Matriu de Sylvester

En algebra lineal, la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester. Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.

Definició

Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n.

p (z) = p_{0} + p_{1} z + p_{2} z^{2} + \dots + p_{m} z^{m}, q (z) = q_{0} + q_{1} z + q_{2} z^{2} + \dots + q_{n} z^{n} .

la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada $(n + m) \times (n + m)$ definida així:

la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:

(\begin{matrix} p_{m} & p_{m - 1} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta
les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació
la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:

(\begin{matrix} q_{n} & q_{n - 1} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

les línies següents es formen per permutacions circulars.

Així en el cas m=4 i n=3, la matriu obtinguda és

S_{p, q} = (\begin{matrix} p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 & 0 \\ 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 \\ 0 & 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix}) .

El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q.

Aplicacions

L'equació Bézout d'incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)

x \cdot p + y \cdot q = 0

Es pot reescrure matricialment

S_{p, q} \cdot (\begin{matrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

en la qual $\tilde{x}$ és el vector de mida $n$ dels coeficients del polinomi x i $\tilde{y}$ el vector de mida $m$ .

Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de Bézout amb $\deg x < \deg q$ i $\deg y < \deg p$ .

El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de $p$ i $q$ .

\deg (m c d (p, q)) = m + n - r a n g S_{p, q}

.

Vegeu també

Resultant

Matriu de Sylvester

Definició

Aplicacions

Vegeu també

Menú de navegació

Cerca