds [[Nombre enter|enteres]] de les arestes, cares amb àrees enteres, i volum enter. Un exemple és el d'un tetràedre amb una aresta de longitud 896, l'aresta oposada de longitud 990 i les altres arestes de longitud 1073; dues cares tenen àrees de {{val|436800}} i les altres dues tenen àrees de {{val|47120}}, mentre que el volum és de {{val|62092800}}.{{sfn|Sierpiński|2003|p=107}}

Un tetràedre pot tenir volum enter i arestes de longituds enteres consecutives; un exemple es dona amb arestes de longituds 6, 7, 8, 9, 10 i 11 i volum 48.{{sfn|Sierpiński|2003|p=107}}

== Políedres relacionats i compostos ==
Un tetràedre regular es pot interpretar com una [[piràmide]] triangular.
{{Piràmides}}

Un tetràedre regular es pot veure com un políedre degenerat, un ''[[antiprisma]] digonal'' uniforme, on les seves bases poligonals són [[dígon]]s.
{{Antiprismes uniformes}}

Un tetràedre regular es pot veure com un políedre degenerat, un ''[[trapezòedre]] digonal'' dual uniforme, amb 6 vèrtexs classificats en dos conjunts d'arestes colineals.
{{Trapezòedres}}

Es pot realitzar un procés de truncament aplicat al tetràedre, la qual cosa produeix una successió de [[Políedre uniforme|políedres uniformes]]. Quan es trunquen les arestes fins a obtenir-ne només els vèrtexs, es produeix un [[octàedre]] com a tetràedre rectificat. El procés es completa com una ''birectificació'', que redueix les cares originals a vèrtexs, i en resulta, de nou, el tetràedre autodual.
{{Truncaments de tetràedres}}

Aquest políedre està topològicament relacionat amb una successió de políedres regulars amb [[Símbol de Schläfli|símbols de Schläfli]] {3,''n''}, que continua en el [[Espai hiperbòlic|pla hiperbòlic]]. També està topològicament relacionat amb una successió de políedres regulars i tessel·lacions amb figures d'ordre 3.

'''Compostos:'''
<gallery>
Fitxer:CubeAndStel.svg|[[Estel octangle|Dos tetràedres dins d'un cub]]
Fitxer:Compound of five tetrahedra.png|[[Compost de cinc tetràedres]]
Fitxer:Compound of ten tetrahedra.png|[[Compost de deu tetràedres]]
</gallery>

Es pot construir un políedre interessant a partir de [[Compost de cinc tetràedres|cinc tetràedres que s'intersecten]]. Aquest [[Políedre compost|compost]] de cinc tetràedres es coneix des de fa segles. Apareix amb freqüència en l'àmbit de l'[[origami]]. Si s'ajunten els seus 20 vèrtexs, es forma un [[dodecàedre]] regular. N'existeixen una [[Quiralitat (geometria)|forma quiral]] esquerra i una de dreta, que són [[Imatge especular|imatges especulars]] l'una de l'altra.

== Aplicacions ==
=== Anàlisi numèrica ===
[[Fitxer:Malla irregular de triángulos modelizando una superficie convexa.png|miniatura|Un volum irregular a l'espai es pot aproximar per una superfície triangulada de forma irregular, i per elements de volum en forma de tetràedres irregulars.]]
En [[anàlisi numèrica]], és habitual descompondre, o aproximar, les superfícies tridimensionals complicades mitjançant una [[malla poligonal]] de tetràedres irregulars en el procés d'establir les equacions per a l'[[anàlisi d'elements finits]], especialment quan es vol trobar la [[Anàlisi numèrica#Resolució d'equacions i sistemes d'equacions|solució numèrica]] d'un sistema d'[[Equació diferencial en derivades parcials|equacions en derivades parcials]]. Aquests mètodes són àmpliament utilitzats en disciplines pràctiques com la [[mecànica de fluids computacional]], l'[[aerodinàmica]], els [[Camp electromagnètic|camps electromagnètics]], l'[[enginyeria civil]], l'[[enginyeria química]] o l'[[arquitectura naval]].

