Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) $\mathbb{P}$ és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat $\mathbb{P}(A)$). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat $\mathbb{P}$ sempre es defineix sobre un espai mesurable $(\mathrm{\Omega },𝒜),$ és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra $𝒜$ de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra $𝒜$ s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat $\mathbb{P}$ és una aplicació de $𝒜$ en $ℝ.$

Primer axioma

Per a tot esdeveniment $A$:

$0\le \mathbb{P}(A)\le 1.$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma

Si $\mathrm{\Omega }$ designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

$\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), $A_1,A_2,\dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A_i)$.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

• $\mathbb{P}(\mathrm{\varnothing })=0.$

• Si $A$, $B$ són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors

$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B).$

• De forma més general, si $(A_k{)}_{1\le k\le n}$ és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{1\le k\le n}{A}_k\right)=\sum _{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).$

• $\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència $\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$. Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de $B\setminus A$ i de $A\cap B.$

• En particular, si $A\subset B$, llavors

$\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)$

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on $A\subset B$, la propietat precedent s'escriu

$\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A),$ on el primer terme és clarament positiu o zero.

• En el cas particular on $B=\mathrm{\Omega },$ això dona que, per a tot esdeveniment $A$,

$\mathbb{P}(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-\mathbb{P}(A)$

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

• Per a tots els esdeveniments $A$, $B$

$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).$

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments $A$ o $B$ es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que $A$ es realitzi, i perquè $B$ es realitzi, menys la probabilitat que $A$ i $B$ es realitzin de manera simultània. També,

$\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(B\cap C)-\mathbb{P}(C\cap A)-\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C).$

• Aquestes dues últimes fórmules són casos particulars (n=2,3) del principi d'inclusió-exclusió

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{k=1}^n((-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}\mathbb{P}(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \dots \cap A_{i_k})),$

que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents

• Tota successió creixent d'esdeveniments $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup \cdots )=\underset{n}{\lim }\mathbb{P}(A_n).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

• Tota successió decreixent d'esdeveniments $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap \cdots )=\underset{n}{\lim }\mathbb{P}(A_n).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, $\mathbb{P}$, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

$\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1.$

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.