N-esfera: diferència entre les revisions

Revisió de 16:12, 30 des 2024

En matemàtiques, una n-esfera o hiperesfera és una generalització n-dimensional del cercle 1-dimensional i de l'esfera 2-dimensional a qualsevol nombre n enter no negatiu.

El cercle es considera unidimensional i l'esfera bidimensional, perquè les superfícies en si són unidimensionals i bidimensionals, respectivament, no perquè existeixin com a formes a l'espai unidimensional i bidimensional.^{[Nota 1]} Com a tal, la n-esfera es la configuració per a la geometria esfèrica n-dimensional.

⁠

Esquelet d'una 2-esfera com a projecció ortogonal
De la mateixa manera que una projecció estereogràfica pot projectar la superfície d'una esfera a un pla, també pot projectar una 3-esfera en 3-espai. Aquesta imatge mostra tres direccions de coordenades projectades a 3 espais: paral·lels (vermell), meridians (blau) i hipermeridians (verd). A causa de la propietat conforme de la projecció estereogràfica, les corbes es tallen ortogonalment (en els punts grocs) com en 4D. Totes les corbes són cercles: les corbes que es tallen (0,0,0,1) tenen un radi infinit (= línia recta)

Considerada extrínsecament, com una hipersuperfície incrustada en un espai euclidià de (n+1)-dimensions, una n-esfera és el lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància (el radi) d'un punt central (el centre) donat. El seu interior, format per tots els punts més propers al centre que al radi, és una bola de (n+1)-dimensions. En particular:

La 0-esfera és el parell de punts als extrems d'un segment lineal (1-bola).
La 1-esfera és un cercle, la circumferència d'un disc (2-bola) en el pla bidimensional.
La 2-esfera, sovint anomenada simplement esfera, és el límit d'una 3-bola en l'espai tridimensional.
La 3-esfera és el límit d'una 4-bola en un espai de quatre dimensions.

Donat un sistema de coordenades cartesianes, la n-esfera unitat de radi 1 es pot definir com:

S^{n} = {x \in ℝ^{n + 1} : ‖ x ‖ = 1},

i una n-esfera de radi r es pot definir com

S^{n} (r) = {x \in ℝ^{n + 1} : ‖ x ‖ = r} .

Considerat intrínsecament, quan n≥1, la n-esfera és una varietat de Riemann de curvatura constant positiva i és orientable. La geodèsica de la n-esfera s'anomenen cercles màxims.

La projecció estereogràfica mapeja la n-esfera sobre n-espai amb un únic punt adjunt a l'infinit; sota la mètrica així definida, $ℝ^{n} \cup {\infty}$ és un model per a la n-esfera.

En el context més general de la topologia, qualsevol espai topològic que sigui homeomòrfic a la unitat n-esfera s'anomena una n-esfera. Sota projecció estereogràfica inversa, la n-esfera és la compactació d'un punt de n-espai. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos n-espais dimensionals junts, identificant el límit d'un n-cub amb un punt, o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. Quan n ≥ 2 està simplement connectat; la 1-esfera (cercle) no està simplement connectada; la 0-esfera ni tan sols està connectada, que consta de dos punts discrets.

Per a n ≥ 2, les n-esferes que són varietats diferenciables es poden caracteritzar (llevat d'un difeomorfisme) com les varietats n-dimensionals simplement connectades de curvatura positiva constant. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos espais euclidians n-dimensionals, identificant el límit d'un n-cub amb un punt o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. La 1-esfera és la 1-varietat que és un cercle, que no està simplement connectat. La 0-esfera és la 0-varietat, que ni tan sols està connectada, que consta de dos punts.

Descripció

Per a qualsevol nombre natural n, una n-esfera de radi r es defineix com el conjunt de punts de l'espai euclidià (n + 1)-dimensional que es troben a la distància r d'algun punt fix c, on r pot ser qualsevol nombre real positiu i on c pot ser qualsevol punt de l'espai (n + 1)-dimensional. En particular:

una 0-esfera és un parell de punts {c − r, c + r}, i és el límit d'un segment lineal (1-bola).
una 1-esfera és un cercle de radi r centrat en c i és el límit d'un disc (2-bola).
una 2-esfera és una esfera ordinària de 2 dimensions en un espai euclidià de 3 dimensions, i és el límit d'una bola ordinària (3-bola).
una 3-esfera és una esfera de 3 dimensions en un espai euclidià de 4 dimensions.

