Matriu invertible

Donada una matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, $A\in M_{n\times n}(ℝ)$, es diu que $A$ és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu $B\in M_{n\times n}(ℝ)$ tal que $A\cdot B=I_n$ i $B\cdot A=I_n$, on $I_n$ és la matriu identitat d'ordre $n$. En aquest cas, la matriu $B$ és única i es denota per $A^{-1}$.

Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular.

El producte de matrius invertibles és invertible.

Exemple

Per exemple, les següents matrius $A$ i $B$ són inverses l'una de l'altra:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Propietats

• La inversa d'una matriu és única.

• La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:

${(A\cdot B)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

• Si la matriu és invertible, també ho és la seva transposada, i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:

${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

• La inversa de la inversa d'una matriu $A$ és $A$:

$((A^{-1}{)}^{-1})=A$

• Una matriu $A$ definida sobre els reals és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}\mathrm{adj}(A^T)$

on $\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|$ és el determinant de la matriu A i $\mathrm{adj}(A)$ és la Matriu d'adjunts de A.

• El conjunt de matrius quadrades d'ordre $n$ sobre un cos $𝐊$ que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup lineal $\text{GL}(n,𝐊)$ d'ordre $n$. En aquest grup, l'operació inversa és un automorfisme $(\cdot {)}^{-1}:\text{GL}(n,𝐊)\to \text{GL}(n,𝐊)$.

• No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius $A\in M_{n\times n}(ℝ)$ tals que el seu rang sigui $n$, $\text{rang}(A)=n$.

• Si una matriu $A$ té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu $B\ne 0$, quadrada o no, tal que $AB=0$. En efecte:

$AB=0\Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_{n}B=B$

Inverses generalitzades

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.