Mostra la font per a Vibració d'una membrana circular

[[Fitxer:Drum vibration mode12.gif|miniatura|Un dels possibles modes de vibració d'un [[pedaç de tambor]] ideal (mode <math>u_{12}</math> seguint la notació descrita més endavant). Al final de l'article es mostren altres modes.]]

Una [[membrana elàstica]] sota tensió pot admetre [[vibració|vibracions]] transversals. Les propietats d'un [[pedaç de tambor]] ideal poden modelitzar-se amb les '''vibracions d'una membrana circular''' de gruix uniforme i subjecta a un marc rígid. A causa de les [[ressonància|ressonàncies]], a una certa [[freqüència]] de vibració (la [[freqüència de ressonància]]) la membrana pot emmagatzemar energia vibracional, amb la superfície oscil·lant en un patró característic d'[[ona estacionària|ones estacionàries]] anomenat [[mode normal]]. Una membrana té infinits modes normals i el de menor freqüència s'anomena [[freqüència fonamental|mode fonamental]].

Una membrana pot vibrar d'infinites maneres, cadascuna depenent de la forma de la membrana en un cert instant inicial i la velocitat transversal de cada punt de la membrana en aquest instant. Les vibracions de la membrana venen donades per les solucions de l'[[equació d'ona]] en dues dimensions amb condicions de vora de [[Dirichlet]] que representen la restricció al marc. Es pot demostrar que qualsevol vibració arbitrària de la membrana es pot descompondre en una [[sèrie (matemàtiques)|sèrie]], possiblement infinita, de modes normals de la membrana. Aquest resultat és anàleg a la descomposició d'una senyal temporal en [[sèries de Fourier]]

== Motivació ==
L'anàlisi de la vibració d'un pedaç de tambor explica el comportament d'instruments de percussió com els [[tambor]]s o les [[timbales]]. Tanmateix, també té aplicacions en biologia en el funcionament del [[Timpà (anatomia)|timpà]]. Des d'un punt de vista educatiu, els [[mode]]s d'un objecte bidimensional són una forma visual d'explicar el significat dels modes, nodes, antinodes i fins i tot els [[nombre quàntic|nombres quàntics]]. Aquests conceptes són importants per entendre l'[[estructura atòmica|estructura de l'àtom]].

== Descripció del problema ==
Consideri's un disc obert <math>\Omega</math> de radi <math>a</math> centrat a l'origen, que representarà la membrana en repòs. A qualsevol temps <math>t,</math> l'alçada de la membrana a un punt <math>(x, y)\in \Omega </math> mesurat des de la posició de repòs es pot denotar com <math>u(x, y, t),</math> que pot prendre valors tan positius com negatius. Sigui <math>\partial \Omega</math> la [[frontera (topologia)|frontera]] de <math>\Omega,</math> o sigui, la [[circumferència]] de radi <math>a</math> centrada a l'origen, que representa el marc rígid que subjecta la membrana.

L'equació matemàtica que governa la vibració de la membrana és l'equació d'ona amb condició de vora de Dirichlet homogènia,

: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \text{ per }(x, y) \in \Omega \,</math>

: <math>u = 0\text{ a }\partial \Omega.\,</math>

Degut a la geometria circular de la membrana, serà convenient utilitzar [[coordenades cilíndriques]], <math>(r, \theta, z).</math> En aquest cas, les equacions anteriors es poden escriure com

:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\right) \text{ per } 0 \le r < a, 0 \le \theta \le 2\pi\,</math>

: <math>u = 0\text{ a } r=a.\,</math>

Ara, <math>c</math> és una constant positiva, que dona la velocitat a la qual una ona transversal es propaga per la membrana. En termes dels paràmetres físics del sistema, la velocitat d'ona ve donada per

: <math> c = \sqrt{\frac{N_{rr}^*}{\rho h}}</math>

on <math>N_{rr}^*</math>, és la força radial resultant a la vora de la membrana (<math> r = a</math>), <math>h</math>, és el gruix de la membrana, i <math>\rho</math> és la densitat de la membrana. Si la membrana té una tensió uniforme, la força de tensió a un cert radi <math>r</math> ve donada per
: <math>F = rN^{r}_{rr}=rN^{r}_{\theta\theta}</math>

on <math> N^{r}_{\theta\theta} = N^{r}_{rr} </math> és la resultant de a la membrana en la direcció azimutal.