Coordenades euclidianes al (n+1)-espai

El conjunt de punts del (n+1)-espai, Plantilla:Math, que defineixen una n-esfera, $S^{n} (r)$ , es representa per l'equació:

r^{2} = \sum_{i = 1}^{n + 1} (x_{i} - c_{i})^{2},

on Plantilla:Math és un punt central i r és el radi.

La n-esfera anterior existeix a l'espai euclidià de (n + 1)-dimensions i és un exemple d'una n-varietat. La forma de volum ω d'una n-esfera de radi r ve donada per

ω = \frac{1}{r} \sum_{j = 1}^{n + 1} (- 1)^{j - 1} x_{j} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n + 1} = * d r

on Plantilla:Math és l'operador estrella de Hodge; vegeu Plantilla:Harvtxt per a una discussió i demostració d'aquesta fórmula en el cas r = 1. Com a resultat,

d r \land ω = d x_{1} \land \dots \land d x_{n + 1} .

Plantilla:Math-bola

Plantilla:AP

L'espai tancat per una n-esfera s'anomena (n + 1)-bola. Una (n + 1)-bola està tancada si inclou la n-esfera, i està oberta si no inclou la n-esfera.

Concretament:

Una 1-bola, un segment de línia, és l'interior d'una 0-esfera.
Una 2-bola, un disc, és l'interior d'un cercle (1-esfera).
Una 3-bola, una bola ordinària, és l'interior d'una esfera (2-esfera).
Una 4-bola és l'interior d'una 3-esfera, etc.

Descripció topològica

Topològicament, una n-esfera es pot construir com una compactació d'un punt de l'espai euclidià n-dimensional. Breument, la n-esfera es pot descriure com Sn = ℝⁿ ∪ {∞}, que és un espai euclidià n-dimensional més un únic punt que representa l'infinit en totes les direccions.

En particular, si s'elimina un únic punt d'una n-esfera, esdevé homeomorf a ℝⁿ. Això constitueix la base per a la projecció estereogràfica.Plantilla:Sfn

Volum i superfície

V_n(R) i S_n(R) són el volum n-dimensional de la n-bola i l'àrea superficial de la n-esfera incrustada a la (n + 1)-dimensió, respectivament, de radi R.

Les constants V_n i S_n (per a R = 1, la bola i l'esfera unitat) estan relacionades per les recurrències:

\begin{matrix} V_{0} & = 1 & V_{n + 1} & = \frac{S_{n}}{n + 1} \\ S_{0} & = 2 & S_{n + 1} & = 2 π V_{n} \end{matrix}

Les superfícies i els volums també es poden donar en forma tancada:

\begin{matrix} S_{n - 1} (R) & = \frac{2 π^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} R^{n - 1} \\ V_{n} (R) & = \frac{π^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} R^{n} \end{matrix}

on Γ és la funció gamma. En aquesta secció es donen les derivacions d'aquestes equacions.

En general, el volum de la n-bola a l'espai euclidià n-dimensional i l'àrea de la superfície de la n-esfera a l'espai euclidià (n + 1)-dimensional, de radi R, són proporcionals a l'enèsima potència del radi, R (amb diferents constants de proporcionalitat que varien amb n). Escrivim V_n(R) = V_nRⁿ per al volum de la n-bola i S_n(R) = S_nRⁿ per a la superfície de la n-esfera, ambdues de radi R, on V_n = V_n(1) i S_n = S_n(1) són els valors per al cas de radi unitat.

El volum de la n-bola unitat és màxim a la dimensió cinc, on comença a disminuir, i tendeix a zero quan n tendeix a l'infinit.Plantilla:Sfn A més, la suma dels volums de n-boles de dimensions parells de radi R es pot expressar en forma tancada:Plantilla:Sfn

\sum_{n = 0}^{\infty} V_{2 n} (R) = e^{π R^{2}} .

Per analogia, les de dimensions senars,

\sum_{n = 0}^{\infty} V_{2 n + 1} (R) = e^{π R^{2}} \erf (\sqrt{π} R),

on Plantilla:Math és la funció d'error.Plantilla:Sfn

Exemples

La 0-bola consta d'un sol punt. La mesura de Hausdorff de 0-dimensions és el nombre de punts d'un conjunt. Així,

V_{0} = 1 .

La 0-esfera consta dels seus dos extrems, {−1,1}. Així,

S_{0} = 2 .

La 1-bola unitat és l'interval [−1,1] de longitud 2. Per tant,

V_{1} = 2 .

La 1-esfera unitat és el cercle unitari en el pla euclidià, i aquest té una circumferència (mesura unidimensional)

S_{1} = 2 π .

La regió tancada per la 1-esfera unitat és la 2-bola, o disc unitat, i aquesta té àrea (mesura bidimensional)

V_{2} = π .

