Mostra la font per a Transformació directa-quadratura-zero

La '''transformació''' '''directa-quadratura-zero''' (de l'anglès) (amb acrònims com '''DQZ''' o '''DQ0''',<ref name="Simulink 2018">{{Ref-web|títol=Perform transformation from three-phase (abc) signal to dq0 rotating reference frame or the inverse|obra=Simulink|data=2018-09-27|url= https://www.mathworks.com/help/physmod/sps/powersys/ref/abctodq0dq0toabc.html;jsessionid=f097857855b2d8d9318c5680594a| consulta=2019-01-11}}</ref> '''DQO''',<ref name="Mihailovic 1998">{{Ref-web|cognom=Mihailovic|nom=Zoran|títol=Modeling and Control Design of Vsi-Fed Pmsm Drive Systems With Active Load|obra=ETDs|data=1998-06-26|url= https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-031899-212402/unrestricted/APPENDIXES.PDF| consulta=2019-01-11}}</ref> o '''0DQ<ref name="Kamalakannan Suresh Dash Panigrahi 2014 p. 1029">{{Ref-llibre|cognom=Kamalakannan|nom=C.|títol=Power Electronics and Renewable Energy Systems: Proceedings of ICPERES 2014| editorial=Springer India|col·lecció=Lecture Notes in Electrical Engineering|any=2014|isbn=978-81-322-2119-7|url= https://books.google.cat/books?id=EbSLBQAAQBAJ&pg=PA1029|pàgines=1029}}</ref>''' i de vegades en minúscula) és habitualment anomenada '''transformada''' '''dq0''' en llengua no anglesa. La transformació és un [[tensor]] que gira el [[Sistema de referència|marc de referència]] d'un vector de tres elements o una matriu de tres per tres elements amb l'objectiu de simplificar-ne l'anàlisi. La transformada dq0 és el producte de la [[Transformació alfa-beta|transformada de Clarke]] i la transformada de Park, proposada per primera vegada el 1929 per [[Robert H. Park]].<ref name="Park">R.H. Park ''Two Reaction Theory of Synchronous Machines'' AIEE Transactions 48:716–730 (1929).</ref>

La transformada dq0 s'utilitza sovint en el context de l'enginyeria elèctrica amb [[Sistema trifàsic|circuits trifàsics]]. La transformació es pot utilitzar per rotar els marcs de referència de les formes d'ona [[Corrent altern|de CA]] de manera que es converteixin en senyals [[Corrent continu|de CC]]. Això permet realitzar càlculs simplificats sobre aquestes quantitats de CC abans de realitzar la transformació inversa per recuperar els resultats reals de CA trifàsica. Com a exemple, la transformada dq0 s'utilitza sovint per simplificar l'anàlisi de [[Motor síncron|màquines síncrones]] [[Sistema trifàsic|trifàsiques]] o per simplificar els càlculs per al control d'[[Inversor (electrònica)|inversors]] trifàsics. En l'anàlisi de màquines síncrones trifàsiques, la transformació transfereix quantitats trifàsiques d'estator i rotor en un únic marc de referència rotatiu per eliminar l'efecte de [[Inductància|les inductàncies]] variables en el temps i transformar el sistema en un [[Sistema LTI|sistema lineal invariant en el temps.]]

== Introducció ==
La transformada dq0 es basa en les matrius de transformació de Park i Clarke. La transformada de Clarke (porta el nom [[Edith Clarke|d'Edith Clarke]]) converteix els vectors en el sistema de referència ''ABC'' a vectors en el marc de referència ''&#x3B1;&#x3B2;&#x3B3;''. El principal avantatge de la transformada de Clarke és que aïlla aquella part del vector referenciat ''ABC'' que és comú als tres components del vector; és a dir, permet aïllar el component de mode comú (altrament anomenat component ''Z''). La matriu de transformació de Clarke d'escala uniforme, invariant en potència, segons la convenció de mà dreta és

: <math>K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}
 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math> .

Per convertir un vector columna amb referència ''ABC'' al marc de referència ''XYZ'', el vector s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació de Clarke:

: <math>
\vec{u}_{XYZ} = K_{C}\cdot \vec{u}_{ABC}
</math> .