== Cas radialment simètric ==
Primer estudiarem els modes de vibració d'una membrana circular radialment simètrica. En aquest cas, la funció <math>u</math> no depèn de l'angle <math>\theta,</math> i l'equació d'ona es redueix a

:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right) .</math>

Buscarem solucions utilitzant separació de variables, <math>u(r, t) = R(r)T(t).</math> Substituint aquesta expressió a l'equació anterior i dividint ambdós costats de la igualtat per <math>c^2R(r)T(t)</math> s'obté

: <math>\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{1}{R(r)}\left(R''(r) + \frac{1}{r}R'(r)\right).</math>

El costat esquerre de l'equació no depèn de <math>r,</math> i el costat dret no depèn de <math>t,</math> de manera que ambdós costats han de ser iguals a una constant <math>K.</math> D'aquesta manera, obtenim equations separates per <math>T(t)</math> i <math>R(r)</math>:

: <math>T''(t) = Kc^2T(t) \,</math>
: <math>rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,</math>

L'equació per <math>T(t)</math> té solucions que creixen o decauen exponencialment per <math>K>0,</math> són lineals o constants per <math>K=0</math> i són periòdiques per <math>K<0</math>. Físicament, és d'esperar que una solució al problema de la vibració d'una membrana circular serà oscil·latòria en el temps, per tant l'únic cas possible és el tercer, <math>K<0,</math> on <math>K=-\lambda^2.</math> Llavors, <math>T(t)</math> és [[combinació lineal]] de sinus i cosinus

: <math>T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, </math>

Estudiant ara l'equació per <math>R(r),</math> i utilitzant que <math>K=-\lambda^2,</math> totes les solucions d'aquesta equació diferencial de segon ordre són combinació lineal de [[funcions de Bessel]] d'ordre 0, ja que aquest és un cas particular de l'[[equació diferencial de Bessel]]:

:<math>R(r) = c_1 J_0(\lambda r)+ c_2 Y_0(\lambda r).\,</math>

La funció de Bessel <math>Y_0</math> és no acotada quan <math>r\to 0,</math> el que donaria un resultat físicament impossible per la vibració d'una membrana, de manera que la constant <math>c_2</math> ha de ser nul·la. Podem suposar que <math>c_1=1,</math> ja que en cas contrari aquesta constant pot ser absorbida per les constants <math>A</math> i <math>B</math> de <math>T(t).</math> D'aquesta manera s'obté

: <math>R(r) = J_0(\lambda r).</math>

La condició que l'alçada <math>u</math> ha de ser zero a la vora de la membrana dona la condició

: <math>R(a) = J_0(\lambda a) = 0.</math>

La funció de Bessel <math>J_0</math> té un nombre [[infinit]] d'arrels positives,

: <math>0< \alpha_{01} < \alpha_{02} < \cdots</math>

així doncs <math>\lambda a=\alpha_{0n},</math> per <math>n=1, 2, \dots, </math> i d'aquesta manera

: <math>R(r) = J_0\left(\frac{\alpha_{0n}}{a}r\right).</math>

Per tant, les solucions radialment simètriques <math>u</math> de la vibració d'una membrana circular es poden representar mitjançant separació de variables com

: <math>u_{0n}(r, t) = \left(A\cos c\lambda_{0n} t + B\sin c\lambda_{0n} t\right)J_0\left(\lambda_{0n} r\right)\text{ per }n=1, 2, \dots, \, </math>

on <math>\lambda_{0n} = \alpha_{0n}/a.</math>

== Cas general ==
El cas general, on <math>u</math> també pot dependre de l'angle <math>\theta,</math> es resol de manera similar. Suposem que la solució admet separació de variables, 