De manera anàloga, a l'espai euclidià tridimensional, l'àrea superficial (mesura bidimensional) de la 2-esfera unitat ve donada per

S_{2} = 4 π .

i el volum inclòs és el volum (mesura tridimensional) de la 3-bola unitat, donat per

V_{3} = \frac{4}{3} π .

Recurrències

L'àrea superficial, o pròpiament el volum n-dimensional, de la n-esfera al límit de la (n + 1)-bola de radi R està relacionada amb el volum de la bola per l'equació diferencial

S_{n} R^{n} = \frac{d V_{n + 1} R^{n + 1}}{d R} = (n + 1) V_{n + 1} R^{n},

o, de manera equivalent, representar la n-bola unitat com una unió de (n - 1)-corones esfèriques,

V_{n + 1} = \int_{0}^{1} S_{n} r^{n} d r .

Llavors,

V_{n + 1} = \frac{S_{n}}{n + 1} .

També podem representar la (n + 2)-esfera unitat com una unió de productes d'un cercle (1-esfera) amb una n-esfera. Sigui r = cos θ i r² + R² = 1, de manera que R = sin θ i dR = cos θ dθ. Llavors,

\begin{matrix} S_{n + 2} & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} S_{1} r \cdot S_{n} R^{n} d θ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} S_{1} \cdot S_{n} R^{n} \cos θ d θ \\ = \int_{0}^{1} S_{1} \cdot S_{n} R^{n} d R \\ = S_{1} \int_{0}^{1} S_{n} R^{n} d R \\ = 2 π V_{n + 1} . \end{matrix}

A partir de Plantilla:Math, l'equació

S_{n + 1} = 2 π V_{n}

val per a tots n.

Això completa la derivació de les recurrències:

\begin{matrix} V_{0} & = 1 & V_{n + 1} & = \frac{S_{n}}{n + 1} \\ S_{0} & = 2 & S_{n + 1} & = 2 π V_{n} \end{matrix}

Formes tancades

Combinant les recurrències, veiem que

V_{n + 2} = 2 π \frac{V_{n}}{n + 2} .

Per tant, és senzill demostrar per inducció a k que,

\begin{matrix} V_{2 k} & = \frac{{(2 π)}^{k}}{(2 k)!!} = \frac{π^{k}}{k!} \\ V_{2 k + 1} & = \frac{2 {(2 π)}^{k}}{(2 k + 1)!!} = \frac{2 k! {(4 π)}^{k}}{(2 k + 1)!} \end{matrix}

on !! denota el doble factorial, definit per a nombres naturals senars 2k + 1 per (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) i de la mateixa manera per als nombres parells (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).

En general, el volum, en l'espai euclidià n-dimensional, de la n-bola unitat, ve donat per

V_{n} = \frac{π^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} = \frac{π^{\frac{n}{2}}}{(\frac{n}{2})!}

on Γ és la funció gamma, que compleix $Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$ , Plantilla:Math, i Plantilla:Math, i així Plantilla:Math, i on definim a la inversa x! = Plantilla:Math per a tot x.

Multiplicant V_n per R_n, diferenciant respecte a R, i després fixant ^{R = 1}, obtenim la forma tancada

S_{n - 1} = \frac{n π^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} = \frac{2 π^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} .

per al volum (n − 1)-dimensional de l'esfera Sⁿ⁻¹.

Altres relacions

Les recurrències es poden combinar per donar una relació de recurrència de «direcció inversa» per a la superfície, tal com es mostra al diagrama inferior:

S_{n - 1} = \frac{n}{2 π} S_{n + 1}

El desplaçament de l'índex n a n - 2 dóna llavors les relacions de recurrència:

\begin{matrix} V_{n} & = \frac{2 π}{n} V_{n - 2} \\ S_{n - 1} & = \frac{2 π}{n - 2} S_{n - 3} \end{matrix}

on Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math.

n es refereix a la dimensió de l'espai euclidià ambiental, que també és la dimensió intrínseca del sòlid el volum del qual s'indica aquí, però que és 1 més que la dimensió intrínseca de l'esfera la superfície de la qual apareix aquí. Les fletxes vermelles corbes mostren la relació entre fórmules per a diferents n. El coeficient de la fórmula a la punta de cada fletxa és igual al coeficient de la fórmula a la cua d'aquesta fletxa multiplicat pel factor de la punta de la fletxa (on la n de la punta de la fletxa fa referència al valor n al qual apunta la fletxa). Si la direcció de les fletxes inferiors s'invertís, les seves puntes de fletxa dirien que es multipliquen per Plantilla:Math. Dit alternativament, l'àrea superficial Plantilla:Math de l'esfera en n + 2 dimensions és exactament 2πR vegades el volum Vn tancat per l'esfera en n dimensions

