Aplicació lineal

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions

Sigui $f:𝐄\to 𝐅$ una aplicació on $𝐄$ i $𝐅$ són dos $𝕂$-espais vectorials. Plantilla:Definició

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats

Si $f:𝐄\to 𝐅$ és una aplicació lineal, $\mathrm{\forall }x,y\in 𝐄$, i $\mathrm{\forall }a,b\in 𝕂$ es compleix:

• $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$
• $f\left(\sum _{i=1}^m{a}_i{x}_i\right)=\sum _{i=1}^m{a}_{i}f(x_i)$
• $f(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}$
• $f(-x)=-f(x)$
• Si $g:𝐅\to 𝐆$ també és una aplicació lineal, aleshores:$g\circ f:𝐄\to 𝐆$, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge

Sigui $f:𝐄\to 𝐅$

• S'anomenarà nucli de $f$ al subespai vectorial de $𝐄$

$\mathrm{Nuc}f=\{x\in 𝐄|f(x)=0\}$

• S'anomenarà imatge de $f$ al subespai vectorial de $𝐅$

$\mathrm{Im}f=\{y\in 𝐅|\mathrm{\exists }x\in 𝐄,y=f(x)\}$

Teorema del rang

$\dim (\mathrm{Nuc}f)+\dim (\mathrm{Im}f)=\dim (𝐄)$

Teorema d'isomorfisme

$\mathrm{Im}f\cong 𝐄/\mathrm{Nuc}f$

Matriu associada a una aplicació lineal

Siguin $𝐄$ i $𝐅$ dos espais vectorials de dimensió finita, $\{u_1,\dots ,u_n\}$ i $\{v_1,\dots ,v_m\}$ les seves respectives bases i $f:𝐄\to 𝐅$ una aplicació lineal, $f$ queda definida si es coneixen les coordenades de $f(u_1),\dots ,f(u_n)$ en la base de $𝐅$:

$f(u_i)=\sum _{j=1}^m{\lambda }_i^j{v}_j,i=1,\dots ,n$

$A$ S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal $f$ en les bases $\{u_1,\dots ,u_n\}$ i $\{v_1,\dots ,v_m\}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^1& \cdots & {\lambda }_n^1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_1^m& \cdots & {\lambda }_n^m\end{array}\right)$

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

$w\in 𝐄=\sum _{i=1}^n{w}_i{u}_i$

$f(w)\in F=f(\sum _{i=1}^n{w}_i{u}_i)=\sum _{i=1}^n{w}_i(\sum _{j=1}^m{\lambda }_i^j{v}_j)=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^j{w}_i)v_j$

Les coordenades de $f(w)$ en la base $\{v_1,\dots ,v_m\}$ de $𝐅$ són:

$\overline{w_j}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^j{w}_i,i=1,\dots ,m$

$\Rightarrow \overline{w}=A\cdot w$

Composició d'aplicacions lineals

Donades dues aplicacions lineals $f:𝐄\to 𝐅$ i $g:𝐅\to 𝐆$ (on $\{u_1,\dots ,u_n\}$, $\{v_1,\dots ,v_m\}$ i $\{w_1,\dots ,w_s\}$ són les bases de $𝐄$, $𝐅$ i $𝐆$) amb $A$ i $B$ com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu $C=B\cdot A$ és la matriu associada a l'aplicació $g\circ f$

Demostració

$\begin{array}{c}f(u_i)=\sum _{j=1}^m{a}_i^j{v}_j\\ g(v_j)=\sum _{k=1}^s{b}_j^k{w}_k\end{array}\}\Rightarrow g\circ f(u_i)=g(f(u_i))=g(\sum _{j=1}^m{a}_i^j{v}_j)=\sum _{j=1}^m{a}_i^{j}g(v_j)=\sum _{j=1}^m{a}_i^j(\sum _{k=1}^s{b}_j^k{w}_k)=\sum _{k=1}^s(\sum _{j=1}^m{a}_i^j{b}_j^k)w_k\Rightarrow$

