Equació de Helmholtz

Dues fonts de radiació en el pla, definida matemàticament per la funció ƒ, que és zero a la regió blava

La part real del camp A resultant, on A és la solució a l'equació $({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)A=-f$

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)\varphi =0$

on ${\mathrm{\nabla }}^2$ és el laplacià, $k$ és una constant (nombre d'ona), i $\varphi$ un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis no conductors lliures de fonts caracteritzats per $ϵ$ i $\mu (\sigma =0)$, les equacions de Maxwell es redueixen a:

A : $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$

B : $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}=-ϵ\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

C : $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}=0$

D : $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{H}=0$

Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$. Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament $\overrightarrow{E}$ o $\overrightarrow{H}$. Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\mu \frac{\partial (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H})}{\partial t}=-\mu \cdot ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

Però sabem que: $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E})-\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E}$

i utilitzant l'equació C tenim que:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E}$

Per tant, substituint els termes tenim finalment que:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E}-\mu \cdot ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

La velocitat de fase ve donada per:

$v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$

el que significa que: $v_{\mathrm{p}}=\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}}$

i per tant, substituint, tenim:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E}-\frac{1}{v_{\mathrm{p}}^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$

Anàlogament podem treure l'equació per $\overrightarrow{H}$:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{H}-\frac{1}{v_{\mathrm{p}}^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}=0$

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E_{\mathrm{s}}}+\frac{{\omega }^2}{v_{\mathrm{p}}^2}\overrightarrow{E_{\mathrm{s}}}=0$

o

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E_{\mathrm{s}}}+k^2\overrightarrow{E_{\mathrm{s}}}=0$

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{H_{\mathrm{s}}}+k^2\overrightarrow{H_{\mathrm{s}}}=0$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

Referències

• David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
• Pozar D.M. "Microwave engineering"