La relació de recurrència per a Vn també es pot demostrar mitjançant la integració amb coordenades polars 2-dimensionals:

\begin{matrix} V_{n} & = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} V_{n - 2} {(\sqrt{1 - r^{2}})}^{n - 2} r d θ d r \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} V_{n - 2} {(1 - r^{2})}^{\frac{n}{2} - 1} r d θ d r \\ = 2 π V_{n - 2} \int_{0}^{1} {(1 - r^{2})}^{\frac{n}{2} - 1} r d r \\ = 2 π V_{n - 2} {[- \frac{1}{n} {(1 - r^{2})}^{\frac{n}{2}}]}_{r = 0}^{r = 1} \\ = 2 π V_{n - 2} \frac{1}{n} = \frac{2 π}{n} V_{n - 2} . \end{matrix}

Coordenades esfèriques

Plantilla:AP

Podem definir un sistema de coordenades en un espai euclidià n-dimensional que és anàleg al sistema de coordenades esfèriques definit per a l'espai euclidià tridimensional, en el qual les coordenades consisteixen en una coordenada radial r, i n - 1 coordenades angulars φ1, φ₂, ... φ_n−1, on els angles φ₁, φ₂, ... φ_n−2 oscil·len per sobre de [0,π] radians (o per sobre de [0,180] graus) i φ_n−1 per sobre de [0,2π) radians (o més de ^[0,360) graus). Si ^xi són les coordenades cartesianes, llavors podem calcular ^{x1, ... xn} a partir de r, φ₁, ... φ_n−1 amb:Plantilla:Sfn

\begin{matrix} x_{1} & = r \cos (φ_{1}) \\ x_{2} & = r \sin (φ_{1}) \cos (φ_{2}) \\ x_{3} & = r \sin (φ_{1}) \sin (φ_{2}) \cos (φ_{3}) \\ ⋮ \\ x_{n - 1} & = r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \cos (φ_{n - 1}) \\ x_{n} & = r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \sin (φ_{n - 1}) . \end{matrix}

Excepte en els casos especials descrits a continuació, la transformació inversa és única:

\begin{matrix} r & = \sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + \dots + {x_{2}}^{2} + {x_{1}}^{2}} \\ φ_{1} & = arccot \frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + \dots + {x_{2}}^{2}}} & = \arccos \frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + \dots + {x_{1}}^{2}}} \\ φ_{2} & = arccot \frac{x_{2}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + \dots + {x_{3}}^{2}}} & = \arccos \frac{x_{2}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + \dots + {x_{2}}^{2}}} \\ ⋮ & ⋮ \\ φ_{n - 2} & = arccot \frac{x_{n - 2}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2}}} & = \arccos \frac{x_{n - 2}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2} + {x_{n - 2}}^{2}}} \\ φ_{n - 1} & = 2 arccot \frac{x_{n - 1} + \sqrt{x_{n}^{2} + x_{n - 1}^{2}}}{x_{n}} & = {\begin{matrix} \arccos \frac{x_{n - 1}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2}}} & x_{n} \geq 0, \\ 2 π - \arccos \frac{x_{n - 1}}{\sqrt{{x_{n}}^{2} + {x_{n - 1}}^{2}}} & x_{n} < 0 . \end{matrix} \end{matrix}

on si x_k ≠ 0 per a alguns k però tots x_k+1, ... x_n són zero, aleshores φ_k = 0 quan x_k > 0, i φ_k = π (180 graus) quan x_k < 0.

Hi ha alguns casos especials en què la transformada inversa no és única; φ_k per a qualsevol k serà ambigu sempre que tots x_k, x_k+1, ... x_n siguin zero; en aquest cas es pot triar que φ_k sigui zero.

Elements de volum i àrea esfèrics

Per expressar l'element de volum de l'espai euclidià n-dimensional en termes de coordenades esfèriques, primer s'ha d'observar que la matriu jacobiana de la transformació és:

J_{n} = (\begin{matrix} \cos (φ_{1}) & - r \sin (φ_{1}) & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \sin (φ_{1}) \cos (φ_{2}) & r \cos (φ_{1}) \cos (φ_{2}) & - r \sin (φ_{1}) \sin (φ_{2}) & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 \\ \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \cos (φ_{n - 1}) & \dots & \dots & - r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \sin (φ_{n - 1}) \\ \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \sin (φ_{n - 1}) & r \cos (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 1}) & \dots & r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \cos (φ_{n - 1}) \end{matrix}) .

