Integral d'Euler

En matemàtiques hi ha dues funcions especials conegudes com a integrals d'Euler:

1. la integral d'Euler de primera espècie: la funció beta d'Euler.
   $\mathrm{\beta }(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$.
2. la integral d'Euler de segona espècie: la funció gamma d'Euler.
   $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$.

A través del teorema de Fubini es demostra una relació important que uneix les dues funcions i permet expressar la funció beta respecte a la funció gamma, mostrant també de manera immediata la simetria de beta.

$\beta (x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\cdot \mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$.

La funció gamma és una extensió del factorial dels nombres reals i dels nombres complexos; per aquest motiu, les dues funcions assumeixen una expressió més simple en el domini dels nombres naturals ($m,n\in \mathbb{N}$):

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

$\mathrm{\beta }(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}=\frac{n+m}{nm(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})}$.

Vegeu també

• Integral de Gauss
• Integral de Fresnel
• Aproximació de Stirling