Espai prehilbertià

Interpretació geomètrica de l'angle que formen dos vectors defenit usant el producte escalar.

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell $(V,⟨\cdot |\cdot ⟩)$, on $V$ és un espai vectorial sobre un cos $𝕂$ i $⟨\cdot |\cdot ⟩$ és un producte escalar en $V$.

L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita i definit sobre el cos dels nombres reals, aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base $𝕂$ siguin els nombres reals $ℝ$ o els nombres complexos $ℂ$. Així, cap espai prehilbertià sobre els nombres racionals $\mathbb{Q}$ pot ser un espai de Hilbert.

Definició

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos $𝕂$ (Pot ser $ℝ$ o $ℂ$), el qual té una operació definida amb la següent funció:

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝐊$

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

• Hermítica:

$\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}.$

Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:

$⟨x,y⟩=⟨y,x⟩.$

Aquesta condició implica que $⟨x,x⟩\in ℝ$ per a tot $x\in V$, perquè $⟨x,x⟩=\overline{⟨x,x⟩}$.

• Sesquilineal:

$\mathrm{\forall }a\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩.$

Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:

$\mathrm{\forall }b\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,by⟩=\bar{b}⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩.$

En el cas que el cos sigui $ℝ$ aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.

• Definida positiva:

$\mathrm{\forall }x\in V,⟨x,x⟩\ge 0.$ (Té sentit, ja que $⟨x,x⟩\in ℝ$ per a tot $x\in V$.)

A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:

$⟨x,x⟩=0\text{ si }x=0.$

Normes en espais prehilbertians

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

$\Vert X\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

• $\Vert X\Vert$ és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.

• Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:

$\Vert r\cdot x\Vert =|r|\cdot \Vert x\Vert .$

• Desigualtat triangular: per a tot vector x i y

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x i y elements de V

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents

Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz

• Llei del paral·lelogram:

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$

• Teorema de Pitàgores: siguin x i y vectors ortogonals, aleshores

$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2.$

Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.

Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:

• Si x ₁ , ..., x _n són vectors ortogonals, o sigui, < x _j , x _k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors

$\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^2={\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i\Vert }^2.$

Exemples

• Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.

$⟨x,y⟩:=xy$

• Més generalment, qualsevol espai euclidià Rⁿ amb el producte escalar és un espai amb producte intern.

$⟨(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$

Es té la norma:

$\Vert X\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Espai
• Espai de Hilbert
• Estructura lineal dual
• Producte vectorial

Enllaços externs

• Plantilla:Springer