$C_i^k=\sum _{j=1}^m{a}_i^j{b}_j^k$

$(C=B\cdot A)$

Canvi de base

Sigui $f:𝐄\to 𝐅$ una aplicació lineal amb la matriu $A$ respecte a les bases $\{u_1,\dots ,u_n\}$ i $\{v_1,\dots ,v_m\}$ de $𝐄$ i $𝐅$ i la matriu $B$ respecte a les bases $\{{u_1}^{\prime },\dots ,{u_n}^{\prime }\}$ i $\{{v_1}^{\prime },\dots ,{v_m}^{\prime }\}$ es pot escriure $\text{f}$ com la següent composició

$B=Q\cdot A\cdot P$

on $P$ és la matriu del canvi de base de $\{{u_i}^{\prime }\}$ a $\{u_i\}$ i $Q$ és la matriu del canvi de base de $\{v_j\}$ a $\{{v_j}^{\prime }\}$.

L'espai dual

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de $𝐄$ a $ℝ$.

$𝐄\to ℝ$

Les aplicacions lineals a $ℝ$ s'anomenen formes, i a l'espai $ℒ(𝐄,ℝ)={𝐄}^{\mathbf{*}}$ se l'anomena espai dual de $𝐄$, on $ℒ(𝐄,ℝ)$ és el conjunt de totes les aplicacions lineals de $𝐄$ a $ℝ$.

${𝐄}^{\mathbf{*}}$ és un espai vectorial de la mateixa dimenió que $𝐄$ (si $𝐄$ té dimensió finita):

$\dim ℒ(𝐄,ℝ)=\dim 𝐄\cdot \underset{\text{1}}{\underbrace{\dim ℝ}}=\dim 𝐄$

$\Rightarrow \dim {𝐄}^{\mathbf{*}}=\dim 𝐄$

Donada una base de $𝐄=\{u_1,...,u_n\}$, les aplicacions:

${u_i}^{\prime }:$	$𝐄\to ℝ$
	$u_j\mapsto 0$	$\text{si }j\ne i$
	$u_j\mapsto 1$	$\text{si }j=i$

$u_i^{\text{'}}(u_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ccc}1& \text{si}& i=j\\ 0& \text{si}& i\ne j\end{array}$

On ${u_i}^{\prime }$ és l'aplicació, $u_j$ és l'element i ${\delta }_{ij}$ és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions $\{{u_i}^{\prime }\}(i=1,...,n)$ formen una base de ${𝐄}^{*}$ que s'anomena base dual de $\{u_1,...,u_n\}$.

Observació

Suposem que $\{u_1,...,u_n\}$ i $\{v_1,...,v_n\}$ són bases diferents de $𝐄$ amb algun vector en comú (suposem que $u_1=v_1$), aleshores, en les dues bases duals $\{{u_1}^{\prime },...,{u_n}^{\prime }\}$ i $\{{v_1}^{\prime },...,{v_n}^{\prime }\}$, ${u_1}^{\prime }$ i ${v_1}^{\prime }$ no tenen per què ser iguals.

Proposició

Sigui $\{u_1,...,u_n\}$ una base de $𝐄$ i $\{{u_1}^{\prime },...,{u_n}^{\prime }\}$ la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol $\omega \in {𝐄}^{*}$ en la base $\{{u_1}^{\prime },...,{u_n}^{\prime }\}$ són $(\omega (u_1),...,\omega (u_n))$.