Per tornar a convertir d'un vector de columna referenciat al marc ''XYZ'' al marc ''ABC'', el vector s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació de Clarke inversa:

: <math>
\vec{u}_{ABC} = K_{C}^{-1}\cdot \vec{u}_{XYZ}
</math> .

La transformada de Park (porta el nom [[Robert H. Park|de Robert H. Park]]) converteix vectors en el marc de referència ''XYZ'' al marc de referència ''DQZ'' . La transformada Park aconsegueix girar el marc de referència d'un vector a una freqüència arbitrària. Això desplaça l'espectre de freqüència del senyal de manera que la freqüència arbitrària apareix ara com a un valor continu i l'antic valor continu apareix ara com el negatiu de la freqüència arbitrària. La matriu de transformació de Park és

: <math>K_{P} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\
 -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math> ,

on ''&#x3B8;'' és l'angle instantani d'una freqüència ''&#x3C9;'' arbitrària. Per convertir un vector referenciat en el marc ''XYZ'' al marc de referència ''DQZ'', el senyal en forma de vector columna s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació de Park:

: <math>
u_{DQZ} = K_{P}\cdot u_{XYZ}
</math> .

Per tornar a convertir d'un vector referenciat en el marc ''DQZ'' al marc de referència ''XYZ'', el vector columna s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació inversa de Park:

: <math>
u_{XYZ} = K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ}
</math> .

Les transformacions de Clarke i Park juntes formen la transformada ''DQZ'' :

: <math>K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}</math>
:: <math>\to\begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\
 -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix}
 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math>
:: <math> \to \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)}
 & \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)}
 & \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\
 -\sin{\left(\theta\right)}
 & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)}
 & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\
 \frac{\sqrt{2}}{2}
 & \frac{\sqrt{2}}{2}
 & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}</math>

La transformada inversa és:

: <math>K_{CP}^{-1} = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)}
 & -\sin{\left(\theta\right)}
 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
 \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)}
 & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)}
 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
 \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)}
 & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)}
 & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}</math>

Per convertir un vector referenciat en el marc ''ABC'' al marc de referència ''DQZ'', el vector columna s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació DQZ:

: <math>
u_{DQZ} = K_{CP}\cdot u_{ABC}
</math> .

I, per tornar a convertir d'un vector referenciat en el marc ''DQZ'' al marc ''ABC'', el vector columna s'ha de premultiplicar per la matriu de transformació DQZ inversa:

: <math>
u_{ABC} = K_{CP}^{-1}\cdot u_{DQZ}
</math> .

Per entendre millor aquesta transformació, a continuació s'inclou una derivació de la transformada.

== Derivació ==
=== La derivació de la transformada de Park ===
La transformada Park es basa en el conceptes de [[producte escalar]] i de projeccions de vectors sobre altres vectors. Primer, imaginem dos vectors unitaris, <math>\hat{u}_{D}</math> i <math>\hat{u}_{Q}</math> (els vectors unitaris, o eixos, del nou marc de referència des de la perspectiva de l'antic marc de referència) i un tercer vector arbitrari <math>\vec{v}_{XY}</math> . Podem definir els dos vectors unitaris i el vector aleatori en termes de les seves coordenades [[Sistema de coordenades cartesianes|cartesianes]] en el marc de referència antic:

: <math>\hat{u}_{D} =
 \cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X}
 + \sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}</math>
: <math>\hat{u}_{Q} =
 -\sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X}
 + \cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}</math>
: <math>\vec{v}_{XY} =
 v_{X}\hat{u}_{X}
 + v_{Y}\hat{u}_{Y}</math> ,

on <math>\hat{u}_{X}</math> i <math>\hat{u}_{Y}</math> són els vectors base unitaris de l'antic sistema de coordenades i <math>\theta</math> és l'angle entre els vectors unitaris <math>\hat{u}_{X}</math> i <math>\hat{u}_{D}</math> (és a dir, l'angle entre els dos marcs de referència). La projecció del vector arbitrari sobre cadascun dels dos nous vectors unitaris implica el producte escalar:

: <math>v_{D} =
 \hat{u}_{D}\cdot \vec{v}_{XY}</math>
:: <math>\to \cos{\left(\theta\right)} v_{X}
 + \sin{\left(\theta\right)} v_{Y}</math>
: <math>v_{Q} =
 \hat{u}_{Q}\cdot \vec{v}_{XY}</math>
:: <math>\to -\sin{\left(\theta\right)} v_{X}
 + \cos{\left(\theta\right)} v_{Y}</math> .

