Integració per sèries

En càlcul de primitives la integració per sèries és un mètode emprat per trobar un desenvolupament en sèrie de la funció primitiva d'una funció donada. De vegades el mètode és interessant encara que la funció primitiva es pugui calcular emprant les tècniques habituals perquè permet obtenir identitats matemàtiques interessants.

En el cas d'integrals no elementals la integració per sèries, si és factible, permet obtenir una definició de la funció primitiva i una forma de calcular-la.

Definició

Si la funció $f(x)$ és desenvolupable en sèrie:

$f(x)=\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}{C}_i{x}^i$

I la sèrie és uniformement convergent, llavors la funció $F(x)$ primitiva de $f(x)$ és desenvolupable en sèrie i el seu desenvolupament en sèrie és:

$F(x)=\int f(x)=\int \sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}{C}_i{x}^i=\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}\int C_i{x}^i=\left(\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}\frac{C_i}{i+1}{x}^{i+1}\right)+C$

On $C$ és una constant d'integració.

Aplicació al càlcul d'integrals no elementals

Una integral no elemental és una integral per a la qual es pot demostrar que no existeix cap fórmula en termes de funcions elementals (és a dir polinomis, funcions trigonomètriques, exponencials, logarítmiques i productes i composicions d'aquestes funcions). Tal és el cas de les quatre integrals estudiades per Joseph Liouville: la integral logaritme li(z), la integral sinus si(x), la integrals cosinus ci(x), i la funció error.

Funció integral logaritme

$li\left(z\right)=\int \frac{dz}{\log \left(z\right)}=\int \frac{e^x}{x}dx=\log x+x+\frac{x^2}{2!2}+\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^4}{4!4}+\dots$

Funció integral sinus

$si(x)=\int \frac{\sin (x)}{x}dx=x-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}-\frac{x^7}{7!7}+\dots$

Funció integral cosinus

$ci(x)=\int \frac{\cos (x)}{x}dx=\log x-\frac{x^2}{2!2}+\frac{x^4}{4!4}-\frac{x^6}{6!6}+\dots$

Funció error

La funció error tret d'un factor constant.

$\int e^{-x^2}dx=x-\frac{x^3}{1!3}+\frac{x^5}{2!5}-\frac{x^7}{3!7}+\dots$

Vegeu també

• Funcions elementals
• Integral no elemental
• Algorisme de Risch

Referències

• Enciclopèdia Espasa. Article sobre integració. Capítol I integrals indefinides. Apartat 6 Integració per sèries.