Conjugat

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex $z$ és el nombre complex format de la mateixa part real que $z$ i de la part imaginària oposada.

Definició

El conjugat d'un nombre complex $z=a+bi$, on a i b són reals, és $\overline{z}=a-bi$.

En el pla complex, el punt d'afix $\overline{z}$ és el simètric del punt d'afix $z$ respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

$\begin{array}{cccc}c:& ℂ& ⟶& ℂ\\ & z& ⟼& \bar{z}\end{array}$

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats

Sia $(z,w)\in {ℂ}^2$.

• $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

• $z+\bar{z}=2\mathrm{\Re }(z)$ (on $\mathrm{\Re }(z)=a$ és la part real de $z$)

• $z-\bar{z}=2i\mathrm{\Im }(z)$ (on $\mathrm{\Im }(z)=b$ és la part imàginaria de $z$)

• z és real si i només si $\overline{z}=z$

• z és imaginari pur si i només si $\overline{z}=-z$

• $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$

• $\overline{zw}=\overline{z}\times \overline{w}$; per consegüent : $\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$ si $n\in \mathbb{N}$

• $z\bar{z}={\left|z\right|}^2$; per consegüent, si $z$ és no nul, $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$

• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ si $w$ és no nul.