El determinant d'aquesta matriu es pot calcular per inducció. Quan n = 2, un càlcul senzill mostra que el determinant és r. Per a n més gran, s'ha d'observar que Jn es pot construir a partir de Jn − 1 de la següent manera. Excepte a la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la fila n − 1 de Jn − 1, però multiplicades per un factor addicional de cos φ_{n − 1} a la fila n − 1 i un factor addicional de sin φ_{n − 1} a la fila n. A la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la columna n − 1 de la fila n − 1 de J_{n − 1}, però multiplicades per factors addicionals de sin φ_{n − 1} a la fila n − 1 i cos φ_{n − 1} a la fila n, respectivament. El determinant de J_n es pot calcular mitjançant l'expansió de Laplace a la columna final. Per la descripció recursiva de J_n, la submatriu formada eliminant l'entrada a (n − 1, n) i la seva fila i columna gairebé és igual a J_{n − 1}, excepte que la seva darrera fila es multiplica per sin φ_{n − 1}. De la mateixa manera, la submatriu format suprimint l'entrada a (n, n) i la seva fila i columna són gairebé iguals a J_{n - 1}, excepte que la seva última fila es multiplica per cos φ_{n − 1}. Per tant, el determinant de J_n és

\begin{matrix} | J_{n} | & = (- 1)^{(n - 1) + n} (- r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \sin (φ_{n - 1})) (\sin (φ_{n - 1}) | J_{n - 1} |) \\ + (- 1)^{n + n} (r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) \cos (φ_{n - 1})) (\cos (φ_{n - 1}) | J_{n - 1} |) \\ = (r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2}) | J_{n - 1} | (\sin^{2} (φ_{n - 1}) + \cos^{2} (φ_{n - 1})) \\ = (r \sin (φ_{1}) \dots \sin (φ_{n - 2})) | J_{n - 1} | . \end{matrix}

Aleshores, la inducció dóna una expressió de forma tancada per a l'element de volum en coordenades esfèriques

\begin{matrix} d^{n} V & = | \det \frac{\partial (x_{i})}{\partial (r, φ_{j})} | d r d φ_{1} d φ_{2} \dots d φ_{n - 1} \\ = r^{n - 1} \sin^{n - 2} (φ_{1}) \sin^{n - 3} (φ_{2}) \dots \sin (φ_{n - 2}) d r d φ_{1} d φ_{2} \dots d φ_{n - 1} . \end{matrix}

La fórmula del volum de la n-bola es pot derivar d'això per integració.

De la mateixa manera, l'element de superfície de la (n - 1)-esfera de radi R, que generalitza l'element d'àrea de la 2-esfera, ve donat per

d_{S^{n - 1}} V = R^{n - 1} \sin^{n - 2} (φ_{1}) \sin^{n - 3} (φ_{2}) \dots \sin (φ_{n - 2}) d φ_{1} d φ_{2} \dots d φ_{n - 1} .

L'elecció natural d'una base ortogonal sobre les coordenades angulars és un producte de polinomis ultraesfèrics,

\begin{matrix} \int_{0}^{π} \sin^{n - j - 1} (φ_{j}) C_{s}^{(\frac{n - j - 1}{2})} \cos (φ_{j}) C_{s^{'}}^{(\frac{n - j - 1}{2})} \cos (φ_{j}) d φ_{j} \\ = \frac{2^{3 - n + j} π Γ (s + n - j - 1)}{s! (2 s + n - j - 1) Γ^{2} (\frac{n - j - 1}{2})} δ_{s, s^{'}} \end{matrix}

per a Plantilla:Math, i Plantilla:Math per a l'angle Plantilla:Math d'acord amb els harmònics esfèrics.

Coordenades poliesfèriques

El sistema de coordenades esfèriques estàndard sorgeix d'escriure ℝⁿ com el producte ℝ × ℝ^{n − 1}. Aquests dos factors poden estar relacionats mitjançant coordenades polars. Per a cada punt x de ℝⁿ, les coordenades cartesianes estàndard

𝐱 = (x_{1}, \dots, x_{n}) = (y_{1}, z_{1}, \dots, z_{n - 1}) = (y_{1}, 𝐳)

es poden transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes:

𝐱 = (r \sin θ, (r \cos θ) \hat{𝐳}) .