=== Química ===
{{article principal|Geometria molecular tetraèdrica}}
[[Fitxer:Ammonium-3D-balls.png|miniatura|L'ió [[amoni]] és tetraèdric.]]
A la naturalesa, la forma tetraèdrica en veu en les molècules amb [[enllaç covalent]]. Tots els àtoms amb [[Hibridació d'orbitals#Orbitals híbrids sp3|hibridació sp<sup>3</sup>]] estan envoltats d'àtoms (o per [[Parell solitari|parells solitaris d'electrons]]) en els quatre vèrtexs d'un tetràedre. Per exemple, en una molècula de [[metà]] ({{chem|CH|4}}), o en un ió d'[[amoni]] ({{chem|NH|4|+}}), hi ha quatre àtoms d'[[hidrogen]] que envolten un àtom central de [[carboni]] o de [[nitrogen]] amb simetria tetraèdrica. Per aquest motiu, una de les principals publicacions sobre química orgànica es diu ''[[Tetrahedron]]''. L'[[angle central]] entre dos vèrtexs qualssevol d'un tetràedre perfecte és arccos(−{{sfrac|1|3}}), o aproximadament 109,47°.<ref name="pubs.acs.org"/><ref>{{ref-web|url=http://maze5.net/?page_id=367|títol=Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron|editor=Maze5.net|consulta=13 agost 2016|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20181003122307/http://maze5.net/?page_id=367|arxiudata=3 d’octubre 2018}}</ref>

L'[[aigua]], {{chem|H|2|O}}, també té una estructura tetraèdrica, amb dos àtoms d'hidrogen i dos parells solitaris d'electrons al voltant dels àtoms centrals d'[[oxigen]]. La simetria tetraèdrica, però, no és perfecta, ja que els parells solitaris tenen més força de repulsió que els enllaços simples O–H.

Els [[Diagrama de fases|diagrames de fases]] quaternaris, en química, es representen gràficament com a tetràedres. En canvi, els diagrames de fases en [[Enginyeria de telecomunicació|enginyeria de la telecomunicació]] es representen gràficament sobre un pla bidimensional.

=== Electricitat i electrònica ===
{{article principal|Electricitat|Electrònica}}
Si se [[Soldadura|solden]] 6 [[Resistència elèctrica (component)|resistors]] en forma de tetràedre, llavors la resistència mesurada entre dos vèrtexs qualssevol és la meitat que la d'un sol resistor.<ref>{{ref-publicació |cognom=Klein |nom=Douglas J. |any=2002 |títol=Resistance-Distance Sum Rules |publicació=Croatica Chemica Acta |volum=75 |exemplar=2 |pàgines=633–649 |url=http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf |format={{pdf}} |consulta=2016-08-13 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20070610165115/http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf |arxiudata=2007-06-10 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070610165115/http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf |date=2007-06-10 }}</ref>

Com que el [[silici]] és el [[semiconductor]] utilitzat més freqüentment en [[electrònica d'estat sòlid]], i el silici té una [[València (química)|valència]] de 4, la forma tetraèdrica dels quatre enllaços químics del silici té una influència molt important en la formació dels [[cristalls]] de silici i les figures que adopta.

=== Jocs ===
[[Fitxer:4-sided dice 250.jpg|miniatura|Un dau amb 4 cares]]
{{article principal|Joc}}
El [[Joc reial d'Ur]], datat cap a l'any 2600 aC, es jugava amb daus tetraèdrics.

Especialment en [[Joc de rol|jocs de rol]], aquest sòlid es coneix com a ''[[dau]] de 4 cares'', un dels daus polièdrics més comuns, on el número apareix prop d'una aresta inferior o al vèrtex superior. Alguns [[trencaclosques]] basats en el [[cub de Rubik]] tenen forma de tetràedre, com [[Pyraminx]] i [[Pyramorphix]].

