Punt d'acumulació

Dins l'entorn de la topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de ${ℝ}^n$.

Definició

Donat un conjunt $E$ i un punt $p$ en un espai mètric $X$, diem que $p$ és un punt d'acumulació per $E$ si qualsevol ε-entorn de $p$ sense $p$ té intersecció no buida amb $E$ .

És a dir, hi ha elements de $E$ que estan ε-propers $p$ i són diferents de $p$ mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que $p$ pot estar o no en $E$.

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant els ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Amb símbols

Es denota amb $E^{\prime }$ al conjunt de punts límit de $E$ (també anomenat conjunt derivat), i el podem definir d'acord amb:

$E^{\prime }=\{p|\mathrm{\forall }{B}_{\epsilon }(p):(B_{\epsilon }(p)\setminus \{p\})\cap E\ne \mathrm{\varnothing }\}$

Exemple

L'interval $(0,1)$ té com a punts d'acumulació a l'interval $[0,1]$.

Un conjunt finit no té punts d'acumulació, ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim".

El conjunt de punts d'acumulació en $\mathbb{Q}$ és igual al $ℝ$, ja que $\mathbb{Q}$ és dens a $ℝ$.

$\mathbb{N}$ no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en $\mathbb{N}$ és aïllat.

Caracterització de conjunts tancats

• Teorema: $E$ és un conjunt tancat sii $E^{\prime }\subset E$ .

Vàlid en espais mètrics i topològics.

Altres conseqüències

Sigui E un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim:

Si $p\in E^{\prime }$ llavors hi ha una successió $\mathbb{N}\to E$ que convergeix a $p$

Podem interpretar això com que per a cada element p de $E^{\prime }$, el conjunt derivat de E (així també s'anomena el conjunt dels punts d'acumulació), hi ha elements de E que formen una successió convergent cap a p dins de E , encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

Bibliografia

• Rudin, W. "Principles of Mathematical Analysis". McGraw-Hill, 1976. Plantilla:ISBN
• Plantilla:Ref-llibre
• Wolfgang, F. "General Topology". Harrap, 1967, 23.