Això diu que els punts en ℝⁿ es poden expressar agafant el raig que comença a l'origen i passa per $\hat{𝐳} = 𝐳 / ‖ 𝐳 ‖ \in S^{n - 2}$ , girant-lo cap a $(1, 0, \dots, 0)$ per $θ = \arcsin y_{1} / r$ , i recorrent una distància $r = ‖ 𝐱 ‖$ al llarg del raig. La repetició d'aquesta descomposició condueix finalment al sistema de coordenades esfèriques estàndard.

Els sistemes de coordenades polisfèriques sorgeixen d'una generalització d'aquesta construcció.Plantilla:Sfn L'espai ℝⁿ es divideix com el producte de dos espais euclidians de dimensió més petita, però cap dels dos espais és necessari per ser una línia. Concretament, suposem que p i q són nombres enters positius tals que n = p + q. Aleshores ℝⁿ = ℝ^p × ℝ^q. Utilitzant aquesta descomposició, un punt x ∈ ℝⁿ es pot escriure com

𝐱 = (x_{1}, \dots, x_{n}) = (y_{1}, \dots, y_{p}, z_{1}, \dots, z_{q}) = (𝐲, 𝐳) .

Això es pot transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes escrivint:

𝐱 = ((r \sin θ) \hat{𝐲}, (r \cos θ) \hat{𝐳}) .

Aquí $\hat{𝐲}$ i $\hat{𝐳}$ són els vectors unitaris associats a y i z. Això expressa x en termes de $\hat{𝐲} \in S^{p - 1}$ i $\hat{𝐳} \in S^{q - 1}$ , r ≥ 0 i un angle θ. Es pot demostrar que el domini de θ és [0, 2π) si p = q = 1, [0, π] si exactament un de p i q és 1, i [0, π/2] si ni p ni q són 1. La transformació inversa és

\begin{matrix} r & = ‖ 𝐱 ‖, \\ θ & = \arcsin (‖ 𝐲 ‖ / ‖ 𝐱 ‖) \\ = \arccos (‖ 𝐳 ‖ / ‖ 𝐱 ‖) \\ = \arctan (‖ 𝐲 ‖ / ‖ 𝐳 ‖) . \end{matrix}

Aquestes divisions es poden repetir sempre que un dels factors implicats tingui una dimensió de dos o més. Un sistema de coordenades poliesfèriques és el resultat de repetir aquestes divisions fins que no queden coordenades cartesianes. Les divisions posteriors a la primera no requereixen una coordenada radial perquè els dominis de $\hat{𝐲}$ i $\hat{𝐳}$ són esferes, de manera que les coordenades d'un sistema de coordenades poliesfèriques són un radi no negatiu i n − 1 angles. Els possibles sistemes de coordenades poliesfèriques corresponen a arbres binaris amb n fulles. Cada node no-fulla de l'arbre correspon a una divisió i determina una coordenada angular. Per exemple, l'arrel de l'arbre representa ℝⁿ, i els seus fills immediats representen la primera divisió en ℝ^p i ℝ^q. Els nodes de fulla corresponen a coordenades cartesianes per a S^{n − 1}. Les fórmules per convertir de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes es poden determinar trobant els camins des de l'arrel fins als nodes de la fulla. Aquestes fórmules són productes amb un factor per a cada branca presa pel camí. Per a un node la coordenada angular corresponent del qual és θ_i, prenent la branca esquerra introdueix un factor de sin θ_i i prenent la branca dreta introdueix un factor de cos θ_i. La transformació inversa, de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes, es determina agrupant nodes. Cada parell de nodes que tingui un pare comú es pot convertir d'un sistema de coordenades polar-cartesià mixt a un sistema de coordenades cartesianes utilitzant les fórmules anteriors per a una divisió.

Les coordenades polisfèriques també tenen una interpretació en termes del grup ortogonal especial. Una escissió Plantilla:Math determina un subgrup

{SO}_{p} (ℝ) \times {SO}_{q} (ℝ) \subseteq {SO}_{n} (ℝ) .

Aquest és el subgrup que surt de cadascun dels dos factors $S^{p - 1} \times S^{q - 1} \subseteq S^{n - 1}$ fixat. Escollir un conjunt de representants de classes per al quocient és el mateix que triar angles representatius per a aquest pas de la descomposició de coordenades poliesfèriques.

En coordenades poliesfèriques, la mesura del volum a ℝⁿ i la mesura de l'àrea a S^{n − 1} són productes. Hi ha un factor per a cada angle, i la mesura del volum a ℝⁿ també té un factor per a la coordenada radial. La mesura d'àrea té la forma:

d A_{n - 1} = \prod_{i = 1}^{n - 1} F_{i} (θ_{i}) d θ_{i},

on els factors F_i estan determinats per l'arbre. De la mateixa manera, la mesura del volum és

d V_{n} = r^{n - 1} d r \prod_{i = 1}^{n - 1} F_{i} (θ_{i}) d θ_{i} .

