Anell de conjunts

Plantilla:Distinguish En matemàtiques, hi ha dures nocions diferents per a un anell de conjunts. Ambdós fan referència a un cert tipus de famílies de conjunts.

En teoria de l'ordre, s'anomena anell (de conjunts) a una família de conjunts no buida $ℛ$ si és tancada sota la unió i la intersecció. És a dir, les següents dues afirmacions es compleixen per tots dos conjunts $A$ i $B$,

1. $A,B\in ℛ$ implica $A\cup B\in ℛ$ i
2. $A,B\in ℛ$ implica $A\cap B\in ℛ.$

En teoria de la mesura, una família de conjunts no buida $ℛ$ rep el nom d'anell (de conjunts) si és tancada sota la unió i sota el complementari relatiu (la diferència en teoria de conjunts). És a dir, les següents dues afirmacions són certes per tots dos conjunts $A$ i $B$ dins de $ℛ$,

1. $A,B\in ℛ$ implica $A\cup B\in ℛ$ i
2. $A,B\in ℛ$ implica $A\setminus B\in ℛ.$

Això implica que un anell en el sentit de la teoria de mesura sempre conté el conjunt buit. A més, per tots conjunts Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar,

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B),$

que demostra que una família de conjunts tancada sota el complementari relatiu és també tancada sota la intersecció, i que per tant tot anell segons la definició de teoria de la mesura ho és també segons la definició de la teoria de l'ordre.

Exemples

Sigui Plantilla:Mvar qualsevol conjunt, llavors el conjunt de les parts de Plantilla:Mvar (la família de tots els subconjunts de Plantilla:Mvar) forma un anell de conjunts en tots dos sentits.

Si Plantilla:Math és un conjunt parcialment ordenat, llavors les seves seccions finals (els subconjunts de Plantilla:Mvar amb la propietat adicional que si Plantilla:Mvar pertany a una secció final U i Plantilla:Math, llavors Plantilla:Mvar també ha de pertànyer a Plantilla:Mvar) són tancades tant sota interseccions com sota unions. Tanmateix, en general no serà tancat sota diferència de conjunts.

Els conjunts oberts i conjunts tancats de tot espai topològic són tancats tant sota la unió com sota la intersecció.

En la recta real Plantilla:Math, la família de conjunts que consisteix en el conjunt buit i totes les unions finites d'intervals semioberts de la forma (a, b], amb Plantilla:Math és un anell en el sentit de la teoria de la mesura.

Si Plantilla:Mvar és tota transformació definida en un espai, llavors els conjunts que són la seva pròpia imatge respecte Plantilla:Mvar són tancats tant sota la unió com sota la intesecció.

Si dos anells de conjunts són definits tots dos sobre els mateixos elements, llavors els conjunts que pertanyen a tots dos anells de formen un anell de conjunts nou.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• σ-àlgebra

Enllaços externs

• Anell de conjunts a l'Enciclopèdia de Matemàtiques Plantilla:En