Per tant, <math>v_{D}</math> és la projecció de <math>\vec{v}_{XY}</math> a l'eix <math>\hat{u}_{D}</math>, i <math>v_{Q}</math> és la projecció de <math>\vec{v}_{XY}</math> a l'eix <math>\hat{u}_{Q}</math>. Aquests nous components vectorials, <math>v_{D}</math> i <math>v_{Q}</math>, formen conjuntament el nou vector <math>\vec{v}_{DQ}</math>, el vector original <math>\vec{v}_{XY}</math> en termes del nou marc de referència ''DQ'' .
[[Fitxer:DQZ_8.svg|alt=Projection of 
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki> v
<nowiki> </nowiki> →
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki> X
<nowiki> </nowiki> Y
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki> {\displaystyle {\vec {v}}_{XY}}
<nowiki> </nowiki>
<nowiki> </nowiki>onto the DQ reference frame.|center|sense marc|358x358px| Projecció de <math>\vec{v}_{XY}</math> al marc de referència ''DQ'' .]]
A la figura de dalt, observeu que l'angle positiu <math>\theta</math> fa que el vector arbitrari giri cap enrere quan es fa la transició cap al nou marc de referència ''DQ''. Dit d'altra manera, el seu angle respecte al nou marc de referència és menor que l'angle que tenia respecte el marc de referència original. Això es deu al fet que el marc de referència, no el vector, s'ha girat cap endavant. De fet, una rotació cap endavant del marc de referència és idèntica a una rotació negativa del vector. Si l'antic marc de referència gira cap endavant, com passa en els sistemes elèctrics trifàsics, el vector DQ resultant roman estacionari.

Una sola equació matricial pot resumir l'operació anterior:

: <math>\vec{v}_{DQ} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)}
 & \sin{\left(\theta\right)} \\
 -\sin{\left(\theta\right)}
 & \cos{\left(\theta\right)}
\end{bmatrix} \cdot \vec{v}_{XY}</math> .

Aquest tensor es pot ampliar a sistemes tridimensionals, on l'eix sobre el qual es produeix la rotació no es veu afectat. En l'exemple següent, la rotació és al voltant de l'eix ''Z'', però es podria haver escollit qualsevol eix:

: <math>K_{P} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)}
 & \sin{\left(\theta\right)}
 & 0 \\
 -\sin{\left(\theta\right)}
 & \cos{\left(\theta\right)}
 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math> .

Des d'una perspectiva d'àlgebra lineal, això és simplement una rotació horària (en el sentit de les agulles del rellotge) al voltant de l'eix z i és matemàticament equivalent a les [[Llista d'identitats trigonomètriques|fórmules d'angle de diferència trigonomètrica]].

=== La derivació de la transformada de Clarke ===
==== Els vectors base unitaris ABC ====
Considerem un espai tridimensional amb vectors base unitaris ''A'', ''B'' i ''C''. L'esfera de la figura següent s'utilitza per mostrar l'escala del marc de referència i la caixa s'utilitza per proporcionar un context de rotació.
[[Fitxer:DQZ_1.svg|alt=ABC unit basis vectors.|center|sense marc|358x358px| Vectors base unitat ''ABC'' .]]
Normalment, en enginyeria elèctrica (o en qualsevol altre context que utilitzi sistemes trifàsics), els components trifàsics es mostren en una perspectiva bidimensional. Tanmateix, com que les tres fases poden canviar de manera independent, són per definició ortogonals entre si. Això implica una perspectiva tridimensional, tal com es mostra a la figura anterior. Per tant, la perspectiva bidimensional mostra realment la projecció de la realitat tridimensional sobre un pla.
[[Fitxer:DQZ_6.svg|alt=Two-dimensional perspective of a three-dimensional reality.|center|sense marc|358x358px| Perspectiva bidimensional d'una realitat tridimensional.]]
Els problemes trifàsics solen descriure's operant dins d'aquest pla. Habitualment es considera que el sistema trifàsic està equilibrat (és a dir, ''v<sub>A</sub>'' + ''v<sub>B</sub>'' + ''v<sub>C</sub>'' = 0) i el vector suma

: <math>\vec{v} = v_{A}\hat{u}_{A} + v_{B}\hat{u}_{B} + v_{C}\hat{u}_{C}</math>

sempre es troba en aquest pla.

