Forma lineal

Sigui V un objecte matemàtic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte K amb estructura aritmètica. Típicament V és un K-mòdul sobre un anell K, o un espai vectorial sobre un cos K. Una forma lineal és una aplicació

$\omega :V⟶K$

de l'objecte V a l'objecte K que compleix el requeriment de linealitat:

$\omega (\lambda x+\mu y)=\lambda \omega (x)+\mu \omega (y),x,y\in V,\lambda ,\mu \in K$

Si V és un espai vectorial, les formes lineals de V se solen anomenar també covectors, en contraposició al nom de "vectors" que hom fa servir per als elements de V.

Notació

Si $\omega$ és una forma lineal i x un element de V, de vegades s'empra la notació $⟨x,\omega ⟩$ per expressar el valor de la forma $\omega$ en l'element x, és a dir, $⟨x,\omega ⟩=\omega (x)$.

Objectes duals

El conjunt $V^{\ast }$ de les formes lineals de l'objecte V a l'objecte K és l'estructura lineal dual de V. Si V és un K-mòdul o un K-espai vectorial, llavors $V^{\ast }$ és, respectivament, el K-mòdul dual o l'espai vectorial dual.

Càlcul

Com que, en tots els casos, una forma lineal no és més que un homomorfisme de V a K, si V és un mòdul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensió finita, hom pot condensar tota la informació sobre una certa forma lineal ω en la matriu d'aquesta aplicació lineal. Si g₁, g₂, ..., g_n són els vectors d'una base de V i prenem { 1_K } com a base de K, la matriu de la forma lineal ω és

$\omega ⟷\left(\begin{array}{cccc}\omega (g_1)& \omega (g_2)& \dots & \omega (g_n)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}⟨g_1,\omega ⟩& ⟨g_2,\omega ⟩& \dots & ⟨g_n,\omega ⟩\end{array}\right)$

d'una fila i n columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials també se solen anomenar vectors fila en contraposició als elements de l'espai que són els vectors columna.

El càlcul del valor de la forma ω en l'element de V donat per les coordenades v = λ₁g₁ + λ₂g₂ + ... + λ_ng_n es fa amb el producte habitual de matrius:

$\omega (v)=⟨v,\omega ⟩=\left(\begin{array}{cccc}\omega (g_1)& \omega (g_2)& \dots & \omega (g_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n⟨g_i,\omega ⟩{\lambda }_i$

és a dir, es correspon amb un polinomi homogeni de grau 1 en n variables.

Vegeu també

• Estructures lineals duals
• Vector fila