Teorema de la tangent

Fig. 1 - Un triangle.

En trigonometria, el teorema de la tangent és una fórmula que relaciona les longituds dels tres costats d'un triangle i les tangents dels seus angles.

A la Figura 1, a, b, i c són les longituds dels tres costats del triangle, i α, β, i γ són els angles oposats a aquestes tres cares respectivament. El teorema de la tangent estableix que

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Tot i que el teorema de la tangent no és tan conegut com el teorema del sinus o el teorema del cosinus, és exactament igual d'útil, i es pot fer servir en qualsevol dels casos on es coneixen dos costats i un angle o quan es coneixen dos angles i un costat.

Demostració

Per a demostrar el teorema de la tangent es pot començar amb el teorema del sinus:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Anomenant q al resultat d'aquest quocient, es té $a=q\sin \alpha$, $b=q\sin \beta$, per tant

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{q\sin \alpha -q\sin \beta }{q\sin \alpha +q\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Fent servir la fórmula de Simpson

$\sin (x)+\sin (y)=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

amb $x=\alpha$ i $y=\pm \beta$ s'obté

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}=\frac{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}.$

Vegeu també

• Teorema del sinus
• Teorema del cosinus