Suposem que tenim un node de l'arbre que correspon a la descomposició Plantilla:Math i que té la coordenada angular θ. El factor F corresponent depèn dels valors de n₁ i n₂. Quan la mesura de l'àrea es normalitza de manera que l'àrea de l'esfera sigui 1, aquests factors són els següents. Si Plantilla:Math, llavors

F (θ) = \frac{d θ}{2 π} .

Si Plantilla:Math i Plantilla:Math, i si Plantilla:Math denota la funció beta, doncs

F (θ) = \frac{\sin^{n_{1} - 1} θ}{B (\frac{n_{1}}{2}, \frac{1}{2})} d θ .

Si Plantilla:Math i Plantilla:Math, llavors

F (θ) = \frac{\cos^{n_{2} - 1} θ}{B (\frac{1}{2}, \frac{n_{2}}{2})} d θ .

Finalment, si tant n₁ com n₂ són més grans que 1, aleshores

F (θ) = \frac{(\sin^{n_{1} - 1} θ) (\cos^{n_{2} - 1} θ)}{\frac{1}{2} B (\frac{n_{1}}{2}, \frac{n_{2}}{2})} d θ .

Projecció estereogràfica

Plantilla:AP De la mateixa manera que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensions es pot mapejar a un pla bidimensional mitjançant una projecció estereogràfica, una n-esfera es pot mapejar a un hiperpla n-dimensional mitjançant la versió n-dimensional de la projecció estereogràfica. Per exemple, el punt [x,y,z] d'una esfera bidimensional de radi 1 s'assigna al punt Plantilla:Math al pla xy. En altres paraules,

[x, y, z] \mapsto [\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z}] .

De la mateixa manera, la projecció estereogràfica d'una n-esfera Sⁿ de radi 1 s'aplicarà a l'hiperpla (n-1)-dimensional Plantilla:Math perpendicular a l'eix x_n com

[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] \mapsto [\frac{x_{1}}{1 - x_{n}}, \frac{x_{2}}{1 - x_{n}}, \dots, \frac{x_{n - 1}}{1 - x_{n}}] .

Generadors de punts aleatoris

Uniformement a l'atzar a la (n-1)-esfera

Un conjunt de punts uniformement distribuïts a la superfície d'una 2-esfera unitat generats mitjançant l'algorisme de Marsaglia

Per generar punts aleatoris uniformement distribuïts a la (n - 1)-esfera unitat (és a dir, la superfície de la n-bola unitat), Plantilla:Harvtxt dóna el següent algorisme:

S'ha de generar un vector n-dimensional de desviacions normals (n'hi ha prou amb utilitzar N(0, 1), encara que de fet l'elecció de la variància és arbitrària), x = (x₁, x₂,... x_n). Desprès s'ha de calcular el «radi» d'aquest punt:

r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} .

Plantilla:Math es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat.

Una alternativa donada per Marsaglia és seleccionar uniformement aleatòriament un punt x = (x₁, x₂,... x_n) al n-cub unitat mostrant cada x_i independentment de la distribució uniforme sobre (–1,1), calculant r com anterior, i rebutjant el punt i tornant a mostrejar si r ≥ 1 (és a dir, si el punt no es troba a la n-bola), i quan s'obté un punt de la bola escalant-lo fins a la superfície esfèrica pel factor Plantilla:Math; després de nou Plantilla:Math es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat. Aquest mètode esdevé molt ineficient per a dimensions més altes, ja que una fracció molt petita del cub unitat està continguda a l'esfera. En 10-dimensió, l'esfera omple menys del 2% del cub, de manera que normalment es necessitaran més de 50 intents. En 70-dimensió, menys que 10^-24 del cub s'omple, el que significa que normalment es necessitaran un bilió de quadrilions de proves, molt més del que un ordinador podria fer mai.

Uniformement a l'atzar dins de la n-bola

Amb un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la superfície de la (n - 1)-esfera unitat (per exemple, utilitzant l'algorisme de Marsaglia), només cal un radi per obtenir un punt uniformement a l'atzar des de la n-bola unitat. Si u és un nombre generat uniformement a l'atzar a partir de l'interval [0, 1] i x és un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la (n-1)-esfera unitat, aleshores u^1⁄nx es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat.

