Mostra la font per a Vector de Runge-Lenz

[[Fitxer:Laplace Runge Lenz vector.svg|miniatura|400px|Figura 1: El vector de RL ''' A ''' (en vermell) per a quatre punts (marcats com a 1, 2, 3 i 4) sobre l'òrbita el·líptica d'un [[planeta]] que es mou sota l'acció d'una [[força central]] que segueix la [[llei de la inversa del quadrat]]. En centre d'atracció es marca com un petit cercle negre a partir del qual es consideren que emanen els vectors posició (en negre). El [[moment angular]] '''L''' és perpendicular a l'òrbita. Els vectors coplanaris '''p'''×'''L ''' i ''(mk/r)'''''r''' es mostren en blau i en verd, respectivament. Aquestes variables es defineixen més endavant en aquest article. El vector '''A''' és constant en direcció i magnitud.]]
El ''' vector de Runge-Lenz ''' (o ''' vector de Laplace-Runge-Lenz ''') és una [[integral de moviment|constant de moviment]] del [[problema dels dos cossos]] en interacció gravitatòria mútua. L'existència d'aquesta integral de moviment és una de les formes més simples de provar que les trajectòries planetàries en aquest cas són [[Secció cònica|còniques]].

== Motivació ==
El vector de Runge-Lenz apareix de manera natural des de l'[[equació de moviment]]. Si prenen un [[sistema de referència inercial]] amb origen en el [[centre de masses]] i considerem les distàncies relatives dels dos cossos o astres respecte a ell, podem definir el vector diferència:
{{Equació|
<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2, \qquad \qquad
\mathbf{R}_{CM}= \frac{M_1 \mathbf{r}_1+M_2 \mathbf{r}_2}{M_1+M_2}= 0 </math>
||Left}}
On els dos vectors que apareixen en segon terme són els vectors de posició del primer i segon cos respectivament. En termes del vector diferència l'equació de moviment pot expressar-se com:
{{Equació|
<math> \ddot \mathbf{r}= - \mu \frac{\mathbf{r}}{r^3}</math>
|1|left}}
On μ = '' G '' ('' m '' <sub> 1 </sub>+'' m '' <sub> 2 </sub>). L'existència d'una constant addicional a més de l'energia i el moment angular es pot provar molt fàcilment a partir de{{eqnref|1}}. Si es multiplica per la velocitat s'obté:
{{Equació|
<math> \mathbf{r}\times \ddot \mathbf{r}= \mathbf{0}</math>
||Left}}
Que es pot integrar sense dificultat:
{{Equació|
<math> \mathbf{r}\times \dot \mathbf{r}= \mathbf{l}= \mbox{cte.}</math>
||Left}}
Aquesta vector constant de fet coincideix amb el [[moment angular]] per unitat de massa, i pot calcular sense dificultat a partir de les dades inicials. Si multipliquem aquest vector constant per l'acceleració novament i fem algunes manipulacions algebraiques tenim:
{{Equació|
<math> \mathbf{l}\times \ddot \mathbf{r}=
- \frac{\mu}{r^3}\mathbf{l}\times \mathbf{r}=
- \frac{\mu}{r^3}[(\vec{r}\times \dot \mathbf{r}) \times \mathbf{r}] =
- \frac{\mu}{r^3}[r^2 \dot \mathbf{r}- (\dot \mathbf{r}\cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}] =
-Mu \left [\frac{\dot \mathbf{r}}{r}- \frac{\dot{r}}{r^2}\mathbf{r}\right] =
\Mu \frac{d}{dt} \left (\frac{\mathbf{r}}{r}\right)
</Math>
||Left}}
D'aquesta última igualtat reordenant termes s'ha de:
{{Equació|
<math> \frac{d}{dt} \left (\vec{l}\times \ddot \mathbf{r}- \mu \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{A}= \left (\vec{l}\times \ddot \mathbf{r}- \mu \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = \mbox{cte .}</math>
|2|left}}
I és aquest vector <math> \mathbf{A}</math> el que es coneix com a '''vector (Laplace-)Runge-Lenz '''.

== Propietats ==
* El vector de Runge-Lenz està contingut en el pla de l'òrbita.
* A més el vector de Runge-Lenz coincideix amb un dels semieixos de la cònica
* El mòdul del vector de Runge-Lenz de μ> 0 coincideix amb el valor absolut de l'excentricitat.
* Les components del vector de Runge-Lenz no són totes independents, ja que compleixen la relació <math> \mathbf{A}\cdot \mathbf{L}= 0 </math>

== Forma de l'òrbita ==
De la [[llei de conservació|conservació]] del vector Runge-Lenz,{{eqnref|2}}, se segueix que la forma de l'òrbita en el problema de Kepler és una cònica.<ref>Rañada, 2005, p. 304.</ref> Per veure-ho basta multiplicar aquest vector escalarment amb el vector posició, per obtenir que:
{{Equació|
<math> \begin{cases}
- \mathbf{r}\cdot (\vec{l}\times \dot \mathbf{r}) = \mu r+\mathbf{A}\cdot \mathbf{r}, \\
\mathbf{l}\cdot (\vec{r}\times \dot \mathbf{r}) = \mu r+\mathbf{A}\cdot \mathbf{r}
\end{cases}\qquad \Rightarrow \qquad
\|\mathbf{l}\|^2 = l^2 = \mu r+\mathbf{A}\cdot \mathbf{r}
</Math>
||Left}}
Si la força és atractiva (μ> 0) podem reescriure la darrera expressió com:
{{Equació|
<math>
\frac{l^2}{r}= \mu+\mathbf{A}\cdot \hat \mathbf{r}= \mu (1+e \cos \varphi)
\qquad \Rightarrow \qquad
\frac{p}{r}= 1+e \cos \varphi
</Math>
|3|left}}
On '' e '' és la [[Excentricitat (ciències exactes)|excentricitat]] de l'òrbita, i '' p '' = '' l '' <sup> 2 </sup>/μ és el '' semilatus rectum '' de l'[[el·lipse]], l'equació en [[coordenades polars]] ve donada per{{eqnref|3}}.

== Referències ==
{{Referències}}

* {{ref-llibre|cognom = Fernández Rañada
|nom = Antonio
|editor = Fons de Cultura Econòmica
|títol = Dinàmica Clàssica
|edició = 1 ª
|data =
|any = 2005
|editorial =
|lloc = Mèxic DF
|isbn = 84-206-8133-4
|pàgines = 302-304
}}


{{ORDENA:Vector De Runge-Lenz}}
{{Bo|zh}}

[[Categoria:Mecànica]]
[[Categoria:Simetria]]