Mètode d'Euler

Il·lustració del mètode d'Euler. La corba blava és desconeguda, amb la seva aproximació poligonal en vermell.

En matemàtiques i ciència computacional, el mètode d'Euler és un procés numèric per a resoldre equacions diferencials ordinàries (EDOs) amb un valor inicial donat. És el cas més bàsic de mètode explícit d'integració numèrica per a equacions diferencials ordinàries. El mètode pren el nom de l'autor, Leonhard Euler.

Descripció geomètrica informal

Considerem el problema de trobar una corba desconeguda que comença en un punt donat i satisfà una equació diferencial donada. L'equació diferencial es pot interpretar com una fórmula que permet calcular el pendent de la recta tangent a qualsevol punt de la corba, a partir de la posició d'aquest punt.

La idea és que, encara que la corba és inicialment desconeguda, el seu punt inicial, que notarem per $A_0,$ és conegut (vegeu la il·lustració superior). Llavors, a partir de l'equació diferencial, es pot calcular el pendent de la corba a $A_0$, i per tant, la recta tangent en el punt inicial.

Avancem un petit pas al llarg d'aquesta recta tangent cap a un punt $A_1.$ Si suposem que $A_1$ encara es troba sobre la corba, es pot utilitzar el mateix raonament que pel punt $A_0$. Després d'alguns passos, es calcula la corba poligonal $A_0{A}_1{A}_2{A}_3\dots$. En general, aquesta corba no divergeix gaire de la corba original desconeguda, i l'error entre totes dues corbes es pot reduir si la mida del pas és prou petita i l'interval de computació és finit.

Derivació

Il·lustració d'integració numèrica per l'equació $y^{\prime }=y,y(0)=1.$ Blau: el mètode d'Euler, Verd: el mètode del punt mitjà, Vermell: la solució exacta, $y=e^t.$. La mida del pas és $h=1.0.$

La mateixa il·lustració per $h=0.25.$ S'observa que el mètode del punt mitjà convergeix més ràpidament que el mètode d'Euler.

Volem aproximar la solució del problema de valor inicial:

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0,$

utilitzant els dos primers termes de la sèrie de Taylor de y, que representa l'aproximació lineal al voltant del punt (t₀,y(t₀)). Un pas del mètode d'Euler des de t_n cap a t_n+1 = t_n + h és

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$

El mètode d'Euler és explícit, és a dir, la solució $y_{n+1}$ és una funció explícita de $y_i$ per $i\le n$.

Encara que el mètode d'Euler integra una EDO de primer ordre, qualsevol EDO d'ordre $N$ es pot representar com una EDO de primer ordre amb més d'una variable introduint $N-1$ variables addicionals, $y^{\prime }$, $y^{″}$, ..., $y^{(N)}$, i formulant $N$ equacions de primer grau amb aquestes noves variables. El mètode d'Euler es pot aplicar al vector $𝐲(t)=(y(t),y^{\prime }(t),y^{″}(t),...,y^{(N)}(t))$ per integrar el sistema d'ordre més elevat.

Error

La magnitud dels errors generats pel mètode d'Euler es pot demostrar per comparació amb una sèrie de Taylor de y. Si assumim que $f(t)$ i $y(t)$ es coneixen exactament al temps $t_0,$ llavors el mètode d'Euler dona la solució aproximada al temps $t_0+h$ com:

$y(t_0+h)=y(t_0)+hf(t_0,y(t_0))=y(t_0)+h{y}^{\prime }(t_0)$

(la segona igualtat prové que y satisfà l'equació diferencial $y^{\prime }=f(t,y)$). En comparació, la sèrie de Taylor a $h$ sobre $t_0$ dona:

$y(t_0+h)=y(t_0)+h{y}^{\prime }(t_0)+\frac{1}{2}{h}^2{y}^{″}(t_0)+O(h^3).$

L'error introduït pel mètode d'Euler ve donat per la diferència entre aquestes equacions:

$\frac{1}{2}{h}^2{y}^{″}(t_0)+O(h^3).$

Per $h$ petita, l'error dominant per pas és proporcional a $h^2$. Per resoldre el problema sobre un rang donat de $t$, el nombre de passos necessaris és proporcional a $1/h$, per tant s'espera que l'error total al final del temps fixat sigui proporcional a $h$ (error per pas multiplicat pel nombre de passos). Per aquesta raó, es diu que el mètode d'Euler és de primer ordre. Això fa que el mètode d'Euler sigui menys precís (per petites $h$) que altres tècniques d'ordres més alts com els mètodes de Runge-Kutta.

El mètode d'Euler també pot ser numèricament inestable. Aquesta limitació, juntament amb la seva lentitud en la convergència, fa que el mètode d'Euler no sigui gaire utilitzat, excepte com a exemple simple d'integració numèrica.