El desenvolupament pla d'un tetràedre també configura la [[Triforce]] de la franquícia de [[Nintendo]] ''[[The Legend of Zelda]]''.

=== Espai de color ===
{{article principal|Espai de color}}
El tetràedre s'utilitza en [[algorisme]]s de conversió dins l'[[espai de color]], especialment en els casos on l'eix de la [[luminància]] divideix l'espai de colors de forma diagonal (per exemple, [[Model de color RGB|RGB]], [[CMY]]).<ref>{{ref-publicació |cognom=Vondran |nom=Gary L. |mes=abril |any=1998 |títol=Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques |publicació=HP Technical Report |volum=HPL-98-95 |pàgines=1–32 |url=http://www.hpl.hp.com/techreports/98/HPL-98-95.pdf |format={{PDF}} |consulta=13 agost 2016 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20110607102757/http://www.hpl.hp.com/techreports/98/HPL-98-95.pdf |arxiudata=7 de juny 2011 }}</ref>

=== Art contemporani ===
{{article principal|Art contemporani}}
[[Fitxer:Tetraeder 2010.jpg|miniatura|Objecte lluminós tetraèdric, Martina Schettina (2010)]]
L'artista austríaca [[Martina Schettina]] va crear un tetràedre emprant [[Llum fluorescent|llums fluorescents]]. Es va exhibir a la ''Lightart-Biennale Austria 2010''.<ref>{{ref-web|url=http://lightart.posterous.com/|títol=Lightart-Biennale Austria 2010|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20100523133735/http://lightart.posterous.com/|arxiudata=23 de maig 2010|consulta=13 d’agost 2016}}</ref>

També s'ha utilitzat en el disseny de portades de discos, com a l'àlbum ''[[The End of All Things to Come]]'' de [[Mudvayne]], on apareix un tetràedre envoltat de flames negres.

=== Cultura popular ===
Originàriament, [[Stanley Kubrick]] volia que el [[Monòlit (Odissea espacial)|monòlit]] de ''[[2001: una odissea de l'espai]]'' fos un tetràedre, segons [[Marvin Minsky]], un científic cognitiu i expert en [[intel·ligència artificial]], i que va assessorar Kubrick sobre l'ordinador [[HAL 9000]] i sobre altres aspectes de la pel·lícula. Kubrick va descartar la idea d'utilitzar un tetràedre quan un espectador va visionar una seqüència provisional de la pel·lícula i no va reconèixer el que era. Kubrick no volia que hi hagués res a la pel·lícula que la gent corrent no pogués comprendre.<ref>{{ref-web |títol=Marvin Minsky: Stanley Kubrick Scraps the Tetrahedron |url=http://www.webofstories.com/play/53140?o=R |editor=Web of Stories}}</ref>

En l'episodi 15 de la temporada 6 de ''[[Futurama]]'', titulat "Möbius Dick", la tripulació de Planet Express travessa una zona de l'espai coneguda com el Tetràedre de les Bermudes. Moltes altres naus que viatjaven per aquesta zona havien desaparegut misteriosament, incloent-hi la primera tripulació de Planet Express.

En la pel·lícula de 2013 ''[[Oblivion (pel·lícula de 2013)|Oblivion]]'', la gran estructura que orbita la Terra té forma de tetràedre, i hom s'hi refereix com a ''Tet''.

