Canvi de variables en equacions diferencials en derivades parcials

Sovint una equació diferencial en derivades parcials es pot reduir a una forma més simple amb una solució coneguda per un canvi de variables adequat.

Aquest article tracta del canvi de variable per a EDPs per dos vies:

1. Amb exemples;
2. Donant la teoria del mètode.

Explicació amb exemples

Per exemple, la següent forma simplificada de la EDP de Black–Scholes

$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+S\frac{\partial V}{\partial S}-V=0.$

és reductible l'equació de transferència de la calor

$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

pel canvi de variables:

$V(S,t)=v(x(S),\tau (t))$

$x(S)=\ln (S)$

$\tau (t)=\frac{1}{2}(T-t)$

$v(x,\tau )=\exp (-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$

seguint aquests passos:

• Es canvia $V(S,t)$ per $v(x(S),\tau (t))$ i s'aplica la regla de la cadena obtenint

$\frac{1}{2}(-2v(s,\tau )+2\frac{\partial \tau }{\partial t}\frac{\partial v}{\partial \tau }+S((2\frac{\partial x}{\partial S}+S\frac{{\partial }^{2}x}{\partial S^2})\frac{\partial v}{\partial x}+S{\left(\frac{\partial x}{\partial S}\right)}^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2})=0.$

• Se substitueix $x(S)$ i $\tau (t)$ per $\ln (S)$ i $\frac{1}{2}(T-t)$ per obtenir

$\frac{1}{2}(-2v(\ln (S),\frac{1}{2}(T-t))-\frac{\partial v(\ln (S),\frac{1}{2}(T-t))}{\partial \tau }+\frac{\partial v(\ln (S),\frac{1}{2}(T-t))}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}v(\ln (S),\frac{1}{2}(T-t))}{\partial x}.$

• Se substitueix $\ln (S)$ i $\frac{1}{2}(T-t)$ per $x(S)$ i $\tau (t)$ i es divideixen els dos costats entre $\frac{1}{2}$ per aconseguir

$-2v-\frac{\partial v}{\partial \tau }+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=0.$

• Es substitueix $v(x,\tau )$ per $\exp (-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$ i es divideix a atot arreu entre $-\exp (-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$ per obtrnir l'equació de la calor.

El següent consell sobre l'aplicació del canvi de variable a EDPs el va donar el matemàtic J. Michael Steele:

Tècnica general

Suposeu que es té una funció $u(x,t)$ i un canvi de variables $x_1,x_2$ tal que hi ha funcions $a(x,t),b(x,t)$ tals que

$x_1=a(x,t)$

$x_2=b(x,t)$

i funcions $e(x_1,x_2),f(x_1,x_2)$ tals que

$x=e(x_1,x_2)$

$t=f(x_1,x_2)$

i a més tals que

$x_1=a(e(x_1,x_2),f(x_1,x_2))$

$x_2=b(e(x_1,x_2),f(x_1,x_2))$

i

$x=e(a(x,t),b(x,t))$

$t=f(a(x,t),b(x,t))$

En altres paraules, és útil que hi hagi una funció bijectiva entre el conjunt vell de variables i el nou, o sinó s'ha de:

• Restringir el camp d'aplicabilitat de la correspondència a un suubconjunt del pla real que és suficient per una solució del problema pràctic entre mans (on una altra vegada necessita ser una bijecció), i

• Enumerar els (zero o la llista finita) d'excepcions (pols) on l'altrament bijecció falla (i dir per què aquestes excepcions no restringeixen l'aplicabilitat de la solució de l'equació reduïda a l'equació original)

Si no existeix una bijecció llavors la solució a l'equació de la forma reduïda no serà en general una solució de l'equació original.

S'està estuduant el canvi de variables per a EDPs. Ua EDP es pot expressar com un operador diferencial aplicat a una funció. Suposeu que $ℒ$ sigui un operador diferencial tal que

$ℒu(x,t)=0$

Llavors també és el cas que

$ℒv(x_1,x_2)=0$

on

$v(x_1,x_2)=u(e(x_1,x_2),f(x_1,x_2))$

i s'opera de la manera següent per anar des de $ℒu(x,t)=0$ fins a $ℒv(x_1,x_2)=0:$

• S'aplica la regla de la cadena a $ℒv(x_1(x,t),x_2(x,t))=0$ i s'xpandeix l'equació donada $e_1$.

• Es substitueix per $a(x,t)$ $x_1(x,t)$ i $b(x,t)$ per a $x_2(x,t)$ en $e_1$ i s'expandeix donant l'equació $e_2$.

• Es canvien les ocurrencies de $x$ per $e(x_1,x_2)$ i $t$ per $f(x_1,x_2)$ per produir $ℒv(x_1,x_2)=0$, que estarà lliure de $x$ i $t$.

Coordenades d'acció - angle

Sovint, la teoria pot establir l'existència d'un canvi de variables, encara que la fórmula mateixa no es pot establir explícitament. Per a un sistema hamiltonià integrable de dimensió $n$, amb ${\dot{x}}_i=\partial H/\partial p_j$ i ${\dot{p}}_j=-\partial H/\partial x_j$, existeixen n integrals $I_i$.

Existeix un canvi de variables des de les coordenades $\{x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n\}$ a un conjunt de variables $\{I_1,\dots I_n,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_n\}$, en el qual les equacions del moviment esdevenen ${\dot{I}}_i=0$, a ${\dot{\phi }}_i={\omega }_i(I_1,a\dots ,I_n)$, on les funcions ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ són incògnites, però només depenen de $I_1,\dots ,I_n$. Les variables $I_1,\dots ,I_n$ són les coordenades dacció, les variables ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ són les coordenades angulars. Llavors, el moviment del sistema es pot veure com una rotació en un torus. Com a exemple particular, considereu l'oscil·lador harmònic simple, amb $\dot{x}=2p$ and $\dot{p}=-2x$, amb $H(x,p)=x^2+p^2$ hamiltonià. Aquest sistema es pot reescriure com $\dot{I}=0$, $\dot{\phi }=1$, on $I$ i $\phi$ són les coordenades canòniques polars: $I=p^2+q^2$ i $\tan (\phi )=p/x$. Vegeu V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, per més details.