$\omega :$	$𝐄\to ℝ$
	$u_1\mapsto \omega (u_1)$
	$u_j\mapsto \omega (u_2)$
	$⋮$
	$u_n\mapsto \omega (u_n)$

$\omega ={\alpha }_1{u_1}^{\prime }+,,,+{\alpha }_n{u_n}^{\prime }{\alpha }_i=\omega (u_i)i=1,...,n$

$\Rightarrow \omega =\omega (u_1)\cdot {u_1}^{\prime }+...+\omega (u_n)\cdot {u_n}^{\prime }$

$\omega =\sum _{i=1}^n\omega (u_i)\cdot {u_i}^{\prime }$

Demostració

Per tot vector $u_k$ de la base de $𝐄$ tenim: $(\sum _{i=1}^n\omega (u_i)\cdot {u_i}^{\prime })(u_k)=\sum _{i=1}^n\omega (u_i)\cdot {u_i}^{\prime }(u_k)=\omega (u_1)\cdot \underset{\text{0}}{\underbrace{{u_1}^{\prime }(u_k)}}+...+\omega (u_k)\cdot \underset{\text{1}}{\underbrace{{u_k}^{\prime }(u_k)}}+...+\omega (u_n)\cdot \underset{\text{0}}{\underbrace{{u_n}^{\prime }(u_k)}}=\omega (u_k)$

$\Rightarrow \omega =\sum _{i=1}^n\omega (u_i)\cdot {u_i}^{\prime }$

Aplicacions duals

Fixada una aplicació lineal $f:𝐄\to 𝐅$ i ${𝐅}^{*}=ℒ(𝐅,ℝ)$, al compondre un element $\omega \in {𝐅}^{*}$ amb $f$, obtenim un element $\omega \circ f\in {𝐄}^{*}$:

Per tant, existeix una aplicació $f^{\prime }$ que designarem per aplicació dual de $f$:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }:& {𝐅}^{*}\to {𝐄}^{*}\\ & \omega \mapsto \omega \circ f\end{array}$

i té les següents propietats:

• Lineal:

$f^{\prime }(\omega +v)=(\omega +v)\circ f=(\omega \circ f)+(v\circ f)=f^{\prime }(\omega )+f^{\prime }(v)$

$f^{\prime }(\lambda \omega )=(\lambda \omega )\circ f=\lambda (\omega \circ f)=\lambda f^{\prime }(\omega )$

• $(g\circ f{)}^{\prime }=f^{\prime }\circ g^{\prime }$:

$(g\circ f{)}^{\prime }(\omega )=\omega \circ (g\circ f)=(\omega \circ g)\circ f=f^{\prime }(\omega \circ g)=f^{\prime }(g^{\prime }(\omega ))=f^{\prime }\circ g^{\prime }(\omega )$

Relació entre matrius

• $f:𝐄\to 𝐅$ té per matriu associada $A=(a_i^j)$ en les bases $\{u_1,...,u_n\}$ i $\{v_1,...,v_m\}$ de $𝐄$ i $𝐅$ respectivament.
• $f^{\prime }:{𝐅}^{*}\to {𝐄}^{*}$ tindrà una matriu associada $B=(b_i^j)$ en les dues bases duals $\{v_1,...,v_m\}$ i $\{u_1,...,u_n\}$ de ${𝐅}^{*}$ i ${𝐄}^{*}$ respectivament.

Proposició

La matriu de l'aplicació dual $f^{\prime }$ en les bases duals és la matriu transposada de $A$.

$B=(b_i^j)=(a_j^i)=A^t$

Demostració

$b_i^j=(f^{\prime }({v_i}^{\prime }))(u_j)=({v_i}^{\prime }\circ f)(u_j)={v_i}^{\prime }(f(u_j))={v_i}^{\prime }(\sum _{k=1}^m{a}_j^k{v}_k)=\sum _{k=1}^m{a}_j^k{v_i}^{\prime }(v_k)=a_j^1\underset{\text{0}}{\underbrace{{v_i}^{\prime }(v_1)}}+...+a_j^i\underset{\text{1}}{\underbrace{{v_i}^{\prime }(v_i)}}+...+a_j^m\underset{\text{0}}{\underbrace{{v_i}^{\prime }(v_m)}}=a_j^i$ $\Rightarrow b_i^j=a_j^i\Rightarrow B=A^t$

Vegeu també

• funció lineal
• Àlgebra lineal
• Estructura lineal dual
• Forma lineal

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre