Convergència (successió matemàtica)

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

Definició

Plantilla:Definició S'acostuma a escriure com

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$

o també

$x_n\stackrel{d}{⟶}x\text{quan}n\to \mathrm{\infty }$

o simplement

$x_n\to x.$

Intuïtivament, això vol dir que els elements $x_n$ de la successió poden ser tan propers a $x$ com vulguem si $n$ és prou gran, ja que $d(x_n,x)$ determina la distància entre $x_n$ i $x$. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat $(E,\Vert \cdot \Vert )$, la norma $\Vert \cdot \Vert$ indueix la mètrica $d(x,y):=\Vert y-x\Vert$ per cada $x,y\in E$; en el cas dels espais amb producte intern $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, el producte intern $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ indueix la norma $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ per cada $x\in E$.

Exemples

• Successions a $ℝ$ o $ℂ$

Els conjunts dels nombres reals $ℝ$ i dels nombres complexos $ℂ$ es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements $x,y\in ℝ$ o $ℂ$, la funció $d(x,y):=|y-x|$ determina una mètrica.

Per tant, una successió $\{x_n\}$ en $M=ℝ$ convergeix a un $x\in ℝ$ si per qualsevol $\epsilon >0$, existeix un enter $N$ tal que

$n\ge N\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon .$

Alguns exemples poden ser:

• La successió constant definida per $x_n:=c$ per a tots els valors de $N$, on $c\in ℝ$. Aquesta successió convergeix a $c$ ja que:

$|x_n-c|=|c-c|=0<\epsilon$

• La successió $x_n:=1/n$. Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada $\epsilon >0$, existeix un nombre natural $N$ tal que $N\epsilon >1$, i per tant, si $n>N,1/n<1/N$ i llavors:

$|x_n-0|=|0|=1/n<1/N<\epsilon .$

• La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si $p>0,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^p}=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{p}=1,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$

• Si $|a|<1$, llavors $a^n\to 0.$

• La successió $z_n:=e^{i\pi n}$. En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en $-1,1,-1,1,\dots$

• Donat que $𝕔$ (en particular $ℝ$) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió $\{a_n\}$ a $𝕔$ (en particular $ℝ$) és possible associar-li la successió de sumes parcials

$s_n:=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

La successió $\{s_n\}$ s'expressa com

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi, $s_n\to s$, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=s.$

En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^n=\frac{a}{1-a},(|a|<1),\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\mathrm{\infty },\sum _{n=1}^k(-1{)}^n=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{si }k\text{ imparell}\\ 0,& \text{si }k\text{ parell}\end{array}$