==== Els vectors base unitaris AYC' ====
Per construir la transformada de Clarke, utilitzem la transformada de Park en dos passos. L'objectiu de la transformació és girar l'eix ''C'' a un dels vèrtexs de la caixa. D'aquesta manera, l'eix ''C'' una vegada rotat serà ortogonal al pla de la perspectiva bidimensional esmentada anteriorment. El primer pas per construir la transformada de Clarke requereix girar el marc de referència ''ABC'' al voltant de l'eix ''A.'' Així el primer element de la transformació de Park serà 1:

: <math>K_{1} = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \\
 0 & -\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}
\end{bmatrix}</math>
:: <math>\to \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math>

La figura següent mostra com es fa girar el marc de referència ''ABC'' al marc de referència ''AYC'<nowiki/>'' quan qualsevol vector és premultiplicat per la matriu ''K''<sub>1</sub>. Els eixos ''C'<nowiki/>'' i ''Y'' apunten ara als punts mitjans de les vores de la caixa, però la magnitud del marc de referència no ha canviat (és a dir, l'esfera ni ha crescut ni s'ha reduït). Això es deu al fet que la norma del tensor ''K''<sub>1</sub> és 1: ||''K''<sub>1</sub>|| = 1. Això significa que qualsevol vector del marc de referència ''ABC'' continuarà tenint la mateixa magnitud quan es gira al marc de referència ''AYC''' .
[[Fitxer:DQZ_2.svg|alt=AYC' unit basis vectors. The C' and Y axes now point to the edges of the box, but the magnitude has not changed.|center|sense marc|358x358px| Vectors base unitaris ''AYC'<nowiki/>'' . Els eixos ''C''' i ''Y'' apunten ara a les vores de la caixa, però la magnitud no ha canviat.]]

==== Els vectors base unitaris XYZ ====
A continuació, el tensor següent fa girar el vector al voltant del nou eix ''Y'' en sentit contrari a les agulles del rellotge respecte a l'eix ''Y''. Es pot veure que l'angle s'escull de manera que l'eix ''C''' apunti cap a la cantonada de la caixa:

: <math>K_{2} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)} & 0 & -\sin{\left(\theta\right)} \\
 0 & 1 & 0 \\
 \sin{\left(\theta\right)} & 0 & \cos{\left(\theta\right)}
\end{bmatrix}</math>
: <math> \theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \to 35.26^\circ</math> ,

o

: <math>K_{2} = \begin{bmatrix}
 \sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
 0 & 1 & 0 \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}}
\end{bmatrix}</math> .

Es pot observar que la distància des del centre de l'esfera fins al punt mitjà de la vora de la caixa és {{Math|{{radical|2}}}} però des del centre de l'esfera fins a la cantonada de la caixa és {{Math|{{radical|3}}}} . D'aquí sorgeix l'angle de 35,26°. L'angle es pot calcular mitjançant el producte escalar.

Si tenim <math>\vec{m}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math> com a vector unitari en la direcció de ''C''' i <math>\vec{n} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) </math> com a vector unitari en la direcció de la cantonada del quadre a <math>\vec{n} = \left(1, 1, 1 \right) </math>.

Ja que <math>\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos \theta,</math> essent <math>\theta</math> l'angle entre <math>\vec{m}</math> i <math>\vec{n},</math> aleshores

: <math>
\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \cos \theta
</math>

: <math> \cos \theta = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}</math>

: <math>\theta = \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}} \right)</math>

: <math>\theta = 35.26^\circ.</math>

La norma de la matriu ''K''₂ també és 1, de manera que tampoc canvia la magnitud de cap vector premultiplicat per la matriu ''K'' ₂ .
[[Fitxer:DQZ_3.svg|alt=XYZ unit basis vectors. The Z axis (rotated C' axis) now points into the corner of the box.|center|sense marc|358x358px| Vectors base unitat ''XYZ'' . L'eix ''Z'' (eix ''C''' girat) apunta ara a la cantonada de la caixa.]]

==== El pla zero ====
En aquest punt, l'eix ''Z'' és ara ortogonal al pla en què es pot trobar qualsevol vector ''ABC'' sense el component de mode comú. Qualsevol forma d'ona vectorial ''ABC'' equilibrada (vector sense un mode comú) evolucionarà en el temps al voltant d'aquest pla. Aquest pla s'anomenarà pla zero i es mostra a continuació amb el contorn hexagonal.
[[Fitxer:DQZ_4.svg|alt=Plane of the vectors without common mode indicated by the hexagonal outline. The Z axis is orthogonal to this plane, and the X axis is parallel to the projection of the A axis onto the zero plane.|center|358x358px| Pla dels vectors sense mode comú indicat pel contorn hexagonal. L'eix ''Z'' és ortogonal a aquest pla, i l'eix ''X'' és paral·lel a la projecció de l'eix ''A'' sobre el pla zero.]]
Els vectors base ''X'' i ''Y'' es troben en el pla zero. Observeu que l'eix ''X'' és paral·lel a la projecció de l'eix ''A'' sobre el pla zero. L'eix ''X'' és lleugerament més gran que la projecció de l'eix ''A'' sobre el pla zero. És més gran en un factor de {{Math|{{radical|3/2}}}} . El vector arbitrari no ha canviat de magnitud mitjançant aquesta conversió del marc de referència ''ABC'' al marc de referència ''XYZ'' (és a dir, l'esfera no ha canviat de mida). Això és cert per a la forma invariant en potència de la transformada de Clarke. La figura següent mostra la perspectiva bidimensional comuna dels marcs de referència ''ABC'' i ''XYZ'' .
[[Fitxer:DQZ_7.svg|alt=Two-dimensional perspective of the ABC and XYZ reference frames.|center|358x358px| Perspectiva bidimensional dels marcs de referència ''ABC'' i ''XYZ'' .]]
Pot semblar estrany que, tot i que la magnitud del vector no canviï, sí ho faci la magnitud dels seus components (és a dir, els components ''X'' i ''Y'' són més llargs que els components ''A'', ''B'' i ''C''). Això es pot entendre de manera intuïtiva tenint en compte que per a un vector sense mode comú, allò que necessitava tres valors (components ''A'', ''B'' i ''C'') per expressar-se, ara només en pren 2 (components ''X'' i ''Y'') ja que el component ''Z'' és zero. Per tant, els valors dels components ''X'' i ''Y'' han de ser més grans per compensar.

==== Combinació de tensors ====
La matriu de transformació de Clarke invariant en potència és una combinació dels tensors ''K''<sub>1</sub> i ''K''₂:

: <math>K_{C} = \underbrace{\begin{bmatrix}
 \sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
 0 & 1 & 0 \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}}
\end{bmatrix}}_{K_2}\cdot\underbrace{\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}_{K_1}</math> ,

o

: <math>K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}
 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math>
:: <math>\to \begin{bmatrix}
 \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}</math> .

Observeu que quan es realitza la multiplicació, la fila inferior de la matriu ''K<sub>C</sub>'' és 1/{{Math|{{radical|3}}}}, no 1/3. (Edith Clarke va utilitzar 1/3 per al cas de la transformació variant en potència.) La component ''Z'' no és exactament la mitjana de les components ''A'', ''B'' i ''C.'' Si només es canviessin els elements de la fila inferior per 1/3, l'esfera quedaria aixafada al llarg de l'eix ''Z.'' Això vol dir que el component ''Z'' no tindria la mateixa escala que els components ''X'' i ''Y.''
[[Fitxer:DQZ_9.svg|alt=KC frame (blue) and the original Edith matrix (green).|center|sense marc|358x358px| Marc ''K <sub>C</sub>'' (blau) i la matriu Edith original (verd).]]
Tal com s'ha escrit anteriorment, la norma de la matriu de transformació de Clarke segueix sent 1, el que significa que es rota el vector ''ABC'' però no s'escala. No es pot dir el mateix de la transformació original de Clarke.

