Mostra la font per a Versinus

La funció '''vers el sinus''', anomenada també el '''versinus''' o la '''fletxa''', (en [[llatí]], ''sinus versus'' o ''sagitta'' :fletxa), és una [[funció trigonomètrica]] versin(''θ'') (de vegades encara més abreviada per "vers") que es defineix amb l'equació:<ref name="Omatu De Paz Santana González Molina 2012 p. 650">{{cite book|last=Omatu|first6=J.M.C.|access-date=2021-11-06|url=https://books.google.cat/books?id=8ET4GVAJvdAC&pg=PA650|isbn=978-3-642-28765-7|year=2012|series=Advances in Intelligent and Soft Computing|publisher=Springer Berlin Heidelberg|title=Distributed Computing and Artificial Intelligence: 9th International Conference|last6=Rodríguez|first=S.|first5=A.M.|last5=Bernardos|first4=J.M.|last4=Molina|first3=S.R.|last3=González|first2=J.F.|last2=De Paz Santana|page=650}}</ref>

:<math>\textrm{versin} (\theta) = 1 - \cos (\theta) = 2 \sin^2\left(\frac{\theta} {2}\right) \,</math>

Hi ha també tres funcions relacionades: 

* el '''covers sinus''' (el vers sinus de l'angle ''co''mplementari ''&pi;''/2 − ''θ'', o ''coversin''):
::<math>\textrm{coversin}(\theta) = \textrm{versin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin(\theta) \,</math>

* el '''semi vers sinus''' o '''semiversin''' (''semi'' = meitat del versinus):
::<math>\textrm{semiversin}(\theta) = \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\left(\frac {\theta} {2} \right) </math>

* el '''semicovers sinus''' (''semi'' = meitat del ''co''vers sinus, anomenat també el ''semicoversinus'', el ''cosemiversinus'', i el ''semivercosinus''):
::<math>\textrm{semicoversin}(\theta) = \textrm{semiversin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} </math>

Una altra funció similar és l'[[exsecant]] (sec ''θ'' −&nbsp;1).

== Història i aplicacions ==
Històricament, el vers sinus va ser considerada una de les funcions trigonomètriques més importants, però ha perdut popularitat en els temps moderns degut a la disponibilitat dels [[ordinador]]s i les [[calculadora|calculadores]] científiques. Quan θ tendeix a zero, versin(θ) és la diferència entre dues quantitat gairebé iguals, així, si es va servir una taula trigonomètrica on només hi ha el cosinus cal que tingui molta exactitud per a poder trobar el versinus, això fa convenient la creació de taules separades pel versinus. (Fins i tot amb un ordinador, els [[error d'arrodoniment|errors d'arrodoniment]] fan aconsellable fer servir la fórmula del sin² per a valors petits de θ.) Un altre avantatge històrica del versinus és que no és mai negatiu, així, el seu [[logaritme]] està definit a tot arreu tret d'un únic angle (''θ'' = 0, 2''&pi;''…) on és zero—per tant, es poden fer servir taules de logaritmes per calcular les multiplicacions en les fórmules que impliquin versinus.

El semiversinus, en particular, va ser important en [[navegació marítima|navegació]] perquè apareix en la [[fórmula del Haversine]], que es fa servir per a calcular distàncies amb exactitud quan es donen les posicions angulars en una esfera (per exemple la [[longitud (geografia)|longitud]] i la [[latitud]]). (També es podria fer servir directament sin²(''θ''/2), però si es té una taula de semiversinus, s'elimina la necessitat de calcular quadrats i arrels quadrades.) 

De fet, la taula trigonomètrica més antiga que es conserva, entre els segles {{Romanes|IV}} i {{Romanes|V}} ''[[Siddhantas]]'' de l'[[Índia]], era una taula que només tenia valors del sinus i del versinus (en increments de 3.75° des de 0 fins a 90°). Això no és gens sorprenent donat que el versinus surt com un pas intermedi per a calcular el sinus de l'angle meitat segons la fórmula sin²(''θ''/2) = versin(''θ'')/2, que va demostrar [[Claudi Ptolemeu|Ptolemeu]] i que és la que es va fer servir per a calcular aquestes taules.

