Mostra la font per a Transformada directa del cosinus modificat

La '''transformada discreta del cosinus modificat''' ('''MDCT''' de l'anglès ''Modified discrete cosine transform'') és una relació de transformació de Fourier, basada en la transformada del cosinus discret de tipus 4(DCT-IV) amb la propietat d'encavalcar-se. Sol dissenyar-se per ser utilitzada per la implementació de blocs consecutius d'una seqüència d'informació més gran, on s'encavalquen els blocs subseqüents de manera que l'última mitat d'un bloc coincideixi amb la primera mitat del bloc següent. Aquesta superposició, a més de les qualitats de compactació d'energia per part del DCT, fa que la MDCT sigui especialment atractiva per als usos de la compressió del senyal, ja que ajuda a evitar els possibles errors o distorsions que provenen dels límits de cada bloc. És per això que la MDCT s'utilitza en [[MP3]], AC-3, [[Ogg Vorbis]] i [[Advanced Audio Coding|AAC]] per la compressió d'àudio.

Existeix també una forma anàloga a la MDCT, és l'anomenada MDST, basada en la transformada del sinus discret.

== Definició ==
És una funció lineal ''F'' : '''R'''<sup>2''N''</sup> <tt>→</tt> '''R'''<sup>''N''</sup> (on '''R''' determina el sistema de nombres reals). Els 2''N'' nombres reals ''x''<sub>0</sub>, ..., ''x''<sub>2''N''-1</sub> són transformats en els ''N'' nombres reals ''X''<sub>0</sub>, ..., ''X''<sub>''N''-1</sub> tal com es mostra la fórmula:

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{2N-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]</math>

== Transformada inversa ==
La transformada inversa és coneguda com a IMDCT. S'aconsegueix la inversa perfecte aplicant la IMDCT als blocs superposats subseqüents.


:<math>y_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]</math>

== Usos ==
* [[MP3]]: aplica la MDCT al senyal d'entrada. Primer passa el senyal per un banc de filtres que el divideix en 32 bandes(PQF). Més tard passarà el senyal per un filtre antialiasing per eliminar el soroll produït pel PQF.

* [[Advanced Audio Coding|AAC]]: utilitza una MDCT pura. Només en la variant MPEG-4 AAC-SSR (Sony) utilitza un banc de 4 bandes PQF seguit de la MDCT.

* [[ATRAC]]: utilitza el banc QMF seguit de una MDCT.

[[Categoria:Anàlisi funcional]]
[[Categoria:Informàtica teòrica]]