Teorema de Wilson

El teorema de Wilson, atribuït a John Wilson (1741-1793), però demostrat per Lagrange el 1771, estableix que, el nombre enter $p$ és primer si, i només si,

$(p-1)!\equiv -1(\text{mod}p)$

això és, si i només si, $(p-1)!+1$ és divisible entre $p$.

---

El teorema de Wilson recull el fet que $p$ és primer si, i només si, l'anell ${\mathbb{Z}}_p$ és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant $1$ com $p-1$ són els únics elements que són inversos de si mateixos, el producte

$(p-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-2)\cdot (p-1)$

conté $\frac{p-3}{2}$ parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,

$(p-1)!=1\cdot (2\cdot 3\cdots (p-2))\cdot (p-1)=1\cdot (1\cdot 1\cdots 1)\cdot (p-1)=p-1\equiv -1(\text{mod}p)$

• Si $p$ no és primer i $p=q\cdot r$ amb, posem, $q<r$, com que $q<r<p$, és clar que, a ${\mathbb{Z}}_p$, s'esdevé que $q\cdot r\equiv 0(\text{mod}p)$ i, per tant, $(p-1)!\equiv 0(\text{mod}p)$.

• Si $p$ no és primer, però és la potència $k$ d'un nombre primer $q$, aleshores, excepte el cas $p=4=2^2$, el nombre de vegades que apareix el factor $q$ a $(p-1)!$ no és inferior a $k$. En conseqüència, també $(p-1)!\equiv 0(\text{mod}p)$.

• $(4-1)!=3!=6\equiv 2\ne -1(\text{mod}4)$