Mostra la font per a Tractriu

'''Tractriu''' (del verb [[Llatí]] ''trahere'' "estirar"; plural: '''tractrius''') és la [[corba]] al llarg de la qual es mou un objecte petit, sota la influència de fricció, quan és estirat damunt d'un [[pla]] per un bocí de fil estirat des de l'altre extrem que es mou seguint una línia recta perpendicular la descrita a l'inici pel fil a una [[celeritat]] [[mètodes infinitesimals|infinitesimal]]. És per tant un [[corba de persecució]]. Es va introduir per primer cop per [[Claude Perrault]] el 1670, i més tard va ser estudiada per [[Isaac Newton]] (1676) i [[Christian Huygens]] (1692).

[[Fitxer:Tractrix.png|miniatura|Tractriu amb l'objecte inicialment a (4,0)]]

== Deducció matemàtica ==
Suposant que se situa l'objecte (''a'' ,0) [o (4,0) en l'exemple mostrat a la dreta], i l'extrem que estira a l'[[origen (matemàtiques)|origen]], així ''a'' és la llargada del fil que estira [4 en l'exemple de la dreta]. Llavors l'extrem que estira comença a avançar al llarg de leix ''y'' en la direcció positiva. En tots els moments, el fil serà tangent a la corba ''y'' &nbsp;= ''y'' (''x'') descrita per l'objecte, així queda completament determinada pel moviment de l'extrem que estira. Matemàticament, el moviment es descriu per l'[[equació diferencial]]

:<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\,\!</math>

amb la condició inicial (''ya'') = 0 la solució de la qual és
:<math>y = \int_x^a\frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt = \pm \left (a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right).\,\!</math>

El primer terme d'aquesta solució també es pot escriure 
:<math>a\ \mathrm{arsech}\frac{x}{a}, \,\!</math>

on ''arsech'' és la funció [[secant hiperbòlica inversa]].

La branca negativa denota el cas on l'extrem que estira es mou en la direcció negativa a partir de l'origen. Les dues branques pertanyen la tractriu, es troben a la [[cúspide (singularitat)|cúspide]] al punt (''a'', 0).

== Base de la tractriu ==
La propietat essencial del tractriu és la constància de la distància des d'un punt ''P'' en la corba a la intersecció de l'eix ''y'' i la [[recta tangent]] a ''P''.

La tractriu es podria plantejar d'una multitud de maneres:

# És el [[lloc geomètric]] del centre d'una espiral hiperbòlica rodant (sense lliscar) sobre una recta.
# L'evolvent de la funció descrita per una corda homogènia [[elastòmer|inelastica]] plenament flexible lligada a dos punts i sotmesa a un camp gravitacional. Té l'equació: <math>y(x)=a\,\operatorname{ch}(x/a)</math><br>nota: l'evolvent de la funció té una tangent perpendicular a la tangent de la funció original a la mateix coordenada ''x'' considerada.
#La trajectòria determinada pel punt mitjà de l'eix del darrere d'un cotxe estirat per una corda a una velocitat constant i amb una direcció constant (inicialment perpendicular al vehicle). La funció admet una asímptota horitzontal. La corba és simètrica a Oy. El radi de curvatura és <math>r=a\,\operatorname{ctg}(x/y)</math>

La tractiu va tenir una gran implicació en l'estudi de la superfície de revolució d'ella mateixa al voltant de la seva asímptota: la [[pseudoesfera]]. Estudiada per [[Eugenio Beltrami|Beltrami]] el 1868, com a superfície de [[curvatura gaussiana]] constant negativa, la pseudoesfera és un model local de [[geometria no euclidiana]].

== Propietats ==
[[Fitxer:Evolute2.gif|miniatura|Catenària com evoluta d'una tractriu]]

[[Fitxer:Involute.gif|miniatura|Tractriu com involuta d'una catenària]]

* A causa de la forma geomètrica en què es defineix, la tractriu té la propietat que la llargada de la seva [[tangent]], entre l'[[asímptota]] i el punt de tangència, té la llargada constant <math>a</math>.
* La longitud de l'arc d'una branca entre ''x'' &nbsp;= ''x'' <sub>1</sub> i ''x'' &nbsp;= ''x'' ₂ és <math>a \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)</math>
* L'àrea entre la tractriu i la seva asímptota és <math>\pi a^2/2</math> que es pot trobar fent servir [[integració]] o el [[teorema de Mamikon]].
* L'[[envolvent (matemàtiques)|envolvent]] de les [[superfície normal|normal]]s de la tractriu (és a dir, l'[[evoluta]] de la tractriu) és la [[catenària]] (o ''corba de cadena'') donada per <math>x = a\cosh\frac{y}{a}</math>.
* La superfície de revolució creada fent girar una tractriu sobre la seva asímptota és una [[pseudoesfera]].

== Aplicació pràctica ==
El 1927, P.G.A.H. Voigt patentava un disseny d'altaveus basat en la suposició que un front d'ona viatjant a través de l'altaveu és esfèric d'un radi constant. La idea és minimitzar la distorsió provocada pel reflex intern de so dins de l'altaveu. La forma que resulta és la superfície de revolució d'una tractriu.<ref>{{format ref}} http://www.volvotreter.de/downloads/Dinsdale_Horns_1.pdf Horn loudspeaker design pp. 4-5. (Reimprès per Wireless World, març 1974)</ref>

== Màquines de dibuix ==
* Entre octubre–novembre de 1692, Huygens descrivia tres màquines de dibuix de tractrius.
* El 1693 [[Leibniz]] lliura al públic una màquina que, en teoria, podria integrar qualsevol equació diferencial, la màquina era de disseny tractional.
* El 1706 [[John Perks]] construeix una màquina tractional per realitzar la quadratura [[hiperbòlica]].
* El 1729 [[Johann Poleni]] construeix un mecanisme de tracció que permetia dibuixar [[Funció matemàtica|funcions]] [[logaritme|logaritmiques]].

== Vegeu també ==
{{Projectes germans}}
* [[Superfície de Dini]]
* [[Funcions hiperbòliques]] per tanh, sech, csch, arccosh
* [[Logaritme natural]] per ln
* [[Funció signe]] per a sgn
* [[Funció Trigonometrica]] per sin, cos, tan, arccot, csc

== Referències ==
{{Referències}}
* {{ref-llibre|autor = J. Dennis Lawrence |títol = A catalog of special plane curves |editorial = Dover Publications |any = 1972 |isbn = 0-486-60288-5 |pàgines = 5,199}}

== Enllaços externs ==
* {{planetmath reference|id=7109|title=Tractrix}}
* {{planetmath reference|id=7073|title=Famous curves on the plane.}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html Tractrix] en [[MathWorld]]
* [http://www.phaser.com/modules/historic/leibniz/ Module: Leibniz's Pocket Watch ODE] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303203722/http://www.phaser.com/modules/historic/leibniz/ |date=2016-03-03}} a PHASER

[[Categoria:Corbes]]