Suma de matrius

La suma de matrius és una operació que es defineix per a dues matrius del mateix tipus, és a dir que totes dues tenen el mateix nombre de files i també el mateix nombre de columnes. La suma de dues matrius de tipus (m, n), $A=(a_{ij})$ i $B=(b_{ij})$, que s'escriu A + B, és una nova matriu $(c_{ij})$ de tipus (m, n) que s'obté sumant els elements corresponents de cada matriu, és a dir:

Per a tot i, j, $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

Per exemple:

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right)$

El conjunt de les matrius de tipus (m, n) amb l'operació de la suma formen un grup abelià. La comprovació és evident a causa del fet que els elements són membres d'un grup abelià i la suma de matrius es defineix construint la matriu suma a partir de la suma dels elements.

Aquesta forma de definir la suma de matrius prové de les aplicacions lineals; si A i B són matrius d'aplicacions lineals respecte a una base donada, llavors la matriu de l'aplicació suma expressada en la mateixa base, és la suma de matrius A+B. Per exemple:

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\cdot \left\{\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right\}+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left\{\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right\}& =\left\{\begin{array}{c}1\cdot e_1+2\cdot e_2\\ 3\cdot e_1+1\cdot e_2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}2\cdot e_1+0\cdot e_2\\ 0\cdot e_1+2\cdot e_2\end{array}\right\}\\ & =\left\{\begin{array}{c}(1+2)\cdot e_1+(2+0)\cdot e_2\\ (3+0)\cdot e_1+(1+2)\cdot e_2\end{array}\right\}\\ & =\left(\begin{array}{cc}1+2& 2+0\\ 3+0& 1+2\end{array}\right)\cdot \left\{\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right\}\\ & =(\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right))\cdot \left\{\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right\}\end{array}$

Vegeu també

• Multiplicació de matrius