Alternativament, els punts es poden mostrejar uniformement des de la n-bola unitat mitjançant una reducció de la (n + 1)-esfera unitat. En particular, si (x₁,x₂,...,x_n+2) és un punt seleccionat uniformement de la (n + 1)-esfera unitat, aleshores (x₁,x₂,...,x_n) es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat (és a dir, simplement descartant dues coordenades).Plantilla:Sfn

Si n és prou gran, la major part del volum de la n-bola estarà contingut a la regió molt propera a la seva superfície, de manera que un punt seleccionat d'aquest volum també estarà a prop de la superfície. Aquest és un dels fenòmens que condueixen a l'anomenada maledicció de la dimensionalitat que sorgeix en algunes aplicacions numèriques i altres.

Esferes específiques

Projecció en 2D d'una projecció en 3D d'una hiperesfera 4D

0-esfera: El parell de punts {±R} amb la topologia discreta per a alguns R > 0. L'única esfera que no està connectada per camí. Paral·lelitzable.
1-esfera: Comunament anomenat cercle. Té un grup fonamental no trivial. Estructura del grup abelià Lie U(1) (el grup circular). Homeomorf a la línia projectiva real.
2-esfera: Normalment s'anomena simplement esfera. Per a la seva complexa estructura, vegeu Esfera de Riemann. Equivalent a la línia projectiva complexa.
3-esfera: Paral·lelitzable, U(1)-fibrat principal sobre la 2-esfera, estructura de grup de Lie Sp(1).
4-esfera: Equivalent a la línia projectiva quaterniònica, HP1. SO(5)/SO(4).
5-esfera: U(1)-fibrat principal sobre CP². SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). És indecidible si una varietat n-dimensional donada és homeomòrfica a Sⁿ per a n ≥ 5.Plantilla:Sfn
6-esfera: Posseeix una estructura gairebé complexa procedent del conjunt d'octonions unitats pures. SO(7)/SO(6) = G2/SU(3). La qüestió de si té una estructura complexa es coneix com el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf.Plantilla:Sfn
7-esfera: Estructura de quasigrup topològic com el conjunt d'octonions unitats. Sp(1)-fibrat principal sobre S⁴. Paral·lelitzable. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). La 7-esfera té un interès particular, ja que va ser en aquesta dimensió on es van descobrir les primeres esferes exòtiques.
8-esfera: Equivalent a la línia projectiva octoniònica OP¹.
23-esfera: És possible un empaquetament d'esferes altament dens a l'espai de 24-dimensions, que està relacionat amb les qualitats úniques de la xarxa de Leech.

Esfera octaèdrica

La n-esfera octaèdrica es defineix de manera similar a la n-esfera, però utilitzant la norma $ℓ_{1}$

S^{n} = {x \in ℝ^{n + 1} : {‖ x ‖}_{1} = 1}

En general, pren la forma d'un polítop creuat.

La 1-esfera octaèdrica és un quadrat (sense el seu interior).
La 2-esfera octaèdrica és un octaedre regular; d'aquí el nom.
La n-esfera octaèdrica és la unió topològica de n + 1 parells de punts aïllats.Plantilla:Sfn Intuïtivament, la unió topològica de dos parells es genera dibuixant un segment entre cada punt d'un parell i cada punt de l'altre parell; això dóna un quadrat. Per unir-ho amb un tercer parell, es dibuixa un segment entre cada punt del quadrat i cada punt del tercer parell; això dóna un octaedre.

Notes

↑ La dimensió de la n-esfera és n i no s'ha de confondre amb la (n+1)- dimensió de l'espai euclidià en què està incrustada de manera natural. Una n-esfera és la superfície o el límit d'una bola de (n+1)-dimensions.

Referències

Plantilla:Referències

Bibliografia

Plantilla:Div col

Plantilla:Div col end

Vegeu també

Plantilla:Commonscat

Geometria conforme – Estudi de transformacions conservadores d'angles d'un espai geomètric.
Esfera exòtica – Varietat llisa que és homeomòrfica però no diferent a una esfera.
Esfera d'homologia – Varietat topològica l'homologia de la qual coincideix amb la d'una esfera.
Grups d'homotopia d'esferes – Com es poden envoltar esferes de diverses dimensions.
Inversió geomètrica – Estudi de transformacions conservadores d'angles.
Transformació de Möbius – Funció racional de la forma (az + b)/(cz + d).

Plantilla:Dimensions Plantilla:Autoritat

[1] La dimensió de la n-esfera és n i no s'ha de confondre amb la (n+1)- dimensió de l'espai euclidià en què està incrustada de manera natural. Una n-esfera és la superfície o el límit d'una bola de (n+1)-dimensions.

[Nota 1]

N-esfera: diferència entre les revisions

Revisió de 16:12, 30 des 2024

Contingut