És fàcil verificar (per multiplicació matricial) que la inversa de ''K''<sub>C</sub> és

: <math>
K^{-1}_C = \begin{bmatrix}
\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
-\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}
</math>

==== Forma variant en potència ====
De vegades és desitjable escalar la matriu de transformació de Clarke de manera que l'eix ''X'' sigui la projecció de l'eix ''A'' sobre el pla zero. Per fer-ho, apliquem uniformement un factor d'escala de {{Math|{{radical|2/3}}}} i un {{Math|{{radical|1/radical|2}}}}{{Motiu necessari|data=2023}} al component zero per obtenir la matriu de transformació de Clarke variant en potència:

: <math>K_{\hat{C}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 
\underbrace{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \begin{bmatrix}
 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}}_{K_C}</math>

:: <math>\to \frac{2}{3} \begin{bmatrix}
 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}</math>

o

: <math>K_{\hat{C}} = \begin{bmatrix}
 \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
 \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}</math> .

Això necessàriament redueix l'esfera en un factor de {{Math|{{radical|2/3}}}} com es mostra a continuació. Tingueu en compte que aquest nou eix ''X'' és exactament la projecció de l'eix ''A'' sobre el pla zero.
[[Fitxer:DQZ_5.svg|alt=The scaled XYZ reference frame of the power-variant Clarke transform.|center|358x358px| El marc de referència ''XYZ'' a escala de la transformada de Clarke variant de potència.]]
Amb la transformada de Clarke variant en potència, la magnitud del vector arbitrari és més petita en el marc de referència ''XYZ'' que en el marc de referència ''ABC'' (la norma de la transformada és {{Math|{{radical|2/3}}}}), però les magnituds dels components del vector individual són els mateixos (quan no hi ha un mode comú). Així, com a exemple, un senyal definit per

: <math>\begin{bmatrix}
 A \\
 B \\
 C
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\omega t\right)} \\
 \cos{\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)} \\
 \cos{\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)}
\end{bmatrix}</math>

es converteix, en el marc de referència ''XYZ'',

: <math>\begin{bmatrix}
 X \\
 Y \\
 Z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 \cos{\left(\omega t\right)} \\
 \cos{\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)} \\
 0
\end{bmatrix}</math> ,

un nou vector els components del qual tenen la mateixa magnitud que els components originals: 1. En molts casos, aquesta és una qualitat avantatjosa de la transformada de Clarke variant en potència.

=== La transformació DQZ ===
La transformació DQZ utilitza la transformada de Clarke per convertir vectors referenciats ''a ABC'' en dos components de mode diferencial (és a dir, ''X'' i ''Y'') i un component de mode comú (és a dir, ''Z'') i després aplica la transformada de Park per girar el marc de referència al voltant del Eix ''Z'' amb un angle determinat. La component ''X'' es converteix en la component ''D'', que està en alineació ''directa'' amb el vector de rotació, i la component ''Y'' es converteix en la component ''Q'', que està en un angle ''de quadratura'' amb la component directa. La transformada DQZ és

: <math>K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}</math>
:: <math>\to\begin{bmatrix}
 \cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\
 -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix}
 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\
 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math> .

== Implementació del codi ==
Per motius d'eficiència computacional, habitualment es mantenen les transformacions de Clarke i Park separades.

Una implementació computacionalment eficient de la transformada de Clarke invariant en potència és<syntaxhighlight lang="c">
X = (2 * A – B – C) * (1 / sqrt(6));
Y = (B – C) * (1 / sqrt(2));
Z = (A + B + C) * (1 / sqrt(3));
</syntaxhighlight>mentre que la seva inversa és

<code>A = (1 / sqrt(3)) * Z;</code>

<code>B = A – (1 / sqrt(6)) * X;</code>

<code>C = B – (1 / sqrt(2)) * Y;</code>

<code>B += (1 / sqrt(2)) * Y;</code>

<code>A += (sqrt(2 / 3)) * X;</code>

Una implementació computacionalment eficient de la transformada de Clarke variant en potència és

<code>X = (2*A – B – C) * (1 / 3);</code>

<code>Y = (B – C) * (1 / sqrt(3));</code>

<code>Z = (A + B + C) * (1 / 3);</code>

mentre que la seva inversa és

<code>A = X + Z;</code>

<code>B = Z – (1 / 2) * X;</code>

<code>C = B – (sqrt(3) / 2) * Y;</code>

<code>B += (sqrt(3) / 2) * Y;</code>

Evidentment, els coeficients constants es podren calcular prèviament.