[[Fitxer:Versin.png|miniatura|Sinus, cosinus, i versinus de θ basant-se en la circumferència goniomètrica]]

El significat de la paraula esdevé clar si s'observen les funcions en el seu context original de definició, la [[circumferència goniomètrica]], que es mostra a la dreta. La [[corda (geometria)|corda]] vertical ''AB'' de la circumferència goniomètrica, el sinus de l'angle θ (la meitat de l'angle que veu la corda) és la distància ''AC'' (la meitat de la corda). Per altra banda, el vers el sinus de θ és la distància ''CD'' des del centre de l'arc al centre de la corda (de l'arc vers el sinus) o, cosa que és el mateix, com en deia en [[Fibonacci]] en llatí, ''sinus versus arcus''.

Aquesta figura també il·lustra el motiu pel qual del versinus de vegades també se'n diu ''fletxa''. El versinus "CD" és clarament la fletxa entre la corda i l'arc.

La forma d'ona d'un període (0 < ''θ'' < ''&pi;''/2) de la funció versinus o, més habitualment, de la funció semiversinus, es fa servir habitualment en [[processament del senyal]] i en [[teoria de control]] com la forma d'un [[pors (processament del senyal)|pols]] o una [[finestra d'observació]], degut a la seva suavitat ([[funció contínua|continuïtat]] tant en el seu valor com en la seva [[pendent (matemàtiques)|pendent]]) "es connecta" des de [[zero]] fins a [[1|u]] (pel cas del semiversinus) i torna a zero.
En aquestes aplicacions, encara se li dona un altre nom: [[filtre del cosinus realçat]].

== "Versinus" de corbes i cordes arbitràries ==
El terme ''versinus'' també es fa servir de vegades per a descriure la desviació d'una corba plana qualsevol respecte de la recta, del qual, el cercle anterior és un cas especial. Donada una corda entre dos punts d'una corba, la longitud des d'un punt de la corda (normalment el punt mitjà) fins al punt on la perpendicular a la corda (per aquest primer punt), talla la corba, diu la mesura del ''versinus''. Per una línia recta, el versinus de qualsevol corda és zero, així aquesta mesura caracteritza la rectitud de la corba. En el [[límit]] quan la longitud de la corda ''L'' tendeix a zero, el quocient 8''v''/''L''² tendeix a la [[curvatura]] instantània de la corba.

Aquesta utilització és especialment habitual en [[ferrocarril]], on serveix per a descriure la mesura de la rectitud de la [[via fèrria]] (Nair, 1972).

== Vegeu també ==
* [[Corda (geometria)]]
* [[Exsecant]]
* [[Funció trigonomètrica]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre |nom=Carl B. |cognom=Boyer |enllaçautor=Carl Boyer |títol=A History of Mathematics |edició=2a edició|editorial=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |lloc=Nova York |any=1991}}
* {{ref-web |nom=J. |cognom=Miller |url=http://members.aol.com/jeff570/v.html |títol=Earliest known uses of some of the words of mathematics (v) |arxiuurl=https://web.archive.org/web/19991004052655/http://members.aol.com/jeff570/v.html |arxiudata=1999-10-04 |consulta=2008-03-22}}
* {{ref-web|nom=James B. |cognom=Calvert |url=http://www.du.edu/~jcalvert/math/trig.htm |títol=Trigonometry}}
* {{ref-publicació|nom=Bhaskaran |cognom=Nair |títol=Track measurement systems—concepts and techniques |publicació=Rail International |volum=3 |exemplar=3 |pàgines=159–166 |any=1972 |issn=0020-8442}}

{{Trigonometria}}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Trigonometria]]