Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica

Plantilla:Falta verificar admissibilitat En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.

Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica

La mitjana aritmètica d'un conjunt $x_1,x_{,}\cdots ,n\in {ℝ}^{+}$, és igual a la suma dividida pel nombre total d'elements,

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n}{n}$

La mitjana geomètrica d'un conjunt $x_1,x_{,}\cdots ,n\in {ℝ}^{+}$, és igual a l'arrel n-éssima del producte de tots ells.

$\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

La desigualtat

Siga

$x_1,x_{,}\cdots ,n\in {ℝ}^{+}$,

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

Es compleix la igualtat si i només si

$x_1=x_2=\cdots =x_n$

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n}{n}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

O sigui, només són iguals la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica d'un conjunt de nombres positius si tots els nombres són iguals.

Demostració per inducció

Plantilla:Expert Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenvolupara pel mètode d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, després generalitzant-lo per a 2n elements i demostrant que si certa per a n és certa per a n+1 elements.

Siga $x_1,x_{,}\cdots ,n\in {ℝ}^{+}$, un conjunt de n elements,

Procedim a considerar el primer cas en què n=2

$\frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt[2]{x_1{x}_2}$

$\frac{(x_1+x_2{)}^2}{4}\ge x_1{x}_2$

$(x_1+x_2{)}^2\ge 4x_1{x}_2$

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\ge 4x_1{x}_2$

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2\ge 0$

$(x_1-x_2{)}^2\ge 0$

Quedant així demostrat per a n=2, després es demostra que si és certa per a n=2 és certa per a 2n elements.

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_{2n}}{2n}\ge \sqrt[2n]{x_1{x}_2\cdots x_{2n}}$

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots +x_{n+1})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\frac{(x_1+x_2+\cdots +x_{n+1})}{n}\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}$

Seguint la hipòtesi,

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

Se seguix que,

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots +x_{n+1})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\sqrt[n]{(x_1{x}_2\cdots x_{n+1})}\sqrt[n]{(x_{n+1}{x}_{n+2}\cdots x_{2n})}}$

Sent açò igual a,

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_{2n}}{2n}\ge \sqrt[2n]{x_1{x}_2\cdots x_{2n}}$

Quedant així demostrat que si és cert per a 2 elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sea $x_1,x_{,}\cdots ,n-1\in {ℝ}^{+}$ y $\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}$

Es considera la desigualtat de tots els elements esmentats,

$\frac{x_1+x_2+\cdots x_{n-1}+\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_{n-1}\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{(n-1)x_1+(n-1)x_2+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{n{x}_1+n{x}_2+\cdots +n{x}_{n-1}}{(n-1)n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1}{)}^{\frac{n-1}{n}}\ge (x_1{x}_2\cdots x_{n-1}{)}^{\frac{1}{n}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1}{)}^{\frac{n-1}{1}}\ge (x_1{x}_2\cdots x_{n-1})$

Fent arrel (n-1)-èsima se seguix,

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})\ge (x_1{x}_2\cdots x_{n-1}{)}^{\frac{1}{{}^n-1}}$

Quedant així demostrat pel mètode inductiu, la veracitat de la desigualtat MA-MG.

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ Q.E.D.

Vegeu també

• Inequació