Una implementació computacionalment eficient de la transformada Park és

<code>co = cos(theta);</code>

<code>si = sin(theta);</code>

<code>D = co*X + si*Y;</code>

<code>Q = co*Y - si*X;</code>

mentre que la seva inversa és

<code>co = cos(theta);</code>

<code>si = sin(theta);</code>

<code>X = co*D - si*Q;</code>

<code>Y = si*D + co*Q;</code>

Té sentit calcular <kbd>co</kbd> i <kbd>si</kbd> només una vegada si s'han d'utilitzar tant la transformació Park com la seva inversa.

== Exemple ==
En els sistemes elèctrics, molt sovint els valors ''A'', ''B'' i ''C'' oscil·len de tal manera que el vector suma gira. En un sistema equilibrat, el vector gira al voltant de l'eix ''Z.'' Molt sovint, és útil girar el marc de referència de manera que la majoria dels canvis en els valors abc, a causa d'aquest gir, es cancel·lin i qualsevol variació més fina es faci més evident. Això és de gran utilitat, ja que es transforma el sistema original en un [[Sistema LTI|sistema lineal invariant en el temps]]

La transformació DQZ es pot pensar en termes geomètrics com la projecció de les tres magnituds de fase sinusoïdals separades sobre dos eixos que giren amb la mateixa velocitat angular que les quantitats de fase sinusoïdal.
[[Fitxer:Geometric_interpretation_of_dqo_transform.jpg|alt=DQZ example.|center|sense marc|716x716px| Exemple DQZ.]]
A la figura de dalt, es mostra la transformada DQZ aplicada a l'estator d'una màquina síncrona. Hi ha tres bobines que estan físicament separades per un angle de 120 graus. Els corrents de tres fases són iguals en magnitud i estan separats entre si per 120 graus elèctrics. Els corrents de tres fases es retarden en les seves corresponents tensions de fase <math>\delta</math> . Els eixos ''DQ'' es mostren girant amb una velocitat angular igual a <math>\omega</math>, la mateixa velocitat angular que les tensions i corrents de fase. L'eix ''D'' forma un angle <math>\theta = \omega t</math> amb la bobina de fase ''A'' que s'ha escollit com a referència. Els corrents <math>I_D</math> i <math>I_Q</math> són quantitats constants de CC.

== Comparació amb altres transformacions ==
=== Transformació de Park ===
La transformació proposada originalment per Park difereix lleugerament de la donada anteriorment. A la transformació de Park, l'eix q està per davant de l'eix d, qd0 i l'angle <math>\theta</math> és l'angle entre la fase a i l'eix q, tal com es mostra a continuació:

: <math>P= \frac{2}{3}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
\sin(\theta)& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix}</math>

i

: <math>P^{-1} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)& \sin(\theta)&1\\
\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&1\\
\cos(\theta + \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})&1\end{bmatrix}</math>

D. Holmes i T. Lipo, Pulse Width Modulation for Power Converters: Principles and Practice, Wiley-IEEE Press, 2003 i

P. Krause, O. Wasynczuk i S. Sudhoff, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2a ed., Piscataway, NJ: IEEE Press, 2002.

=== Transformada αβγ ===
La transformada dqo és conceptualment similar a la transformada αβγ . Mentre que la transformada dqo és la projecció de les quantitats de fase en un marc de referència de dos eixos giratori, la transformada αβγ es pot considerar com la projecció de les quantitats de fase en un marc de referència estacionari de dos eixos.

== Referències ==
; Referències en línia
{{Referències}}

; Referències generals {{refbegin}}
* [https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/123557/ C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.]
* J. Lewis Blackburn ''Symmetrical Components for Power Systems Engineering'', Marcel Dekker, New York (1993). {{ISBN|0-8247-8767-6}}
* Zhang et al. ''A three-phase inverter with a neutral leg with space vector modulation'' IEEE APEC '97 Conference Proceedings (1997).
* T.A.Lipo, “A Cartesian Vector Approach To Reference Theory of AC Machines”, Int. Conference On Electric Machines, Laussane, Sept. 18–24, 1984.
{{refend}}

[[Categoria:Enginyeria elèctrica]]