=== Geologia ===
{{article principal|Geologia}}
La ''hipòtesi tetraèdrica'', publicada originàriament per [[William Lowthian Green]] per a explicar la formació de la Terra,<ref>{{ref-llibre|títol=Vestiges of the Molten Globe, as exhibited in the figure of the earth, volcanic action and physiography |volum=Part I |nom=William Lowthian |cognom=Green |editorial=E. Stanford |lloc=Londres |any=1875 |oclc=3571917 |url=https://books.google.cat/books?id=9DkDAAAAQAAJ}}</ref> fou popular a començaments del {{segle|XX}}.<ref>{{ref-llibre|enllaçautor=Arthur Holmes |nom=Arthur |cognom=Holmes |títol=Principles of physical geology |url=https://books.google.cat/books?id=XUJRAAAAMAAJ |any=1965 |editorial=Nelson |pàgina=32}}</ref><ref>{{ref-publicació|nom=Charles Henry |cognom=Hitchcock |editor=Newton Horace Winchell (editor)|títol=William Lowthian Green and his Theory of the Evolution of the Earth's Features |publicació=The American Geologist |url=https://books.google.cat/books?id=_Ty8AAAAIAAJ&pg=PA1 |mes=gener|any=1900 |volum=XXV |editorial=Geological Publishing Company |pàgines=1–10}}</ref>

=== Enginyeria estructural ===
{{article principal|Enginyeria estructural}}
Un tetràedre amb arestes rígides és inherentment rígid. Per aquest motiu, s'utilitza per a reforçar estructures com [[Malla espacial|malles espacials]].

=== Aviació ===
En alguns [[aeròdrom]]s, hi ha una estructura amb forma de tetràedre amb dos costats recoberts amb un material prim. Aquesta estructura es col·loca sobre un pivot giratori i sempre s'orienta en direcció al vent. És prou gran com per què es pugui veure des de l'aire, i de vegades està il·luminat. L'objectiu és que serveixi de referència als pilots, quan volen consultar les condicions del vent.<ref>{{ref-llibre|títol=Pilot's Handbook of Aeronautical Knowledge|autor=Federal Aviation Administration|editorial=U. S. Government Printing Office|any=2009|isbn=9780160876110|capítol=13. Airport Operations|pàgina=10|url=https://books.google.cat/books?id=0l8WO6Drz50C&pg=SA13-PA10}}</ref>

== Graf tetraèdric ==
L'[[N-esquelet|''n''-esquelet]] del tetràedre (és a dir, les seves arestes i vèrtexs) formen un [[Graf (matemàtiques)|graf]] amb 4 [[Vèrtex (teoria de grafs)|vèrtexs]] i 6 [[Aresta (teoria de grafs)|arestes]]. És un cas especial del [[graf complet]] ''K''₄, i del [[graf roda]] ''W''₄.<ref>{{MathWorld |urlname=TetrahedralGraph |title=Tetrahedral graph}}</ref> És un dels 5 ''grafs platònics'', on cadascun és l'esquelet del seu corresponent [[sòlid platònic]].
{| class=wikitable
|- align=center
|[[Fitxer:3-simplex t0 A2.svg|160px]]<br />Simetria d'ordre 3
|}
{{-}}

== Notes ==
{{referències|grup="nota"}}

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre|cognom=Altshiller-Court|nom=Nathan|capítol=Chapter 4. The tetrahedron|títol=Modern Pure Solid Geometry|editorial=Chelsea Pub. Co.|any=1979|isbn=978-0828401470}}
* {{ref-llibre|nom=Wacław|cognom=Sierpiński|enllaçautor=Wacław Sierpiński|títol=Pythagorean Triangles|editorial=Dover Publications|any=2003|edició=edició il·lustrada i reimpresa|isbn=9780486432786}}
* {{ref-web|títol=Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|format={{pdf}}|editor=IMOmath|consulta=13 agost 2016|ref=Crux}}

== Vegeu també ==
* [[Bipiràmide triangular]]
* [[Nombre tetraèdric]]
* [[Obriülls (arma)]]
* [[Símplex]]
* [[Tetra Pak]]

== Enllaços externs ==
{{commonscat}}
* {{mathworld |urlname=Tetrahedron |title=Tetrahedron}}
* [http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tetrahedron Models en paper de tetràedres i d'altres políedres]
* [http://mathforum.org/pcmi/hstp/resources/dodeca/paper.html ''An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron'']

{{Autoritat}}
{{Políedres regulars}}

{{ORDENA:Tetraedre}}
[[Categoria:Sòlids platònics]]