: <math>u(r, \theta, t) = R(r)\Theta(\theta)T(t).\,</math>

Substituint en l'equació d'ona i separant les variables s'obté
: <math>\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=K</math>

on <math>K</math> és una constant. Igual que abans, de l'equació de <math>T(t)</math> es dedueix que <math>K=-\lambda^2</math> amb <math>\lambda>0</math> i

: <math>T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, </math>

De l'equació

: <math>\frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=-\lambda^2</math>

s'obté, multiplicant ambdós costant per <math>r^2</math> i separant les variables, que 

: <math>\lambda^2r^2+\frac{r^2R''(r)}{R(r)}+\frac{rR'(r)}{R(r)}=L</math>

i

: <math>-\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=L,</math>

per alguna constant <math>L.</math> Com que <math>\Theta(\theta)</math> és periòdica, amb període <math>2\pi,</math> on <math>\theta</math> és una variable angular, se segueix que 

: <math>\Theta(\theta)=C\cos m\theta + D \sin m\theta,\, </math>

on <math>m=0, 1, \dots </math> i <math>C</math> i <math>D</math> són constants. Això també implica que <math>L=m^2.</math>

Tornant a l'equació per <math>R(r),</math> la seva solució és combinació lineal de [[funcions de Bessel]] <math>J_m</math> i <math>Y_m.</math> Utilitzant un raonament similar al de l'apartat anterior obtenim 

: <math>R(r) = J_m(\lambda_{mn}r),\,</math> <math>m=0, 1, \dots,</math> <math>n=1, 2, \dots,</math>

on <math>\lambda_{mn}=\alpha_{mn}/a,</math> amb <math>\alpha_{mn}</math> la <math>n</math>-èsima arrel positiva de <math>J_m.</math>

Per tant, hem demostrat que totes les solucions en variables separades del problema de vibració d'una membrana circular tenen la forma

: <math>u_{mn}(r, \theta, t) = \left(A\cos c\lambda_{mn} t + B\sin c\lambda_{mn} t\right)J_m\left(\lambda_{mn} r\right)(C\cos m\theta + D \sin m\theta)</math>

per <math>m=0, 1, \dots, n=1, 2, \dots</math>

== Animacions dels modes de vibració ==
A continuació es mostren alguns dels primers modes juntament amb els seus nombres quàntics. Les funcions d'ona anàlogues per l'àtom d'hidrogen també s'indiquen així com les freqüències angulars associades <math>\omega=\lambda_{mn}c = \frac{c}{a} \alpha_{mn}</math>.

<center>
<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode01.gif|Mode <math>u_{01}</math> (1s) amb <math>\alpha_{01}=2.40483</math>
Image:Drum vibration mode02.gif|Mode <math>u_{02}</math> (2s) amb <math>\alpha_{02}=5.52008</math>
Image:Drum vibration mode03.gif|Mode <math>u_{03}</math> (3s) amb <math>\alpha_{03}=8.65373</math>
</gallery>

<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode11.gif|Mode <math>u_{11}</math> (2p) amb <math>\alpha_{11}=3.83171</math>
Image:Drum vibration mode12.gif|Mode <math>u_{12}</math> (3p) amb <math>\alpha_{12}=7.01559</math>
Image:Drum vibration mode13.gif|Mode <math>u_{13}</math> (4p) amb <math>\alpha_{13}=10.1735</math>
</gallery>

<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode21.gif|Mode <math>u_{21}</math> (3d) amb <math>\alpha_{21}=5.13562</math>
Image:Drum vibration mode22.gif|Mode <math>u_{22}</math> (4d) amb <math>\alpha_{22}=8.41724</math>
Image:Drum vibration mode23.gif|Mode <math>u_{23}</math> (5d) amb <math>\alpha_{23}=11.6198</math>
</gallery>
</center>

== Enllaços externs ==
* [http://www.falstad.com/circosc/ Applet Java que il·lustra els modes d'una membrana circular]

[[Categoria:Equacions diferencials]]
[[Categoria:Enginyeria mecànica]]
[[Categoria:Ones]]