Base ortogonal

En matemàtiques, en particular en àlgebra lineal, una base ortogonal d'un espai vectorial V amb producte escalar és una base de Plantilla:Mvar els vectors de la qual són ortogonals 2 a 2. Si els vectors d'una base ortogonal són normalitzats, es diu que és base ortonormal.

Qualsevol base ortogonal es pot utilitzar per definir un sistema de coordenades ortogonals. Les bases ortogonals (no necessàriament ortonormals) són importants a causa del seu aspecte de coordenades ortogonals curvilínies en espais Euclidians, així com en varietats Riemannianes i pseudo-Riemannianes.

Definició ampliada

Ortogonalitat

Siguin $e_1$ i $e_2$ dos vectors d'un espai prehilbertià $X$ (un espai vectorial amb producte interior). Aquests vectors són ortogonals entre sí si el seu producte interior és nul:$$e_1\perp e_2⟺⟨e_1,e_2⟩=0$$

Base ortogonal

Un conjunt $\{e_i\}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ de vectors de $X$ és una base ortogonal de $X$ si els vectors $e_1,\dots ,e_n$ són ortogonals entre sí dos a dos,

$$⟨e_i,e_j⟩=0\text{per a}i\ne j$$

i qualsevol vector $x\in X$ es pot escriure com a combinació lineal de $e_1,\dots ,e_n$:

$$x=\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i=c_1{e}_1+\dots +c_n{e}_n$$on $c_1,\dots ,c_n$ són constants.

Base ortonormal

Una base ortonormal de $X$ és una base ortogonal $\{e_i\}$ de $X$ que està formada per vectors, tals que la seva norma és igual a la unitat, $||e_i||=1$, és a dir:

$$⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}& 0\text{per a}i\ne j\\ & 1\text{per a}i=j\end{array}$$

Bibliografia

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, Plantilla:ISBN.
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Orthogonal basis. Encyclopedia of Mathematics.